Zadanie 2.1 Liczby zespolone (a) (2 + i)(4 − i) + (1 + 2i)(3 + 4i), (b)

algebra liniowa

ekonometria i informatyka, 1 rok lista 2

Zadanie 2.1 Liczby zespolone (a) (2 + i)(4 − i) + (1 + 2i)(3 + 4i), (b)

1+i

, (c)

3+i

, (d) (1 + 2i)i +

, (e)



2 2

+ i

√2 2



przedstawić w postaci a + bi.

Zadanie 2.2 Obliczyć i

, i

, i

, i

oraz i

dla n ∈ Z.

Zadanie 2.3 Punkty z

= −1 + 2i, z

= i, z

= 2 + 4i są wierzchołkami równoległoboku. Korzystając z interpretacji geometrycznej liczb zespolonych wyznaczyć położenie wierzchołka z

tego równoległoboku.

Zadanie 2.4 Wyznaczyć wszystkie liczby x, y ∈ R takie, że (a) 2x(3 − i)(2 + 3i) + y(1 − i)

= 18 + 8i, (b) x

+ y 

4−i 1−3i



= 1 + i.

Zadanie 2.5 W liczbach zespolonych rozwiązać układy równań:

 (1 + i)z

+ (1 − i)z

= 1 + i (1 − i)z

+ (1 + i)z

= 1 + 3i,

 2z

− (2 + i)z

= −i (4 − 2i)z

− 5z

= −1 − 2i.

Zadanie 2.6 W liczbach zespolonych rozwiązać następujące równania:

(a) |z| + z = 2 + i, (b) z

− 4z + 5 = 0, (c) z

− 4z

+ 5 = 0,

(d) z

− 5z + 4 + 10i = 0, (e) |z| + 2iz = 11 + 8i, (f) z

− (5 + 5i)z + 2 + 11i = 0, (g) z

− 2z = 2i − 1, (h) z|z| = z

, (i) z

= 4z

.

Zadanie 2.7 Na płaszczyźnie zespolonej zaznaczyć następujące liczby zespolone oraz liczby z nimi sprzężone: 2 + i, 2 − i, −3 + 4i, 2, 3i, 5i − 4. Obliczyć moduły tych liczb.

Zadanie 2.8 Naszkicować na płaszczyźnie zespolonej zbiory:

A = {z ∈ C : |z| + re(z) ≤ 1}, B = {z ∈ C : |z − 2i| ≥ |z − 4 + 2i|},

C = {z ∈ C : |z + 4 + 6i| ≤ |z + 1 + 7i| ≤ |z + 5 + 5i|}.

1