LVII OLIMPIADA FIZYCZNA – ZAWODY III STOPNIA Zadanie 1 Na poziomej płaszczy´znie znajduje sie jednorodny, cienki, pocz ˛at- kowo nieruchomy kr ˛a˙zek o promieniu R i masie M. W chwili t

LVII OLIMPIADA FIZYCZNA – ZAWODY III STOPNIA Zadanie 1

Na poziomej płaszczy´znie znajduje sie jednorodny, cienki, pocz ˛ at- kowo nieruchomy kr ˛ a˙zek o promieniu R i masie M . W chwili t

= 0 z punktu P na tej płaszczy´znie, odległego o d od ´srodka kr ˛ a˙zka S, jest wystrzeliwany z pr˛edko´sci ˛ a v mały pocisk o masie m. Pocisk ´slizga si˛e po płaszczy´znie, a nast˛epnie uderza w kr ˛ a˙zek i przyczepia si˛e do niego w miejscu zderzenia, w odległo´sci a od osi PS (rys. 1). Nie ma tarcia mi˛edzy płaszczyzn ˛ a a kr ˛ a˙zkiem oraz mi˛edzy płaszczyzn ˛ a a pociskiem.

S P v

d

a

rys. 1 Kr ˛ a˙zek i pocisk – widok z góry

Po jakim najmniejszym czasie t > 0 nale˙zy odda´c drugi strzał, by drugi pocisk trafił w kr ˛ a˙zek w miejscu uderzenia pierwszego pocisku? Drugi strzał oddajemy takim samym pociskiem, z tego samego miejsca, w takim samym kierunku i z tak ˛ a sam ˛ a pr˛edko´s- ci ˛ a pocz ˛ atkow ˛ a jak pierwszy.

Podaj wynik liczbowy dla M = 100 g, m = 10 g, R = 0,05 m, a = 0,04 m, v = 10 m/s, d = 2 m.

Moment bezwładno´sci kr ˛ a˙zka wzgl˛edem jego osi symetrii obro- towej wynosi I

= M R

/2.

Zadanie 2

Rozwa˙zmy nast˛epuj ˛ acy model ´swiatłowodu (tzw. wielomodowego):

walcowaty rdze´n o promieniu r = 25 µm i współczynniku zała- mania n

= 1,475 jest otoczony otulin ˛ a (której grubo´s´c nie ma znaczenia dla zachowania ´swiatłowodu) o współczynniku załama- nia n

= 1,460.

W odległo´sci d = 25 µm od pocz ˛ atku ´swiatłowodu umieszczono na jego osi symetrii punktowe, izotropowe ´zródło promieniowania elektromagnetycznego o mocy P = 1 mW wysyłaj ˛ ace promienio- wanie o długo´sci fali 1,55 µm (rys. 2).

d

n2

n2

n1 2 r

rys. 2 ´Swiatłowód oraz ´zródło promieniowania

1/S 1/S

natezenie sygnalu t

rys. 3 Sygnał odpowiadaj ˛ acy ci ˛ agowi 0110101001.

Oblicz jaka jest maksymalna odległo´s´c L na jak ˛ a mo˙zna przesyła´c tym ´swiatłowodem informacje z szybko´sci ˛ a S równ ˛ a a) 1 Gb/s, b) 1 Mb/s, c) 1 kb/s, gdzie b/s oznacza bit/sekund˛e.

Uwzgl˛ednij ˙ze:

• Współczynnik tłumienia α zdefiniowany jako:

α = (10/L) log

(E

/E

)

gdzie E

jest energi ˛ a sygnału po przebyciu odległo´sci L, je´sli na wej´sciu jego energia wynosiła E

, jest w przypadku rdzenia równy α = −0,02/km.

• Detektor rejestruj ˛ acy impuls na ko´ncu ´swiatłowodu jest w stanie zarejestrowa´c impulsy o energii wi˛ekszej ni˙z E

= 10

J.

• Pojedy´nczy impuls (bit) ma pocz ˛ atkowo kształt prostok ˛ ata o sze- roko´sci 1/S (przez szeroko´s´c rozumiemy tu odst˛ep czasu mi˛edzy

pocz ˛ atkiem a ko´ncem wysyłania tego impulsu – rys. 3).

Uznajemy, ˙ze informacji nie da si˛e przesyła´c, je´sli w wyniku przesyłania czas trwania pojedy ´nczego impulsu wzrasta wi˛ecej ni˙z dwukrotnie.

• Parametry w zadaniu s ˛ a dobrane tak, ˙ze mo˙zna pomin ˛ a´c falow ˛ a natur˛e promieniowania i traktowa´c je jako wi ˛ azk˛e promieni.

• Promieniowanie, które znajdzie si˛e w otulinie, jest tak szybko tłumione, ˙ze jego rol˛e w przesyłaniu informacji mo˙zna pomin ˛ a´c.

• ´Zródło promieniowania umieszczone jest w powietrzu (przyjmij,

˙ze współczynnik załamania n = 1), a odbicie na granicy powietrze- rdze´n mo˙zna pomin ˛ a´c.

• Pr˛edko´s´c ´swiatła w pró˙zni wynosi c ≈ 3 · 10

m/s.

Zadanie 3

Energia cieplna jest przesyłana z elektrociepłowni za pomoc ˛ a prostej metalowej rury, wewn ˛ atrz której płynie gor ˛ aca woda. Rura biegnie na gł˛eboko´sci h pod powierzchni ˛ a ziemi, w odległo´sci d od kanału wypełnionego wod ˛ a, równolegle do niego (rys. 4). Wiadomo,

˙ze temperatura ziemi tu˙z pod powierzchni ˛ a, dokładnie nad rur ˛ a, wynosi t

, a temperatura wody i stykaj ˛ acej si˛e z ni ˛ a ziemi wynosi t

.

t

t

d rura h

woda

powietrze

ziemia

rys. 4 Rura ciepłownicza w ziemi.

a) Oblicz szybko´s´c strat ciepła na jednostk˛e długo´sci rury, tzn.

ilo´s´c ciepła wypływaj ˛ ac ˛ a do ziemi w jednostce czasu z odcinka rury o jednostkowej długo´sci.

b) Wiedz ˛ ac, ˙ze promie´n rury wynosi R, oblicz jej temperatur˛e.

W pkt. a) i b) podaj wyniki liczbowe dla h = 3 m, d = 2 m, t

= 10

C, t

= 4

C, R = 0,1 m, przewodnictwa cieplnego ziemi σ = 0,7 W/(m·K).

Przyjmij nast˛epuj ˛ ace upraszczaj ˛ ace zało˙zenia:

• powierzchnia ziemi jest płaska i pozioma; nie przepływa przez ni ˛ a ciepło (tzn. przyjmujemy, ˙ze powietrze jest izolatorem cieplnym);

• kanał ma niesko´nczon ˛ a gł˛eboko´s´c i jest wypełniony wod ˛ a a˙z do powierzchni ziemi; jego brzeg jest pionowy i w ka˙zdym punkcie ma temperatur˛e t

;

• ziemia jest jednorodna; jej temperatura w dowolnym miejscu nie ulega zmianie w czasie;

• ´srednica rury jest mała w porównaniu z h i d, a jej temperatura jest stała;

• nie ma transportu energii przez promieniowanie.

Przewodnictwo cieplne σ jest zdefiniowane nast˛epuj ˛ aco:

Rozwa˙zmy dwie bliskie, odległe o ∆r, równoległe powierzchnie, ka˙zda o polu S. Obszar mi˛edzy nimi jest wypełniony o´srodkiem o przewodnictwie cieplnym σ. Je´sli na jednej z tych powierzchni temperatura wynosi t, a na drugiej t + ∆t, to strumie´n energii cieplnej (ciepło w jednostce czasu), płyn ˛ acy prostopadle do nich, jest równy J

= Sσ ∆t/∆r.

Wzory, które mog ˛ a by´c przydatne w zadaniach 1-3

Z dx

α + βx = 1

β ln |α + βx| + const Z

(α + βx)

dx = 1

(γ + 1) β (α + βx)

+ const, gdzie γ 6= −1

K ˛ at bryłowy w wierzchołku sto˙zka o k ˛ acie rozwarcia 2θ wynosi

Ω = 2π(1 − cos θ).

Rozwi ˛

Po uderzeniu pocisku w kr ˛ a˙zek układ b ˛edzie si ˛e obracał ze stał ˛a pr ˛edko´sci ˛a k ˛atow ˛a wokół swojego ´srodka masy, który b ˛edzie si ˛e poruszał ze stał ˛ a pr ˛edko´sci ˛ a po lini prostej. ´Srodek masy układu znajduje si ˛e w odległo´sci

x = mR

m + M (1)

od ´srodka kr ˛ a˙zka. Z twierdzenia Steinera moment bezwładno´sci układu wzgl ˛edem ´srodka masy wynosi I = I

+ Mx

+ m (R − x)

=

1

2 + m

M + m



MR

. (2)

Pr ˛edko´s´c k ˛ atowa ω układu po zderzeniu jest okre´slona przez zasad ˛e zachowania momentu p ˛edu (poni˙zej liczymy momenty p ˛edu wzgledem ´srodka masy układu)

Iω = mv b

R (R − x) , (3)

gdzie b jest odległo´sci ˛ a ´srodka kuli od prostej, po której pocz ˛ atkowo porusza si ˛e pocisk. Z powy˙zszego

ω = mMbv

(M + m) I

= 2 mbv

(M + 3m) R

. (4)

Pr ˛edko´s´c ´srodka masy po zderzeniu jest okre´slona przez zasad ˛e zachowania p ˛edu i wynosi

u = mv

m + M . (5)

Aby drugi pocisk uderzył w kr ˛ a˙zek w tym samym miejscu co pierwszy, układ powinien wykona´c pełny obrót.

Zatem czas mi ˛edzy zderzeniami powinien wynosi´c T = 2π/ω. Dodatkowy czas ruchu drugiego pocisku (w porów- naniu z pierwszym) wynosi T − t i przebywa on w tym czasie dodatkow ˛a drog ˛e (T − t) v. Ta droga jest równa drodze przebytej przez ´srodek masy układu do chwili drugiego zderzenia, czyli

(T − t) vt = uT. (6)

St ˛ ad

t = M

m + M T

= M

m + M

(M + 3m) R

mbv π. (7)

Musimy jeszcze wyznaczy´c parametr b poprzez a, d i R.

Oznaczmy przez U punkt, w którym pocisk uderzył w kr ˛ a˙zek, przez A — punkt na odcinku P S, taki, ˙ze P S ⊥ UA (co oznacza, ˙ze UA = a) i przez B — punkt na przedłu˙zeniu odcinka P U taki, ˙ze BS ⊥ P U (co oznacza, ˙ze BS = b). Z tych definicji, twierdzenia Pitagorasa i podobie´nstwa trójkatów P UA i P SB wynika:

AS = √

R

− a

, P A = d − AS, b/d = a/(P U), P U =



a

+ (P A)

, st ˛ ad

b = ad

 d

+ R

− 2d √

R

− a

. (8)

Zatem ostatecznie

t = M

m + M

(M + 3m) R

mv

 d

+ R

− 2d √

R

− a

ad π. (9)

Podstawiaj ˛ ac warto´sci liczbowe otrzymujemy:

1

Rozwi ˛ azanie zadania 2

Ograniczenie na mo˙zliwo´sci przesyłania informacji s ˛ a dwojakiego rodzaju: tłumienie oraz rozmycie sygnału (dys- persja mi˛edzymodowa). Oszacujmy najpierw ograniczenie wynikaj ˛ ace z tłumienia. Energia pojedynczego impulsu emitowanego przez ´zródło wynosi E

= P/S. Wkład do impulsu w rdzeniu dadz ˛ a tylko te promienie, które doznaj ˛ a całkowitego wewn˛etrznego odbicia na granicy rdze´n-otulina (patrz rysunek) lub trafi ˛ a wprost w "otwór wylotowy"

swiatłowodu.

Maksymalny k ˛ at emitowanych promieni θ, które ulegn ˛ a całkowitemu wewn˛etrznemu odbiciu mo˙zna obliczy´c korzys- taj ˛ ac z prawa załamania i z faktu, ˙ze tym granicznym przypadku k ˛ at załamania promieni wchodz ˛ acych do otuliny wynosi 90

:

sin θ

sin φ = n

, sin(90

− φ) sin 90

= n

n

. (1)

Sk ˛ ad otrzymujemy

sin θ = q

n

− n

. (2)

Zauwa˙zmy, ˙ze θ ≈ 12

, co oznacza, ˙ze k ˛ at z jakiego zbierane s ˛ a promienie jest mniejszy ni˙z k ˛ at, pod jakim widziany jest rdze´n ze ´zródła – 45

. Oznacza to ˙ze k ˛ at bryłowy, z jakiego promienie wysyłane przez ´zródło dotr ˛ a do rdzenia, wynosi Ω = 2π(1 − p1 − n

+ n

) (gdyby θ > 45

wtedy nale˙załoby u˙zy´c k ˛ ata 45

zamiast θ). Pocz ˛ atkowa energia impulsu w rdzeniu wynosi wi˛ec:

E

= 1 − p1 − n

+ n

2

P

S . (3)

Aby detektor zarejestrował impuls, jego energia po przebyciu drogi L musi by´c wi˛eksza od E

: E

· 10

≥ E

, co oznacza:

L ≤ − 10

α log

P (1 − p1 − n

+ n

) 2E

S

!

(4) Dla szybko´sci 1Gb/s, 1Mb/s, 1kb/s daje to odpowiednio L ≤ 523, 2km, L ≤ 2023km,L ≤ 3523km

W celu zbadania dyspersji zauwa˙zmy, ˙ze na pokonanie danej odległo´sci L promie´n poruszaj ˛ acy si˛e po prostej wzdłu˙z osi ´swiatłowodu potrzebuje czasu t

= Ln

/c. Z kolei promieniem, który potrzebuje najwi˛ecej czasu na pokonanie tej odległo´sci jest promie´n poruszaj ˛ acy si˛e pod maksymalnym dopuszczalnym k ˛ atem φ, dla którego zachodzi jeszcze całkowite wewn˛etrzne odbicie: cos φ = n

/n

, a odpowiadaj ˛ acy mu czas t

= Ln

/cn

. Ró˙znica czasów, a tym samym poszerzenie impulsu wynosi wi˛ec:

∆t = Ln

c

 n

n

− 1



. (5)

Powy˙zej pomin˛eli´smy ró˙znic˛e czasów dotarcia promieniowania ze ´zródła do ´swiatłowodu.

Warunek na to by impuls nie poszerzył si˛e wi˛ecej ni˙z dwukrotnie przyjmuje posta´c ∆t ≤ 1/S, co prowadzi do ograniczenia na odległo´s´c:

L ≤ cn

Sn

(n

− n

) (6)

co dla szybko´sci 1Gb/s, 1Mb/s, 1kb/s daje odpowiednio L ≤ 19, 8m, L ≤ 19, 8km, L ≤ 19796km. Widzimy, ˙ze dla szybko´sci 1Gb/s, 1Mb/s ograniczenie na odległo´s´c pochodzi od dyspersji i wynosi odpowiednio L ≤ 19, 8m, L ≤ 19, 8km, natomiast dla szybko´sci 1kb/s ograniczenie pochodzi od tłumienia i wynosi: L ≤ 3523km.

1

Rozwi ˛ azanie zadania 3

Zagadnienie jest analogiczne do zagadnienia elektrostatycznego, w którym wyst˛epuje jednorodnie naładowany pros- toliniowy przewód, zatem wykorzystamy znan ˛ a z elektrostatyki metod˛e obrazów.

Na granicy woda–ziemia ˙z ˛ adamy, by temperatura była stała. Mo˙zna to osi ˛ agn ˛ a´c umieszczaj ˛ ac (formalnie) w wodzie rur˛e b˛ed ˛ ac ˛ a odbiciem wzgl˛edem tej granicy rury rzeczywistej. Strumie´n ciepła wypływaj ˛ acy z tej fikcyjnej rury powinien by´c równy minus strumieniowi ciepła wypływaj ˛ acego z rury rzeczywistej (podobnie jak ładunek obrazowy

"wewn ˛ atrz" przewodnika jest równy minus ładunkowi rzeczywistemu).

Przez poziom ˛ a granic˛e ziemia–powietrze ciepło nie przepływa. W analogii elektrostatycznej oznacza to, ˙ze nie wys- t˛epuje składowa pola elektrycznego styczna do tej granicy. Taki efekt mo˙zna osi ˛ agn ˛ a´c umieszczaj ˛ ac "obrazow ˛ a" rur˛e ponad t ˛ a granic ˛ a. Strumie´n ciepła wypływaj ˛ acy z tej rury powienien by´c identyczny jak strumie´n ciepła wypływa- j ˛ acy z rury rzeczywistej. Analogiczn ˛ a rur˛e "obrazow ˛ a" (odbicie "obrazu" znajduj ˛ acego si˛e w wodzie) powinni´smy umie´sci´c w powietrzu ponad wod ˛ a. W sumie sytuacj˛e okre´slaj ˛ ac ˛ a przepływ ciepła i temperatur˛e w ziemi przedstawia rysunek.

Rura rzeczywista i rury "obrazowe"

Zatem ciepło w ziemi płynie tak, jakby w pozostałym obszarze, traktowanym tak, jakby to równie˙z była ziemia, były umieszczone jeszcze trzy rury.

Wyznaczmy teraz temperatur˛e t w odległo´sci r od ´srodka rury z której na jednostk˛e długo´sci wypływa strumie´n ciepła j, przy zało˙zeniu, ˙ze znajduje si˛e ona w jednorodnym o´srodku o przewodnictwie cieplnym σ i nie ma innych ´zródeł ciepła. Strumie´n ciepła płyn ˛ acy przez powierzchni˛e boczn ˛ a współ´srodkowego z rur ˛ a walca o promieniu r i długo´sci

∆L jest równy j∆L , zatem zgodnie definicj ˛ a przewodnictwa cieplnego (poni˙zej znak "-" uwzgl˛ednia, ˙ze ze wzrostem odległo´sci temperatura maleje)

∆t

∆r = − j∆L Sσ = − j

σ 1 2πr . Przechodz ˛ ac z ∆r do 0 otrzymamy

t(r)

= j σ

1 2πr , st ˛ ad całkuj ˛ ac

t(r) = t

− j 2πσ ln r

r

, (1)

gdzie t

i r

s ˛ a stałymi. Jest to wzór analogiczny do wzoru na potencjał od niesko´nczonego drutu naładowanego na jednostk˛e długo´sci ładunkiem j.

Temperatura w dowolnym punkcie ziemi jest sum ˛ a temperatur pochodz ˛ acych od rury rzeczywistej oraz rur obra- zowych (podobnie jak potencjał elektryczny jest sum ˛ a potencjałów pochodz ˛ acych od ka˙zdego ładunku). W punkcie tu˙z pod powierzchni ˛ a ziemi, pionowo nad rzeczywist ˛ a rur ˛ a, otrzymujemy

t

= − j 2πσ ln h

r

− −j 2πσ ln

q

h

+ (2d)

r

− j

2πσ ln h r

− −j

2πσ ln q

h

+ (2d)

r

+ 4t

. (2)

3

t

= − j 2πσ ln

q

(y − h)

+ d

r

− −j 2πσ ln

q

(y − h)

+ d

r

+

− j 2πσ ln

q

(y + h)

+ d

r

− −j 2πσ ln

q

(y + h)

+ d

r

+ 4t

. (3)

Zatem 4t

= t

oraz

t

− t

= j πσ ln

√ h

+ 4d

h = j

2πσ ln



1 + 4 d

h



. (4)

(Zauwa˙zmy, ˙ze gdyby´smy przyjeli stałe t

i r

ró˙zne dla ró˙znych rur, powy˙zszy wynik nie uległby zmianie.) Ostatecznie otrzymujemy

j = 2πσ t

− t

ln

 1 + 4

 . (5)

Podstawiaj ˛ ac warto´sci liczbowe otrzymamy

j ≈ 26 W

m . (6)

Temperatura górnej kraw˛edzi prawdziwej rury jest sum ˛ a wkładów od wszystkich czterech ´zródeł ciepła

t

= t

− j 2πσ ln R

r

+ j 2πσ ln

√

4d

+ R

r

− j

2πσ ln 2h − R r

+ j

2πσ ln q

4d

+ (2h − R)

r

.

Dla dolnej kraw˛edzi powinni´smy zast ˛ api´c w powy˙zszym wzorze 2h − R przez 2h + R. Zgodnie z zało˙zeniami z tre´sci zadania 2h − R ≈ 2h − R ≈ 2h, 4d

+ R

≈ 4d

, zatem temperatura rury wynosi

t

= t

+ j

2πσ ln 2d R + ln

√ d

+ h

h

!

. (7)

Uwzgl˛edniaj ˛ ac nasz wynik na j otrzymujemy t

= t

+ t

− t

ln  1 + 4



 ln 2d

R + 1 2 ln

 1 + d

h



. (8)

(Pomini˛ecie w powy˙zszym wzorze wyrazu

ln  1 +



jest w naszym przypadku równie˙z bardzo dobrym przy- bli˙zeniem.)

Podstawiaj ˛ ac warto´sci liczbowe otrzymamy

t

≈ 27

C. (9)

Ta temperatura jest sporo ni˙zsza od temperatury wody ciepłowniczej, co zapewne oznacza, ˙ze w rozwa˙zanym przy-

padku mi˛edzy zewn˛etrzn ˛ a powierzchni ˛ a rury, a jej cz˛e´sci ˛ a stykaj ˛ aca si˛e z wod ˛ a znajduje si˛e warstwa izolacji cieplnej.