XX Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Leji dla szkół ponadgimnazjalnych i ponadpodstawowych
Poziom IS
(klasy pierwsze szkół ponadpodstawowych, ósme klasy szkół podstawowych) Etap powiatowy 15-02-2020, godzina 10.00 (150 minut)
1) Dany jest trapez ABCD, o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 25, |BC| = 15, |DC| = 11, |AD| = 13.
W trapezie tym poprowadzono odcinek DE równoległy do boku BC ( E należy do odcinka AB). Oblicz pole równoległoboku EBCD.
2) Rozwiąż równanie:
= , gdzie x≠0.
3) Wykaż, że wyrażenie ( nie przyjmuje wartości 0 dla żadnej liczby rzeczywistej. Oceń jaką wartość dodatnią czy ujemną przyjmuje wyrażenie w (odpowiedź uzasadnij).
4) Oblicz różnicę kwadratów różnic liczb w i z oraz y i x, o których wiadomo, że suma wszystkich czterech liczb wynosi 420 , zaś x do y jest jak 2 do 3, y do z jest jak 4 do 5, z do w jest jak 6 do 7.
5) W rombie ABCD dane są przekątne |AC| = 20 i |BD| = 15. Z wierzchołka kąta ostrego C tego rombu poprowadzono wysokości CE i CF. Oblicz różnicę pól czworokątów AECF i ABCD.
POWODZENIA!
XX Podkarpacki Konkurs Matematyczny im. Franciszka Leji dla szkół ponadgimnazjalnych
Poziom IG
(klasy pierwsze szkół ponadgimnazjalnych) Etap powiatowy 15-02-2020, godzina 10.00 (150 minut)
1) Udowodnić, że jeśli między każdymi dwoma cyframi liczby 1331 wstawimy taką samą liczbę zer, to otrzymamy sześcian liczby naturalnej.
2) Rozwiązać układ równań: + =2 i x+ y = 2.
3) Dany jest trapez ABCD, o podstawach AB i CD, w którym |AB| = 15 i |CD| = 6. Wyznacz długość odcinka KL (K należy do AD, L należy do BC), równoległego do AB i takiego, że |AK| do |KD| jest jak 2 do 1 i |BL| do |LC| jest jak 2 do 1. Znajdź stosunek pola trapezu KLCD do pola trapezu ABCD. Wynik przedstaw w postaci ułamka nieskracalnego.
4) Oblicz różnicę kwadratów różnic liczb w i z oraz y i x, o których wiadomo , że suma wszystkich czterech liczb wynosi 420, zaś x do y jest jak 2 do 3, y do z jest jak 4 do 5, z do w jest jak 6 do 7.
5) W rombie ABCD dane są przekątne |AC| = 20 i |BD| = 15. Z wierzchołka kąta ostrego C tego rombu poprowadzono wysokości CE i CF. Oblicz różnicę pól czworokątów AECF i ABCD.
POWODZENIA!
Zadania na XX Podkarpacki Konkurs Matematyczny Dla szkół ponadgimnazjalnych
Poziom II
(klasy drugie liceum i trzecie technikum)
Etap powiatowy 15 lutego 2020 r. godzina 10.00 (150 minut) 1) Sprawdź, czy zachodzi równość:
.
2) Wyznacz wszystkie liczby naturalne n, dla których liczba jest kwadratem liczby naturalnej.
3) Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c spełniających warunek , prawdziwa jest nierówność: .
4) Dany jest trójkąt równoboczny ABC. Punkty D i E dzielą boki AB i AC tego trójkąta w stosunkach
. Proste CD i BE przecinają się w punkcie S. Wykaż, że kąt ASB jest kątem prostym.
5) Wykaż, że zbiorem wartości funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Powodzenia!
