1
MATEMATYKA DYSKRETNA - Zarz¸adzanie ZADANIA
CZE¸ ´S ˙C 4. FUNKCJE TWORZA¸ CE. R ´OWNANIA REKURENCYJNE 1. Znale´z´c funkcje tworz¸ace nast¸epuj¸acych ci¸ag´ow:
a) an= 2n, n = 0, 1, 2, . . ., b) an=
( 1, n = 0, 1, . . . , N,
0, n > N , c) an =
( n + 1, n = 0, 1, . . . , N,
0, n > N ,
d) an= 3n, n = 0, 1, . . ., e) an= n2, n = 0, 1, . . ., f) an= n5n, n = 0, 1, . . ., g) an= 4n!n, n = 0, 1, . . ..
2. Znale´z´c funkcje tworz¸ac¸a F (x) dla ci¸agu (A(n)) znaj¸ac funkcje tworz¸ac¸a f (x) dla ci¸agu (a(n)):
a) An= an+1, n = 0, 1, 2, . . ., b) An = an+1− an, n = 0, 1, 2, . . ., c) An= n · an, n = 0, 1, 2, . . ., d) An =
( an−1, n = 1, 2, . . . ,
0, n = 0
3. Za pomoc¸a funkcji tworz¸acych znajd´z wz´or jawny na n-ty wyraz ci¸agu okre´slonego rekurencyjnie w nast¸epuj¸acy spos´ob:
a) an+2= 2an+1+ 3an dla n ≥ 0 oraz a0 = 1, a1 = 2, b) an= −an−1+ 2an−2 dla n ≥ 2 oraz a0 = 1, a1 = 2.
c) an= an−1+ 2an−2 dla n ≥ 2 oraz a0 = 0, a1 = 1.
d) an= 6n + an−1, dla n ≥ 1 oraz a0 = 0, e) an= an−1+ 2n − 2 dla n ≥ 1 oraz a0 = 1.
f) an = 2an−1+ 3n dla n ≥ 1 oraz a0 = 1.
4. Oprocentowanie wk lad´ow w banku wynosi 10% w skali rocznej. Co si¸e bardziej op laca: przez n lat wp laca´c po 100 euro na koniec ka˙zdego roku czy raz na pocz¸atku wp laci´c 1000 euro?
5. Wiadomo, ˙ze co roku pewien pracownik otrzymuje podwy˙zk¸e pensji, kt´ora wynosi 20% kwoty pen- sji wyp lacanej przez ostatni rok pomniejszone o 11% kwoty pensji wyp lacanej rok wcze´sniej. Na pocz¸atku pracownik zarabia 1 tys. euro. Ile b¸edzie zarabia l po n latach?
6. ”Par´owa” po˙zyczy l od ch lopak´ow z miasta 1 mln euro na 50% rocznie (odsetki s¸a doliczane na koniec ka˙zdego roku). Na koniec ka˙zdego roku sp laca 0.2 mln. euro. Ile b¸edzie wynosi l jego d lug po n latach?
7. Pewien ochroniarz pobra l za ochron¸e restauracji za pierwszym razem 10 euro. Za ka˙zdym nast¸epnym razem pobiera l haracz stanowi¸acy sum¸e podwojonego haraczu pobranego ostatnim razem i do- datkowych 5 euro. Znajd´z wz´or jawny na hn - haracz (w euro) pobrany za n-tym razem.
8. Pewien handlowiec sprzedawa l jedn¸a jednostk¸e towaru z pierwszej dostarczonej mu partii przez g lownego handlowca po 10 euro a a drugiej partii po 11 euro. Przy ka˙zdej nast¸epnej dostawie cena jednostki towaru by la ustalana jako r´o˙znica pomi¸edzy siedmiokrotn¸a cen¸a jednostki z poprzed- niej dostawy i sze´sciokrotn¸a cen¸a jednostki towaru z przedostatniej dostawy. Znajd´z wz´or jawny na jn-cen¸e jednostki towaru (w euro) z n-tej partii (dostawy).
9. W pewnym pa´nstwie cena banan´ow w momencie wst¸apienia do UE wynosi la 1 euro a w miesi¸ac po wst¸apieniu wynosi la 2 euro. W ka˙zdym nast¸epnym miesi¸acu cena banan´ow by la ustalana jako r´o˙znica pomi¸edzy potrojon¸a cen¸a banan´ow z poprzedniego miesi¸aca i podwojon¸a cen¸a banan´ow sprzed dw´och miesi¸ecy. Znajd´z wz´or jawny na bn-cen¸e banan´ow (w euro) w n miesi¸acy po wst¸apieniu do UE.
10. Znajd´z wsp´o lczynnik przy x12 w
a) (1 + x3+ x6+ x9+ . . .)7, b) x2(1 − x)12.
11. W sklepie s¸a 2 samochody bia le, 3 niebieskie, 4 zielone i 1 czarna. Na ile sposob´ow mo˙zna kupi´c 5 samochod´ow? Zak ladamy, ˙ze samochody jednego koloru s¸a jednakowe.
12. Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c 11 jab lek z koszyka, w kt´orym s¸a 4 anton´owki, 3 malin´owki i 6 papier´owek? Zak ladamy, ˙ze jab lka jednego rodzaju s¸a nierozr´o˙znialne.
13. Jasio zbiega ze schod´ow, kt´ore maj¸a n stopni. W ka˙zdym momencie Jasio mo˙ze przeskoczy´c na nast¸epny stopie´n lub omin¸a´c jeden stopie´n. Na ile sposob´ow Jasio mo˙ze zbiec ze schod´ow?
ODPOWIEDZI DO ZADA ´N Z CZE¸ ´SCI 3:
1) 47, 2) a) 462 b) 520, c) 768, 3) 3, 4) 174, 5) 14, 6) 11, 7) 2, 8) 1, 9) a) 5!, b) d5 = 44, 10)d6 = 265, 11)
≈ 0.37.
