1. Stacjonarne równianie Schrödingera dla cząstki w potencjale V (x) ma postać

MECHANIKA KWANTOWA , GRUPA 1a

Zadania (II) na środę, 3-go marca, 2014

1. Stacjonarne równianie Schrödingera dla cząstki w potencjale V (x) ma postać

Hφ(x) = Eφ(x), ˆ (1)

gdzie operator energii (hamiltonian) dany jest przez ‘operatorowy wzór kla- syczny’

H = ˆ 1

2m p ˆ ² + ˆ V . (2)

Dla potencjałów zależnych tylko od x, działanie operatora ˆ V sprowadza się do mnożenia ˆ V (ˆ x)φ(x) = V (x)φ(x). Korzystając z podanej na wykładzie reprezen- tacji operatora pędu, zapisać równanie (1) jako liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu na funkcję falową φ(x). Rozwiązać równanie Schrödingera dla nieskończonej studni potencjału

V (x) =

 0 dla −d < x < d

∞ dla |x| > d (3)

Jako warunki brzegowe przyjąć znikanie funkcji falowej na brzegu nieskończo- nego potencjalu: φ(±d) = 0. Jakie wartości energii (widmo energii) E są dopuszczone przez te warunki? Czy tak otrzymane stany kwantowe (funkcje falowe) mają określoną symetrię ( parzystość ), jaką ?

1b. Rozwiązać to samo zadanie dla studni na odcinku (0, L = 2d).

2. Rozwiązać zad.1 dla skończonej studni potencjału, V (x) =

 0 dla −d < x < d

U > 0 dla |x| > d (4)

i dla energii E < U . Wsk. Rozbić cały obszar x na trzy części – I: x < −d, II:

−d < x < d, III: d < x – rozwiązać r. Schrödingera w każdym podobszarze, a następnie skleić rozwiazania wymagając a) normalizowalności całej funkcji falowej, oraz b) jej ciagłości, wraz z pochodną , w punktach połączenia

φ _I (−d) = φ _II (−d), φ _II (d) = φ _III (d), (5) φ

_I (−d) = φ

_II (−d), φ

_II (d) = φ

_III (d). (6) (7) Wyprowadzić warunek kwantyzacji energii w tym przypadku (wygodnie jest od początku pamiętać o parzystości). Naszkicować rozwią zanie graficzne dla kilku najniższych poziomów. Czy w studni zawsze istnieją stany kwantowe?

1

( ^∗∗ ) Rozwiązać numerycznie warunek kwantyzacji dla kilku wartości U i d. Zba- dać czy dla U → ∞ otrzymuje sie widmo z zad.1.

3. Efekt Comptona. Rozproszenie światła na elektronach można traktować korpuskularnie jako rozproszenie elastyczne

γ(k _i ) + e(p _i ) → γ(k _f ) + e(p _f )

fotonu na elektronie. Czteropędy cząstek początkowych (końcowych) odróż- nione są wskaźnikami i(f ). Wyprowadzić zwi azek Comptona podany na wykła- _ι dzie. Wsk. Rozważyć zasady zachowania pędu i energii (relatywistycznie) w układzie spoczynkowym elektronu początkowego p i = (m, ~0)

4. Unormowana funkcja falowa ma interpretacj e amplitudy pradwopodobień- _ι stwa, tzn.

|φ(x)| ² = ρ(x), (8)

jest gestością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w x. Obliczyć prawdo- podobieństwo, że cząstka z zad. 2 będąca w stanie podstawowym (najniższym) znajdzie się w klasycznie niedostępnym obszarze |x| > d. Jak to prawdopodo- bieństwo (prawdopodobieństwo tunelowania) zależy od U i d ?

J. Wosiek

2