1. Funkcję f : [0, 1] → R interpolujemy kawałkami wielomianem w f stopnia r − 1 na pododcinkach [(i − 1)/k, i/k], 1 ¬ i ¬ k. Wykaż, że jeśli f ∈ C r−1 ([0, 1]) oraz f (r−1) spełnia warunek Lipschitza ze stałą M to błąd interpolacji

Matematyka Obliczeniowa* (II MAT)

27-06-2016

Uwaga. Każde zadanie warte jest 6 punktów, niezależnie od stopnia trudności.

1. Funkcję f : [0, 1] → R interpolujemy kawałkami wielomianem w ^f stopnia r − 1 na pododcinkach [(i − 1)/k, i/k], 1 ¬ i ¬ k. Wykaż, że jeśli f ∈ C ^r−1 ([0, 1]) oraz f ^(r−1) spełnia warunek Lipschitza ze stałą M to błąd interpolacji

|f (x) − w _f (x)| ¬ M (r − 1)!

 1 k

 r

dla 0 ¬ x ¬ 1.

2. Dla nieskończonego układu węzłów · · · < u ₋₁ < u ₀ < u ₁ < u ₂ < · · · funkcje B- sklejane N _i ⁿ dla n = 0, 1, 2, . . . zdefiniowane są rekurencyjnie: N _i ⁰ (x) = 1 _[u

_,u

₎ (x),

N _i ⁿ (x) = x − u _i

u _i+n − u _i N _i ⁿ⁻¹ (x) + u _i+n+1 − x

u _i+n+1 − u _i+1 N _i+1 ⁿ⁻¹ (x), n = 1, 2, . . . .

Wykaż, że jeśli lim _i→±∞ u _i = ±∞ to dla każdego n i x ∈ R mamy ^{P +∞} i=−∞ N _i ⁿ (x) = 1.

3. Znajdź wielomiany stopnia ¬ 1 najlepiej aproksymujące funkcję f (x) = |x| w sensie aproksymacji (a) jednostajnej i (b) średniokwadratowej (z wagą jednostkową) na odcinku [−1, 2]

4. Ile wynosi maksymalny rząd kwadratury opartej na (n + 1) podwójnych węzłach a ¬ x ₀ < . . . < x n ¬ b dla aproksymacji całki ^R _a ^b f (x)dx?

5. Niech F będzie klasą funkcji f : [0, 1] → [0, 1] takich, że f (0) = f (1) oraz f ∈ Lip(1).

Całkę S(f ) = ^R ₀ ¹ f (x) dx aproksymujemy kwadraturą postaci Q n (f ) = ^{P n} _j=1 a j f (x j ), gdzie 0 ¬ x 1 < x ₂ < . . . < x _n ¬ 1. Wykaż, że błąd pesymistyczny w klasie F ,

E(Q _n ) = sup

f ∈F

|S(f ) − Q _n (f )|,

minimalizuje kwadratura Q ^∗ _n (f ) = ¹ _n ^{P n} _j=1 f ( _n ^j ). Czy odpowiedź sie zmieni gdy dopu- ścimy kwadratury adaptacyjne korzystające z n wartości funkcji?

Wskazówka. Zauważ najpierw, że błąd E(Q _n ) jest realizowany dla funkcji f zerującej się w punktach x j , 1 ¬ j ¬ n.

6. Rozpatrzmy metodę iteracyjną daną wzorem x _k = x _k−1 − x k−1 − a

f (x _k−1 ) − f (a) f (x _k−1 ).

Wykaż, że metoda jest zbieżna lokalnie liniowo pod warunkiem, że a jest dostatecznie

blisko zera x ^∗ funkcji f . Jak blisko? Zakładamy, że f jest klasy C ² w otoczeniu x ^∗

oraz f ⁰ (x ^∗ ) 6= 0.