Modelowanie procesu rozdrabniania mieszaniny
materiałów o różnej twardości
Henryk Otwinowski
1*, Vladimir P. Zhukov
2**, Dimitrii A. Osipov
2**
1Politechnika Częstochowska, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki, Instytut Maszyn Cieplnych,
al. Armii Krajowej 21, 42–201 Częstochowa
2Ivanovo State Power University, Faculty of Electromechanics, Department of Applied Mathematics,
Rabfakovskaya 34, 153003 Ivanovo, Russian Federation e-mail: * otwinowski@imc.pcz.czest.pl, ** zhukov@emf.ispu.ru
Streszczenie Rozdrabnianie mieszaniny materiałów o różnej twardości charakteryzuje się tym, że ziarna produktu mielenia bardziej twardego składnika mają większe rozmiary w porównaniu do ziaren produktu mielenia składnika o mniejszej twardości. Klasyfikacja ziaren takiej mieszaniny produktów umożliwia zwiększenie udziału żądanego składnika w gotowym produkcie. Analiza teoretyczna procesu rozdrabniania mieszaniny materiałów została przeprowadzona w ramach koncepcji modelowania procesów chemicznych na podstawie dyskretnych postaci równania Boltzmanna. W badaniach eksperymentalnych opracowano odpowiednią metodykę przeprowadzenia testów i obróbki danych doświadczalnych, otrzymanych przy użyciu laboratoryjnego młyna fluidalnego. Na podstawie analizy teoretycznej przedstawiono model do opisu kinetyki rozdrabniania każdego składnika mieszaniny, co umożli-wia ocenę efektywności zwiększenia udziału żądanego składnika w gotowym produkcie. Opracowano metodę rozwiązania równania procesu rozdrabniania selektywnego oraz algorytm umożliwiający zastosowanie komputera do obliczeń. Po przeprowadzeniu badań eksperymentalnych otrzymano wyniki rozdrabniania binarnej mieszaniny o różnej zawartości poszczególnych składników w nadawie młyna fluidalnego. Identyfikację eksperymentalną modelu przeprowadzono, wykorzystując wyniki oddzielnego rozdrabniania składników mieszaniny. Parametrami identyfikacji były współczynniki zależne od właściwości wytrzymałościowych każdego składnika. Adekwat-ność modelu sprawdzono na podstawie wyników rozdrabniania mieszaniny o różnych udziałach masowych badanych materiałów. Do sprawdzenia adekwatności modelu wykorzystano dane doświadczalne inne niż te, na podstawie których przeprowadzono identyfikację parametryczną modelu. Porównanie wyników obliczeń i eksperymentów wykazało adekwatność przedstawionego modelu matematycz-nego oraz możliwość przeprowadzenia oceny efektywności rozdziału składników mieszaniny. Przeprowadzone badania umożliwiły rozszerzenie koncepcji modelowania procesów chemicznych na podstawie dyskretnych postaci równania Boltzmanna o model procesu rozdrabniania selektywnego mieszaniny materiałów o różnej twardości.
Słowa kluczowe: model matematyczny, równanie Boltzmanna, mieszanina binarna, twardość materiału, młyn fluidalny
MODELLING OF THE COMMINUTION PROCESS OF A MIXTURE OF DIFFERENT HARDNESS MATERIALS
At joint comminution of components with different grindability, the particles of more strong material are of larger size than the particles of less strong material. The size classification of such a mixture allows enriching the objective component in the end product. The com-putational research of the comminution process of a materials mixture was done using the conception of chemical processes modelling based on the discrete analogues of the Boltzmann equation. A special program for experimentations and experimental data treatment obtained at a lab-scale fluidized bed jet mill was developed. Based on a theoretical analysis, a model to describe the comminution kinetics for each component of a mixture was developed. It allows estimating the efficiency of enrichment of the end product by the objective component. A method to solve the equations of the selective model of comminution and the computer algorithm for its realization was developed as well. The experimental data on com-minution of binary mixture of components at their different content in the fluidized bed jet mill hold-up were obtained. These data were used to identify the model with respect to the parameters that characterized the grindability of each component. The model adequacy was checked using the data on joint comminution of mixtures with different content of components. These data were not used for the model identification. Comparison of calculated and experimental data showed the model adequacy and possibility of its usage to estimate the efficiency of components separation. The investigation allowed generalizing the conceptions of chemical processes modelling based on the discrete analogues of the Boltzmann equation to the case of selective comminution of a mixture of components with different grindability. Keywords: Mathematical model, Boltzmann equation, Binary mixture, Material hardness, Fluidized bed jet mill
1.
Wprowadzenie
Rozdrabnianie mieszaniny materiałów o różnej twardości skutkuje tym, że po rozdrobnieniu ziarna bardziej twardego składnika mają większe rozmiary w porównaniu z ziarnami składnika o mniejszej twardości [1, 2]. Przeprowadzenie, w dalszym etapie, klasyfikacji produktów takiego rozdrab-niania daje możliwość wzbogacania gotowego produktu. W literaturze można znaleźć nieliczne artykuły dotyczącebadania efektywności rozdrabniania mieszaniny materia-łów w różnych rodzajach młynów takich jak młyn bębnowy [3], młyn rolkowy [4] czy młyn autogeniczny [5, 6]; brakuje natomiast prac dotyczących młyna fluidalnego. Celem niniejszych badań jest opracowanie matematycz-nego modelu procesu selektywnego rozdrabniania binarnej mieszaniny materiałów o różnej twardości. Model selek-tywnego rozdrabniania opracowano przy wykorzystaniu dyskretnej postaci równania Boltzmanna. Identyfikację parametryczną modelu wykonano na podstawie wyników badań eksperymentalnych rozdrabniania mieszaniny ma-teriałów o różnej twardości w młynie fluidalnym. W celu sprawdzenia adekwatności modelu i oceny efektywności procesu rozdrabniania mieszaniny materiałów o różnej twardości przeprowadzono obliczenia teoretyczne na pod-stawie opracowanego modelu. Wybór młyna fluidalnego [7–10] jako obiektu badań jest uzasadniony z jednej strony szerokim zastosowaniem w różnych gałęziach przemysłu, a z drugiej strony możliwością klasyfikacji pneumatycznej rozdrobnionych materiałów i w konsekwencji wzbogacania gotowego produktu.
2. Analiza teoretyczna
Kinetykę selektywnego mielenia można opisać wyko- rzystując kinetyczne równanie Boltzmanna [11], które sto- sowane jest w modelowaniu różnorodnych procesów wy-stępujących w inżynierii chemicznej i mechanicznej [11, 12]:( )
′
+
( )
′
=
( )
′
+
′
t c v k x k tv
f
a
f
f
f
k k (1) gdzie: f – szukana funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu ziaren materiału w przestrzeni obliczeniowej, t – czas, a – przyspieszenie, v – prędkość, x – współrzędna po-łożenia, fc – źródłowy człon równania, opisujący zewnętrzne strumienie i przejścia ziaren pomiędzy klasami ziarnowymi podczas rozdrabniania, indeks k występujący w lewej części równania oznacza sumowanie względem tego indeksu. W celu rozwiązania równania (1) wykorzystano metody-kę opartą na rachunku macierzowym [13], w której ciągła funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu ziaren ma-teriału zastąpiona jest postacią dyskretną. W tym przypadku wielowymiarowa przestrzeń obliczeniowa przekształcona jest w jednowymiarowy łańcuch komórek. Szukana gęstość rozkładu ziaren względem komórek przestrzeni jest wyra-żona przez jednowymiarowy wektor f = {fi}, gdzie indeks i oznacza numer komórki. Dla każdej komórki można wska-zać numery tych komórek, do których możliwe jest przejście ziaren; oznaczając prawdopodobieństwa tych przejść przez pij ewolucję stanu zbioru ziaren w czasie można wyrazić następującym równaniem:∑
j k j ij k i pf f 1 1 1 (2) gdzie k1 oznacza numer kroku czasowego. Przy tworzeniu modelu selektywnego rozdrabniania mie-szaniny materiałów o różnej twardości szukaną gęstość prawdopodobieństwa rozkładu ziaren należy określić od-dzielnie dla każdego składnika. W celu wyjaśnienia zasad tworzenia modelu na Rys. 1b ziarna różnych składników mieszaniny przedstawiono różnymi kolorami. W warstwie fluidalnej podczas ruchu ziarna wzajemnie zderzają się i podczas każdego zderzenia zachodzi wymiana energii. Opisany mechanizm wzajemnego oddziaływania składni-ków mieszaniny zilustrowano na Rys. 1c, gdzie dla dwóch składników przedstawiono dwie przestrzenie obliczeniowe, pomiędzy którymi za pomocą strzałek oznaczono możliwość wymiany energii E. Przestrzeń obliczeniową tego składni-ka zaznaczono odpowiednio do koloru ziaren składnika w warstwie. Aby opisać procesy zachodzące w komorze mielenia wybrano układ o następujących współrzędnych: rozmiar ziarna δ, prędkość ziarna v i wysokość położenia ziarna w warstwie x. Zastosowanie w modelowaniu dwóch oddzielnych trójwymiarowych przestrzeni obliczeniowych jest równoznaczne z wprowadzeniem do przestrzeni ob-liczeniowej nowej czwartej współrzędnej, wzdłuż której, w rozpatrywanym przypadku, zmienia się numer składnika mieszaniny. Do przeprowadzenia obliczeń na podstawie równania (2) konieczne jest wyznaczenie prawdopodobieństwa przej-В М П V X X V E δ δ a) b) c)Rys. 1. Widok stanowiska badawczego z młynem fluidalnym (a), modelowe przedstawienie rozdrabniania ziaren mieszaniny materiałów o różnej twardości w warstwie fluidalnej (b), struktura przestrzeni obliczeniowej do opisu rozdrabniania składników mieszaniny w młynie fluidalnym (c): B – doprowadzenie powietrza, П – doprowadzenie materiału wejściowego, M – wyprowadzenie powietrza i produktu drobnoziarnistego.
Fig. 1. Photo of laboratory setup with a fluidized bed jet mill (a), model presentation of grinding of particles of different grindability in a fluidized bed (b), the structure of the phase space for separate grinding to describe each component of the mixture (c): B – air supply, П – feed to the mill, M – fine and air.
ścia ziaren pomiędzy komórkami wybranej przestrzeni ob-liczeniowej [13]. W dalszej części artykułu przedstawiono sposób określenia tych prawdopodobieństw dla procesu selektywnego rozdrabniania. Znane w literaturze modele rozdrabniania selektywnego [14–17] umożliwiają opis tego procesu tylko dla jednego składnika. W modelowaniu roz-drabniania mieszaniny dwóch składników zwykle zakłada się ich oddzielne i niezależne rozdrabnianie. Taki opis pro-cesu rozdrabniania każdego ze składników [14] prowadzi do powstania błędów podczas obliczeń. Aby uwzględnić wzajemne oddziaływanie jednego składnika na kinetykę roz-drabniania drugiego wprowadza się przestrzeń obliczeniową dla każdego składnika (Rys. 1c). Pomiędzy tymi przestrze-niami obliczeniowymi dozwolona jest wymiana energii, ale nie zachodzi wymiana masy. Proces rozdrabniania ziaren zapisany po prawej stronie równania (1) można przedstawić następującym równaniem [14]:
fc t max
∫
fx,v, t,
p , ,E
d δ δ ε ε δ ε (3) gdzie: ε – rozmiar ziaren rozdrabnianych, δ – rozmiar ziaren rozdrobnionych, δmax – maksymalny rozmiar ziaren, E –
ener-gia doprowadzona do rozdrabnianych ziaren.
Funkcja podcałkowa p jest to funkcja rozdrabniania, wyrażająca udział masowy elementarnej klasy ziarnowej nadawy [ε,ε + dε] , która przeszła do elementarnej klasy produktu [δ,δ + dδ] dzięki doprowadzeniu energii E = (x,v,ε,t). Z powyższej analizy wynika, że w celu uwzględnienia pro-cesu rozdrabniania konieczne jest wyznaczenie funkcji rozkładu energii rozdrabniania w przestrzeni obliczeniowej E = (x,v,δ,t) oraz funkcji rozdrabniania p(δ,ε,E), odpowia- dającej znanej wartości energii doprowadzonej do komór-ki. W dalszych rozważaniach energię zastąpiono energią właściwą, odniesioną do jednostki masy. Do wyznaczenia energii właściwej rozdrabniania ẽij przy zderzeniu ziaren
o rozmiarach δi i δj wykorzystano zależność otrzymaną przy założeniu, że energia rozbicia ziarna jest proporcjonalna do energii rozproszonej [16].
t v x , v , v v v v k e~ i j i j j i j i r ij δ δδ δ β δ ∆ 3 3 2 1 2 3 (4) gdzie: kr – współczynnik restytucji, β – objętościowa kon-centracja ziaren w rozpatrywanej objętości młyna (komory mielenia), Δt – krok czasowy.
Energia rozproszona jest równa różnicy energii po zde-rzeniu sprężystym (kr = 1) i energii po zderzeniu niespręży-stym (kr < 1). W celu wyznaczenia energii całkowitej, która jest doprowadzana do i-tej klasy ziarnowej z uwzględnie-niem oddziaływania z innymi ziarnami, należy zsumować energię (4) ziaren należących do tych klas, które oddziałują z rozpatrywanym ziarnem. Dla znanych wartości energii do-prowadzonej do nadawy o określonym składzie ziarnowym postać funkcji rozdrabniania można wyznaczyć przy wyko-rzystaniu zasady maksymalizacji entropii informacyjnej [18]:
∑
j j ij ij j ij exp e e exp p µ µ (5) gdzie μj – współczynnik, którego wartość oblicza się wyko-rzystując warunek normalizacji funkcji przejścia pij:1
∑
j ijp
(6) oraz bilans energii:∑
j ij ij j e p e (7) Energię właściwą konieczną do rozdrobnienia ziaren kla-sy j do rozmiarów ziaren klaEnergię właściwą konieczną do rozdrobnienia ziaren kla-sy i oblicza się według hipotezy Rittingera: j i R ij c e δ δ 1 1 (8) gdzie: cR – współczynnik, którego wartość zależy od właści-wości wytrzymałościowych danego składnika mieszaniny.3.
Metodyka eksperymentu
W celu przeprowadzenia identyfikacji i sprawdzenia ade- kwatności przedstawionego modelu wykonano badania eks- perymentalne procesu selektywnego rozdrabniania miesza-niny materiałów o różnej twardości w laboratoryjnym młynie fluidalnym. Na Rys. 1a przedstawiono widok stanowiska badawczego, a schemat przepływu czynników (materiału i powietrza) w młynie przedstawiono na Rys. 1b. Wejściowa mieszanina materiałów o różnej twardości i powietrze po- dawane są do komory mielenia w takich ilościach, aby za-pewnić utworzenie warstwy fluidalnej. Proces rozdrabniania zachodzi w wyniku wzajemnych zderzeń ziaren i ze ścian-kami komory. Rozdrobnione ziarna o różnych rozmiarach wynoszone są przez powietrze do grawitacyjnego stopnia klasyfikacji, który znajduje się bezpośrednio nad warstwą fluidalną. W wyniku klasyfikacji grawitacyjnej grube ziarna wracają do warstwy fluidalnej, a drobne unoszone są do następnego, odśrodkowego stopnia klasyfikacji. Szczegó-łowy schemat stanowiska badawczego przedstawiono na Rys. 2. Powietrze robocze ze sprężarki 1 podawane jest do cylindrycznej komory mielenia przez kolektor 3 za pomocą czterech dysz 5, przy czym trzy dysze rozmieszczone są równomiernie na obwodzie komory i nachylone pod kątem 30° względem poziomu, a jedna dysza – pionowo wzdłuż osi w dolnej części komory. Nadawa podawana jest do komory mielenia od góry. Ciśnienie powietrza roboczego mierzono za pomocą manometru 4. Po każdej próbie roz-drabniania materiał odbierano po zdemontowaniu dolnej części komory. Drobny produkt mielenia separowany był w cyklonie 9 i filtrze tkaninowym 11. Materiałem badawczym była mieszanina piasku kwarcowego i cukru. Celem badań eksperymentalnych było określenie zmiany składu ziarno- wego rozdrabnianych próbek materiału przy różnym udzia-le masowym składników w mieszaninie binarnej. Badania kinetyki procesu rozdrabniania przeprowadzono w sposób periodyczny, a parametry pracy klasyfikatora odśrodkowego (prędkość obrotowa wirnika) były tak dobrane, że prak-tycznie cały materiał zawracany był do komory mielenia, ponieważ proces klasyfikacji odśrodkowej w modelowaniu nie był uwzględniony.W trakcie badań rozdrabniania selektywnego zmieniano udział masowy składników mieszaniny przy stałej masie całkowitej nadawy wynoszącej 1 kg. Podczas prób czas rozdrabniania periodycznego nie ulegał zmianie i wyno-sił 180 s, a nadciśnienie powietrza roboczego wynosiło 150 kPa. Po każdej próbie wykonywane były pomiary składu ziarnowego nadawy i produktów rozdrabniania przy użyciu analizatora sitowego.
4.
Analiza wyników badań
Wyniki przeprowadzonych badań eksperymentalnych rozdrabniania w młynie fluidalnym mieszaniny materia-łów o różnej twardości przedstawiono na Rys. 3 w postaci skumulowanych krzywych składu ziarnowego. Na Rys. 3 przedstawiono także wyniki obliczeń kinetyki rozdrabniania przeprowadzonych na podstawie opracowanego modelu matematycznego. Identyfikację modelu przeprowadzono w oparciu o wyniki badań oddzielnego rozdrabniania skład-ników binarnej mieszaniny (krzywe 1 i 4 na Rys. 3). Parametrem identyfikacji był współczynnik CR występu-jący w hipotezie energetycznej Rittingera [14]. Identyfikację przeprowadzono metodą minimalizacji odchylenia danych teoretycznych i eksperymentalnych. W obliczeniach prze-strzeń fazowa dla każdego składnika była trójwymiarowym zbiorem komórek, dla których dyskretne wartości współ-rzędnych fazowych przedstawiono w postaci następujących wektorów:
[
0,10,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8]
x= , m (9)2,8 2,1 1,4 0,7 0,010,71,4 2,12,8 3,5
v , m/s (10)
56 71100125160 300 400 600 7501000
δ , mm (11) Obliczenia przeprowadzone w oparciu o model mate- matyczny umożliwiły wyznaczenie parametrów identyfika-cji na podstawie danych eksperymentalnych oddzielnego rozdrabniania składników mieszaniny. Stosunek obliczonych parametrów identyfikacji (współczynników w hipotezie Rit-tingera: cR1 dla cukru i cR2 dla piasku kwarcowego) wynosił
3,33. Wyniki badań eksperymentalnych przeprowadzonych dla różnych udziałów masowych składników w mieszaninie binarnej, przedstawione na Rys. 3 za pomocą krzywych 2 i 3, wykorzystano do sprawdzenia adekwatności zapropo- nowanego modelu rozdrabniania selektywnego. Porówna-nie danych teoretycznych i eksperymentalnych świadczy o zadowalającej dokładności opisu rzeczywistego procesu przez model matematyczny. Średnia wartość odchylenia danych obliczeniowych od danych eksperymentalnych, wy-korzystywanych przy sprawdzeniu adekwatności modelu, wynosiła poniżej 1%. Nadawa Produkt I Produkt II 2 4 3 1 5 6 7 8 13 11 12 9 10
Rys. 2. Schemat stanowiska laboratoryjnego z młynem fluidalnym: 1 – sprężarka, 2 – przepływomierz, 3 – kolektor, 4 – manometr, 5 – dysze, 6 – komora mielenia, 7 – klasyfikator, 8 – nadawa, 9 – cyklon, 10 – zbiornik, 11 – filtr, 12 – wentylator, 13 – powietrze dodatkowe. Fig. 2. Scheme of the laboratory setup with fluidized bed jet mill: 1 – compressor, 2 – flow meter, 3 – collector, 4 – manometer, 5 – nozzles, 6 – grinding chamber, 7 – classifier 8 – feed of material, 9 – cyclone, 10 – bunker, 11 – filter, 12 – fan, 13 – secondary air.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x,мм F(x ) 2 1 3 4
Rys. 3. Obliczony (linie) i doświadczalny (punkty) skumulowany skład ziarnowy dla różnych udziałów piasku kwarcowego w miesza-ninie binarnej: 1 – 0%; 2 – 20%; 3 – 60%; 4 – 100%.
Fig. 3. Calculated (lines) and experimental (points) particle under-size distribution at different content of quartz sand in the binary mixture: 1 – 0%; 2 – 20%; 3 – 60%; 4 – 100%.
5. Wnioski
Przeprowadzone badania teoretyczno-eksperymental-ne umożliwiły rozszerzenie zakresu stosowania równania Boltzmanna w modelowaniu procesów mechanicznych i chemicznych o przypadek selektywnego rozdrabniania mieszaniny materiałów. Na podstawie przeprowadzonych badań można stwierdzić, że model, z wystarczającą dla obliczeń inżynierskich dokładnością, opisuje proces se-lektywnego rozdrabniania binarnej mieszaniny materiałów o różnej twardości, co umożliwia przeprowadzenie oceny możliwości wzbogacania poszczególnych składników i okre-ślenie optymalnych parametrów procesu technologicznego rozdziału danych składników. W przyszłych badaniach pla- nuje się uwzględnienie w modelowaniu procesu rozdrab-niania mieszaniny trzech i więcej składników oraz procesu klasyfikacji odśrodkowej.
Podziękowania
Badania, przedstawione w niniejszym artykule, wy-konane zostały w ramach badań statutowych nr BS/PB 1–103–3020/2017/P pt. „Teoretyczno-eksperymentalne badania wykorzystania procesu fluidyzacji w energetyce”, które prowadzone są w Instytucie Maszyn Cieplnych, na Wydziale Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Politechniki Częstochowskiej.
Literatura
[1] Tsimas, S., Tsivilis, S., Parissakis, G.: Interaction of the con-stituents of a mixture during a co-grinding process, Ciments, bétons, plâtres, chaux, 3, (1984), 147–150.[2] Tsivilis, S., Voglis, N., Photou, J.: A study of the intergrinding of clinker and limestone, Minerals Eng., 12, 7, (1999), 837–840. [3] Stepanov, A. L., Shinkorenko, S. F., Frolov, A. V., Kochetkov,
P. A.: Selective comminution of two-component mineral mix-tures, Soviet Mining Sci., 27, 3, (1991), 202–207.
[4] Abouzeid, A.-Z. M., Fuerstenau, D. W.: Grinding of mineral mixtures in high-pressure grinding rolls, Int. J. Mineral Proc., 93, 1, (2009), 59–65. [5] Bueno, M., Shi, F., Kojovic, T., Powell, M.: Investigation on multicomponent semiautogenous grinding, w materiałach 25th International Mineral Processing Congress, IMPC 2010, Bris-bane, Australia, 1, 611–618. [6] Casagrande, C., Alvarenga, T., Pessanha, S.: Study of iron ore mixtures behavior in the grinding pelletizing process, Mineral Proc. Extractive Metall. Rev., 38, 1, (2017), 30–35. [7] Fukunaka, T., Golman, B., Shinohara, K.: Batch grinding ki-netics of Ethenzamide particles by fluidized-bed jet-milling, Int. J. Pharm., 311, (2006), 89–96. [8] Zhukov, V. P., Otwinowski, H., Belyakov, A. N., Urbaniak, D.: Description of the grinding process and the classification of bulk materials on the basis of the Boltzmann equation, Vestnik IGEU, 1, 2011, 108 (in Russian). [9] Belyakov, A. N., Zhukov, V. P.: Effect of operating and design parameters on the efficiency of a wind classification, Izv. Vu-zov “Khimiya i khimicheskaya tekhnologiya”, 55, 1, (2012), 108–111 (in Russian).
[10] Otwinowski, H., Zhukov, V., Wyleciał, T., Belyakov, А., Górecka-Zbrońska, А.: Research and modeling of processes in the fluidized bed opposed jet mill, Techn. Sciences, 17, 4, (2014), 381–390.
[11] Vedenyapin, V. V.: Kineticheskoe uravnenie Bol’tsmana i Vlasova (Boltzmann–Vlasov Kinetic Equation), Fizmatlit, Moscow, (2001), (in Russian).
[12] Aristov, V. V., Rovenskaya, O. I.: Application of the Boltzmann kinetic equation to the eddy problems, Computers and Fluids, 50, (2011),189–198.
[13] Svidetel’stvo o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM “Raschet mnogomernykh sovmeshchennykh prot-sessov izmel’cheniya, klassifikatsii v sypuchikh sredakh”, № 2010612671 ot 19.04.2010. Avtory: Belyakov A.N., Zhukov V.P., Vlasyuk A.A., Barochkin A.E. (in Russian).
[14] Mizonov, V. E., Zhukov, V. P., Bernotat, S.: Simulation of Grinding: New Approaches, ISPU Press, Ivanovo, (1997). [15] Wyleciał, T., Krawczyk, E., Urbaniak, D.: Teoria procesów Markowa w modelowaniu procesu rozdrabniania materiałów kruchych, Hutnik-Wiadomości Hutnicze, 78, 5, (2011), 452– 455. [16] Zhukov, V. P., Mizonov, V. E., Belyakov, A. N.: Generaliza-tion of Boltzmann kinetic equation for describing combined processes of grinding and classification, Vestnik IGEU, 6, (2013), 86–89 (in Russian). [17] Urbaniak, D., Wyleciał, T., Zhukov, V. P., Barochkin, E. V.: Zastosowanie entropijnego uogólnienia rozkładu Maxwel-la-Boltzmanna do modelowania rozdrabniania w młynie strumieniowo-fluidalnym, Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, Mechanika, nr 2 (290), z. 86, (2014), 277–284. [18] Zhukov, V., Mizonov, V., Filitchev, P., Bernotat, S.: The model-ling of grinding process by means of the principle of maximum entropy, Powder Techn., 95, (1998), 248–253.
