Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego
Inżynieria i Gospodarka Wodna
w ramach projektu „Era inżyniera – pewna lokata na przyszłość”
5. Wielomiany
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcję określoną wzorem
W (x) = a
0+ a
1x + . . . + a
n−1x
n−1+ a
nx
n, gdzie n ∈ N, a
i∈ R, a
n̸= 0.
Równość wielomianów
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Twierdzenie o rozkładzie wielomianu
Jeżeli W (x) i P (x) ̸≡ 0 są wielomianami, to istnieją takie wielomiany Q(x) i R(x), że W (x) = P (x) · Q(x) + R(x), przy czym R(x) ≡ 0 lub stopień wielomianu R(x) jest silnie mniejszy od stopnia wielomianu P (x).
Wielomian R(x) nazywamy resztą dzielenia W (x) przez P (x).
Pierwiastek wielomianu
Liczbę a nazywamy pierwiastkiem wielomianu W (x) wtedy i tylko wtedy, gdy W (a) = 0.
Twierdzenie B` ezout’a
Wielomian W (x) jest podzielny przez dwumian x − a wtedy i tylko wtedy, gdy liczba a jest pierwiast- kiem wielomianu W (x).
Wniosek: Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − a jest równa W (a).
Pierwiastek wielokrotny wielomianu
Liczba a jest k–krotnym pierwiastkiem wielomianu W (x), jeśli W (x) dzieli się przez (x − a)
ki nie dzieli się przez (x − a)
k+1. Wtedy wielomian W (x) możemy zapisać w postaci W (x) = (x − a)
kQ(x), gdzie Q(x) jest wielomianem niepodzielnym przez x − a.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych
Jeżeli liczba wymierna
pq̸= 0 (ułamek nieskracalny) jest pierwiastkiem równania a
nx
n+ a
n−1x
n−1+ . . . + a
1x + a
0= 0
o współczynnikach całkowitych, przy czym a
0, a
n̸= 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a
0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a
n.
Wniosek: Jeśli a
n= 1, to pierwiastków całkowitych równania algebraicznego o współczynnikach cał- kowitych należy szukać wyłącznie wśród podzielników wyrazu wolnego a
0.
Rozwiązywanie nierówności wielomianowych
• rozkładamy wielomian na czynniki;
• odczytujemy pierwiastki wielomianu (miejsca zerowe wielomianu);
• odczytujemy krotności pierwiastków wielomianu;
• zaznaczamy pierwiastki wielomianu na osi liczbowej;
• rysujemy schematyczny wykres wielomianu zaczynając zawsze od prawej strony:
◦ od góry, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest dodatni;
◦ od dołu, gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest ujemny;
• wykres
◦ „przecina” oś dla pierwiastków o nieparzystej krotności;
◦ „odbija się” od osi dla pierwiastków o parzystej krotności;
• odczytujemy rozwiązanie.
Przykładowe zadania
1. Wyznaczyć parametry A, B, C tak, aby wielomiany W (x) = (B + C)x
2+ (A − B)x − A oraz Q(x) = 2x
2+ x + 1 były równe.
Rozwiązanie:
Wielomiany te mają takie same stopnie. Aby były równe, muszą mieć równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej, tzn. 2 = B + C, 1 = A − B, 1 = −A.
Odpowiedź: A = −1, B = −2, C = 4.
2. Rozwiązać równanie x
4− 5x
2+ 6 = 0.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy podstawienie: x
2= t, t > 0.
Otrzymujemy równanie kwadratowe: t
2− 5t + 6 = 0.
∆ = 1, t
1= 2, t
2= 3 x
2= 2, stąd x = √
2 lub x = − √ 2 x
2= 3, stąd x = √
3 lub x = − √ 3 Odpowiedź: x ∈ { √
2, − √ 2, √
3, − √ 3 }.
3. Rozwiązać równanie x
3− 8 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia a
3− b
3= (a − b)(a
2+ ab + b
2).
(x − 2)(x
2+ 2x + 4) = 0
Zatem x − 2 = 0, stąd x = 2 lub x
2+ 2x + 4 = 0, stąd ∆ = −12, czyli nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: x = 2.
4. Rozwiązać równanie x
3+ 2x
2− x − 2 = 0.
Rozwiązanie:
Grupujemy (x
3+ 2x
2) − (x + 2) = 0 x
2(x + 2) − (x + 2) = 0
(x + 2)(x
2− 1) = 0
Zatem x + 2 = 0, czyli x = −2 lub x
2− 1 = 0, stąd ze wzoru skróconego mnożenia a
2− b
2= (a + b)(a − b) otrzymujemy (x + 1)(x − 1) = 0, więc x = −1 lub x = 1.
Odpowiedź: x ∈ {−2, −1, 1}.
5. Rozwiązać równanie x
3− 5x
2+ 11x − 10 = 0.
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Dzielnikami wyrazu wolnego (czyli liczby
−10) są: 1, −1, 2, −2, 5, −5, 10, −10.
Równanie spełnia liczba 2, bo W (2) = 2
3−5·2
2+ 11 ·2−10 = 0. Ponieważ W (2) = 0, to wielomian x
3− 5x
2+ 11x − 10 dzieli się bez reszty przez dwumian x − 2.
x
2− 3x + 5
x
3− 5x
2+ 11x − 10 : x − 2
−x
3+ 2x
2− 3x
2+ 11x 3x
2− 6x
5x − 10
− 5x + 10 Równanie przyjmuje postać:
(x − 2)(x
2− 3x + 5) = 0
Stąd x − 2 = 0, czyli x = 2 lub x
2− 3x + 5 = 0, ∆ = −11 < 0, więc nie ma pierwiastków.
Odpowiedź: x = 2.
6. Rozwiązać nierówność (x − 1)(x + 1)(x − 2) > 0.
1 x
-1 2
Odpowiedź: x ∈ [−1, 1] ∪ [2, +∞).
7. Rozwiązać nierówność x
2(x + 2)(x − 3) < 0.
0 x
-2 3
Odpowiedź: x ∈ (−2, 3) \ {0}.
8. Rozwiązać nierówność (x − 1)(2 − x)(x + 4)
36 0.
1 x
-4 2
Odpowiedź: x ∈ [−4, 1] ∪ [2, +∞).
Zadania
