1. Wyznaczy´ c dziedzin¸e funkcji:

(1)

1 Dziedzina, powierzchnie.

1. Wyznaczy´ c dziedzin¸e funkcji:

(a) f (x, y) = q _x

x

²

+y

²

+2x − 1;

(b) f (x, y) = arccos _2x+y ^x ; (c) f (x, y) = p

(x ² + y ² − 1) (4 − x ² − y ² );

(d) f (x, y) = √ ^ln(2+y)

2x−y−x

²

; (e) f (x, y, z) = p

−x ² + 2x − y ² − z ² ; (f) f (x, y, z) = √ ¹

sin(x

²

+y

²

+z

²

) ; (g) f (x, y) = √

y + 2 + p

sin (x + y);

(h) f (x, y) = arcsin ln x ² + y ² − 6x − 8y + 25

; (i) f (x, y) = p

x ² − y ² − 1 − p

y ² − x ² + 1 + 2.

2. Naszkicowa´ c powierzchnie:

(a) ^(x−1) ₄

²

+ y ² + z ² = 1;

(b) x ² − 2x + y ² + z ² + 4z = 0;

(c) ^x ₂

²

+ y ² − 2z ² = 2;

(d) x ² − 2x + y ² − 4z ² + 3 = 0.

3. Naszkicowa´ c wykres funkcji:

(a) f (x, y) = 1 − p

−x ² + 2x − y ² ; (b) f (x, y) = x ² + y ² − 4y;

(c) f (x, y) = 2 − p

x ² + 2x + y ² + 2y + 5;

(d) f (x, y) = p

x ² + y ² − 1.

2 Granice i ci¸ ag lo´ s´ c

1. Oliczy´ c granice (lub wykaza´ c, ˙ze granica nie istnieje) (a) lim _x→−1

y→0 y x+1 ; (b) lim x→∞

y→∞

1 x + 1

arctan x ² + y ²

; (c) lim _x→0

y→0 sin 2x

3y ; (d) lim _x→0

y→0

e ⁻

^x2¹

cos ¹ _y ;

1

(2)

(e) lim _x→1

y→0 xy x−1+y .

2. Wykaza´ c, ˙ze funkcja

f (x, y) = xy x ² − y ² .

nie ma granicy podw´ ojnej w punkcie p = (0, 0) ale posiada obie granice iterowane.

3. Wykaza´ c, ˙ze dla funkcji

f (x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1

y

granice iterowane lim _x→0 (lim _y→0 f (x, y)) i lim _y→0 (lim _x→0 f (x, y)) nie istniej¸ a, ale lim _x→0

y→0

f (x, y) = 0.

4. Czy istnieje granica

x→0 lim

y→0

2xy x ² + y ² ?

5. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji f (x, y) = x ² y ²

x ² y ² + (x − 2y) ² w punkcie (0, 0) . 6. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji

f (x, y) = x sin ¹ _x + y

x + y w punkcie (0, 0) . 7. Obliczy´ c granic¸e

lim

(x,y)→(0,0)

x ² + y ²

|x| + |y| cos xy.

8. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji f (x, y, z) =

z cos |x|+|y|+|z| ¹ , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 0, (x, y, z) = (0, 00) . 9. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji

f (x, y) =

( x

⁴

−xy

³

x

²

+y

²

, (x, y) 6= (0, 0) , 0, (x, y) = (0, 0) . Wskaz´ owka: skorzysta´ c z nier´ owno´ sci |xy| ≤ ¹ 2 x ² + y ²

.

2

(3)

10. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji

f (x, y, z) =

( _{sin xyz}

√ x

²

+y

²

+z

²

, (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 0, (x, y, z) = (0, 00) . Wskaz´ owka: skorzysta´ c z nier´ owno´ sci: p

³

x ² y ² z ² ≤ ^x

²

^+y ₃

²

^+z

²

.

3

1. Wyznaczy´ c dziedzin¸e funkcji:

1 Dziedzina, powierzchnie.

1. Wyznaczy´ c dziedzin¸e funkcji:

(a) f (x, y) = q x

x

+y

+2x − 1;

(b) f (x, y) = arccos 2x+y x ; (c) f (x, y) = p

(x 2 + y 2 − 1) (4 − x 2 − y 2 );

(d) f (x, y) = √ ln(2+y)

2x−y−x

; (e) f (x, y, z) = p

−x 2 + 2x − y 2 − z 2 ; (f) f (x, y, z) = √ 1

sin(x

+y

+z

) ; (g) f (x, y) = √

y + 2 + p

sin (x + y);

(h) f (x, y) = arcsin ln x 2 + y 2 − 6x − 8y + 25

; (i) f (x, y) = p

x 2 − y 2 − 1 − p

y 2 − x 2 + 1 + 2.

2. Naszkicowa´ c powierzchnie:

(a) (x−1) 4

+ y 2 + z 2 = 1;

(b) x 2 − 2x + y 2 + z 2 + 4z = 0;

(c) x 2

+ y 2 − 2z 2 = 2;

(d) x 2 − 2x + y 2 − 4z 2 + 3 = 0.

3. Naszkicowa´ c wykres funkcji:

(a) f (x, y) = 1 − p

−x 2 + 2x − y 2 ; (b) f (x, y) = x 2 + y 2 − 4y;

(c) f (x, y) = 2 − p

x 2 + 2x + y 2 + 2y + 5;

(d) f (x, y) = p

x 2 + y 2 − 1.

2 Granice i ci¸ ag lo´ s´ c

1. Oliczy´ c granice (lub wykaza´ c, ˙ze granica nie istnieje) (a) lim x→−1

y→0 y x+1 ; (b) lim x→∞

y→∞

1 x + 1

arctan x 2 + y 2

; (c) lim x→0

y→0 sin 2x

3y ; (d) lim x→0

y→0

e −

cos 1 y ;

1

(e) lim x→1

y→0 xy x−1+y .

2. Wykaza´ c, ˙ze funkcja

f (x, y) = xy x 2 − y 2 .

nie ma granicy podw´ ojnej w punkcie p = (0, 0) ale posiada obie granice iterowane.

3. Wykaza´ c, ˙ze dla funkcji

f (x, y) = (x + y) sin 1 x sin 1

y

granice iterowane lim x→0 (lim y→0 f (x, y)) i lim y→0 (lim x→0 f (x, y)) nie istniej¸ a, ale lim x→0

y→0

f (x, y) = 0.

4. Czy istnieje granica

x→0 lim

y→0

2xy x 2 + y 2 ?

5. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji f (x, y) = x 2 y 2

x 2 y 2 + (x − 2y) 2 w punkcie (0, 0) . 6. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji

f (x, y) = x sin 1 x + y

x + y w punkcie (0, 0) . 7. Obliczy´ c granic¸e

lim

(x,y)→(0,0)

x 2 + y 2

|x| + |y| cos xy.

8. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji f (x, y, z) =

 z cos |x|+|y|+|z| 1 , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 0, (x, y, z) = (0, 00) . 9. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji

f (x, y) =

( x

−xy

x

+y

(a) f (x, y) = q _x

(b) f (x, y) = arccos _2x+y ^x ; (c) f (x, y) = p

(x ² + y ² − 1) (4 − x ² − y ² );

(d) f (x, y) = √ ^ln(2+y)

−x ² + 2x − y ² − z ² ; (f) f (x, y, z) = √ ¹

(h) f (x, y) = arcsin ln x ² + y ² − 6x − 8y + 25

x ² − y ² − 1 − p

y ² − x ² + 1 + 2.

(a) ^(x−1) ₄

+ y ² + z ² = 1;

(b) x ² − 2x + y ² + z ² + 4z = 0;

(c) ^x ₂

+ y ² − 2z ² = 2;

(d) x ² − 2x + y ² − 4z ² + 3 = 0.

−x ² + 2x − y ² ; (b) f (x, y) = x ² + y ² − 4y;

x ² + 2x + y ² + 2y + 5;

x ² + y ² − 1.

1. Oliczy´ c granice (lub wykaza´ c, ˙ze granica nie istnieje) (a) lim _x→−1

arctan x ² + y ²

; (c) lim _x→0

3y ; (d) lim _x→0

e ⁻

cos ¹ _y ;

(e) lim _x→1

f (x, y) = xy x ² − y ² .

granice iterowane lim _x→0 (lim _y→0 f (x, y)) i lim _y→0 (lim _x→0 f (x, y)) nie istniej¸ a, ale lim _x→0

2xy x ² + y ² ?

5. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji f (x, y) = x ² y ²

x ² y ² + (x − 2y) ² w punkcie (0, 0) . 6. Zbada´ c istnienie granic iterowanych i granicy podw´ ojnej dla funkcji

f (x, y) = x sin ¹ _x + y

x ² + y ²

z cos |x|+|y|+|z| ¹ , (x, y, z) 6= (0, 0, 0) , 0, (x, y, z) = (0, 00) . 9. Zbada´ c ci¸ ag lo´ s´ c funkcji

, (x, y) 6= (0, 0) , 0, (x, y) = (0, 0) . Wskaz´ owka: skorzysta´ c z nier´ owno´ sci |xy| ≤ ¹ 2 x ² + y ²

( _{sin xyz}

x ² y ² z ² ≤ ^x

^+y ₃

^+z