ModelewielorównanioweJakubMućk Ekonometria

(1)

Modele VAR

Ekonometria

Modele wielorównaniowe

Jakub Mućk

Katedra Ekonomii Ilościowej

(2)

Modele VAR

Outline

1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych

2 Modele równań współzależnych (SEM)

3 Problem identyfikowalności parametrów

4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Strukturalne modele VAR

Strukturalne modele VAR

(3)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja

P Q

E1

E2

E3

Q to ilość dobra P to cena dobra

E1, E2oraz E3 to obserwowane wiel- kości.

(4)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja

P Q

E1

E2

E3 Q to ilość dobra P to cena dobra

Zależność wynikająca z obserwacji empirycznych:

Q = β0+ β1P + ε (1) Jakiego znaku jest β1?

(5)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja

P Q

E1

E2

E3

S

Krzywa podaży (S)

QS= β0+ β1P + εs (1) gdzie εs to nieobserowalna determi- nanta podaży (unobservable supply shifter)

(6)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja

P Q

E1

E2

E3

S

D1

D2

D3

Krzywa podaży (S)

QS= β0+ β1P + εs (1) gdzie εs to nieobserowalna determi- nanta podaży (unobservable supply shifter)

Krzywe popytu (Di) dla różnych war- tości Z

QD= α0+ α1P + α2Z + εd (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a εd to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shi- fter).

(7)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja

P Q

E1

E2

E3

D1

D2

D3

S1

S2

S3

Krzywe podaży (Si) dla różnych war- tości X:

QS= β0+ β1P + β2X + εs (1) gdzie X to obserowalna determinanta podaży (observable demand shifter), a εs to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (Di) dla różnych war- tości Z

QD= α0+ α1P + α2Z + ε_d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a εd to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shi- fter).

(8)

Modele VAR

Współprzyczynowość I

Przykład:(Keyensowski) model konsumpcji:

c = α + βy + ε (3)

y = c + i (4)

gdzie c to konsumpcja, yodpowiada zagregowanemu produktowi, i to inwe- stycje a ε to składnik losowy, t.j., ε ∼ N (0, σ²ε).

W powyższym systemie równań mamy dwie zmienne endogeniczne (c oraz y) i jedną zmienną egzaogeniczną (i).

Postać zredukowana (reduced form) to taka postać modelu, w której zmienne endogeniczne są determinowane jedynie przez zmienne egzogeniczne oraz zaburzenia losowe. W naszym przypadku:

y = c + i

y = α + βy + ε + i (1 − β)y = αi + ε

y = α

(1 − β)+ 1

(1 − β)i + 1 (1 − β)ε.

(9)

Modele VAR

Współprzyczynowość II

Ogólny zapis estymatora MNK dla krańcowej skłonności do konsumpcji (β) można wyprowadzić korzystając z tożsamości (3):

βˆ^OLS= β +

P(y − ¯y) ε P(y − ¯y)²

| {z }

=0 jezeli E(y|ε)=0

. (5)

Ale z formy zredukowanej naszego modelu wiemy, że y zależy od ε. W takim przypadkuβˆ^OLS6= β, a więc estymator MNK będzie niezgodny.

(10)

Modele VAR

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych

Modele wielorównaniowepozwalają na uwzględnienie skomplikowanych (współzależności) pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi.

Modele wielorównaniowemogą w różnym stopniu bazować na teorii ekonomii. Przykładowy podział:

Modele czysto teoretycznebazujące na teorii ekonomii. Np. model wzrostu Solowa, model endogenicznego wzrostu Romera, model konkurencji monopoli- stycznej.

Stosowane modele teoretyczne, np. stosowane modele równowagi ogólnej, modele RBC.

Modele hybrydowe. Np. Model NECMOD.

Stosowane modele empiryczne. Np. strukturalne modele VAR.

Modele czysto empiryczne. Np. Modele wektorowej autoregresji VAR.

(11)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

1 Liczba równań:

modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe

2 Postać funkcyjna:

modele liniowe modele nieliniowe

3 Charakter dynamiczny modeli:

modele statyczne modele dynamiczne

4 Walory poznawcze modelu:

modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne

5 Zakres analizy:

modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne

6 Powiązania między zmiennymi:

modele proste modele rekurencyjne

modele o równaniach współzależnych

(12)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

(13)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

(14)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

(15)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

(16)

Modele VAR

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2)

(17)

Modele VAR

Outline

(18)

Modele VAR

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna

Postać strukturalna (structural form) to postać modelu wynikająca z teorii ekonomii.

Dla układu M równań

γ11y1t+ . . . + γ1MyM t+ β11x1t+ . . . + β1KxKt = ε1t

γ21y2t+ . . . + γ2MyM t+ β21x2t+ . . . + β2KxKt = ε2t

.. . γM 1y1t+ . . . + γM MyM t+ βM 1xM t+ . . . + βM KxKt = εM t

M zmiennych endogenicznych: y1t, y2t, . . ., yM t. K zmiennych egzogenicznych: x1t, x2t, . . ., xKt.

M strukturalnych zaburzeń losowych: ε1t, ε2t, . . ., εM t. Przyjmując, że ε = [ε1t, ε2t, . . . , εM t]

E(ε) = 0 oraz E(εε^T) = Σ,

gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi.

(19)

Modele VAR

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna

Postać strukturalna (structural form):przy pomocy zapisu macierzowego dla każdej obserwacji (t):

[y1 y2 . . . yM]_t







γ11 γ12 . . . γ1M

γ21 γ22 . . . γ2M

.. . γM 1 γM 2 . . . γM M





 +

+ [x1 x2 . . . xK]_t







β11 β12 . . . β1M

β21 β22 . . . β2M

.. .

βM 1 βM 2 . . . βM M







= [ε1 . . . ε2 εM]_t

(20)

Modele VAR

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna

Postać strukturalna (structural form) – zapis macierzowy:

YΓ + XB = ε, (6)

gdzie (przyjmując T jako liczbę obserwacji):

Y to macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach T × M . X to macierz zmiennych egzogenicznych o wymiarach T × K.

ε to macierz struturalnych zaburzeń losowych o wymiarach T × M .

Γ macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych o wymiarach M × M . B macierz parametrów przy zmiennych egzogenicznych o wymiarach K × M . Ponadto:

E(ε) = 0 oraz E(εε^T) = Σ,

gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi.

Zatem na postać strukturalną składają się: Γ, B, ale i Σ.

(21)

Modele VAR

Modele równań współzależnych (SEM) - postać zredukowana

Postać zredukowana (reduced form):

Y = XΠ + ν, (7)

gdzie

Π = −BΓ⁻¹ (8)

oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej:

ν = εΓ⁻¹ (9)

oraz

E(νν^T) = Γ⁻¹^T

ΣΓ⁻¹= Ω. (10)

(22)

Modele VAR

Modele równań współzależnych (SEM) - postać zredukowana

Y = XΠ + ν, (7)

gdzie

Π = −BΓ⁻¹ (8)

oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej:

ν = εΓ⁻¹ (9)

oraz

E(νν^T) = Γ⁻¹^T

ΣΓ⁻¹= Ω. (10)

(23)

Modele VAR

Outline

(24)

Modele VAR

Problem Identyfikacji parametrów – ilustracja

Obserwacje empiryczne: E1, E2oraz E3.

P Q

E1

E2

E3

S

(25)

Modele VAR

Problem Identyfikacji parametrów – ilustracja

P Q

E1

E2

E3

S

P Q

E1

E2

E3

S

D1

D2

D3

(26)

Modele VAR

Problem Identyfikacji parametrów – ilustracja

P Q

E1

E2

E3

S

P Q

E1

E2

E3

S

D1

D2

D3

P Q

E1

E2

E3

D1

D2

D3

S1

S2

S3

(27)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów I

Postać strukturalna (structural form):

YΓ + XB = ε (11)

Y = XΠ + ν (12)

Π = −BΓ⁻¹ (13)

Intuicyjnie, kluczowy jest przypadek, gdy jedna postać zredukowana odpowiada dokładnie jednej postaci strukturalnej.

W przypadku, gdy kilka postaci strukturalnych może prowadzić do tej samej postaci zredukowanej pojawia się problem braku identyfikowalności parame- trów.

(28)

Modele VAR

Przykład I

Przykład (qd– popyt; qs– podaż, p – cena; z – inna zmienna egzogeniczna):

qd = α0+ α1p + α2z + εd (14) qs = β0+ β1p + β2z + εs (15)

qd = qs (16)

Po drobnej manipulacji postać zredukowana oraz przy złożeniu, że α1 6= β1: q = ^α¹_α^β⁰^−α⁰^β¹

1−β₁ +^α¹_α^β²^−α²^β¹

1−β₁ z +^α¹_α^ε^s^−α²^ε^d

1−β₁ = π11+ π21z + νq, (17) p = ^β_α⁰^−α⁰

1−β₁ +^β_α¹^−α2

1−β₂z +_α^ε^s^−ε^d

1−β₁ = π12+ π22z + νp, (18) Postać zredukowana zawiera zaledwiecztery parametry (π11, π12, π21i π22), a postać strukturalna aższeść parametrów (α0, α1, α2, β0, β1 i β2). Oczy- wistym zatem jest fakt, żenie ma kompletnego rozwiązania dla wszystkich sześciu parametrów postaci strukturalnej w zależności od parametrów postaci zredukowanej.

(29)

Modele VAR

Przykład II I

Modyfikacja: w rówaniu popytowym zamienimy z na x

qd = α0+ α1p + α2x + εd (19) qs = β0+ β1p + β2z + εs (20)

qd = qs (21)

Postać strukturalna

[q p]

1 1

−α1 −β1

+ [1 x z]

" _−α

0 −β0

−α2 0 0 −β2

#

= [εd εs] (22)

Postać zredukowana:

[q p] = [1 x z]

" _(α

1β0− α0β1) /γ (β0− α0) /γ

−α2β1/γ −α2/γ α1β2/γ β2/γ

#

+ [ν1 ν2] (23)

gdzie γ = α1− β1

(30)

Modele VAR

Przykład II II

rozwiązaniem dla postaci strukturalnej jest zatem α0= π11− π12 π31

π₃₂

, α1= ^π_π³¹

32, α2= π22 π21 π₂₂ −^π_π³¹

32

,

β0= π11− π12 π21 π₂₂

, β1=^π_π²¹

22, β2= π32 π31 π₃₂−^π_π²¹

22

.

Uwaga. Należy pokazać, że jest to rozwiązanie unikalne.

(31)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów a liczba parametrów

Postać strukturalna:

Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M ×M =⇒ M²parametrów.

B jest wymiarów K × M =⇒ KM parametrów.

Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M × M =⇒ ¹₂M (M + 1) parametrów.

Zatem postać strukturalna posiadaM²+ KM +¹₂M (M + 1).

Postać zredukowana

Π jest wymiarów K × M =⇒ KM parametrów.

Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M × M =⇒ ¹₂M (M + 1) parametrów.

Zatem postać zredukowana posiada KM +¹₂M (M + 1).

Różnica w liczbie parametrów to M². Dlatego, kluczowe jest wykrozy- stanie informacji z poza próby (non-sample information).

(32)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów a liczba parametrów

Postać strukturalna:

Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M ×M =⇒ M²parametrów.

B jest wymiarów K × M =⇒ KM parametrów.

Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M × M =⇒ ¹₂M (M + 1) parametrów.

Zatem postać strukturalna posiadaM²+ KM +¹₂M (M + 1).

Postać zredukowana

Π jest wymiarów K × M =⇒ KM parametrów.

Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M × M =⇒ ¹₂M (M + 1) parametrów.

Zatem postać zredukowana posiada KM +¹₂M (M + 1).

Różnica w liczbie parametrów to M². Dlatego, kluczowe jest wykrozy- stanie informacji z poza próby (non-sample information).

(33)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów a źródła restrykcji

Normalizacja (Normalization) – w każdym równaniu jeden współczyn- nik powinien mieć wartość 1. Zazwyczaj, jest to parametr przy zmiennej endogenicznej.

Wtedy liczba restrykcji redukuje się do M (M − 1) (z M²).

Tożsamości (Identities).

Wykluczenia (Exclusion) – zerowe restrykcje na macierze Γ i B.

Liniowe restrykcje (Linear restrictions).

Aczkolwieks liniowe restykcje mogą czasem prowadzić do błędnej postaci struk- turalnej. Przykładowym problem jest brak możliwości zidenyfikowania efektów korzyści skali przy identyfikacji postępu technologicznego dla zagregowanej funkcji produkcji.

Restrykcje na macierz wariancji kowariancji zaburzeń losowych Σ.

Współczesne badania makroekonomiczne wykorzystują modele wektorowej autoregresji VAR w celu zidentyfikowania wpływu (strukturalnych) szoków ma- kroekonomicznych. Kluczowym założeniem jest tutaj sferyczność macierzy Σ.

(34)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów I

Rozważamy jedną zmienną endogeniczną yj (tj. j-te równanie).

Zmienne endogeniczne Zmienne egzogeniczne

Włączone Yj Xj

Mj zmiennych Kjzmiennych

Pominięte Y^∗_j X^∗_j

Mj^∗zmiennych Kj^∗zmiennych

Liczba równań (zmiennych endogenicznych): M = Mj+ M_j^∗+ 1 Liczba zmiennych egzogenicznych: K = Kj+ Kj^∗

Postać zredukowana:

yj Yj Y^∗_j

=

Xj X^∗_j

πj Π˜j Π¯j

πj^∗ Π˜^∗j Π¯^∗j

+

vj Vj V_j^∗

(24)

(35)

Modele VAR

Warunek konieczny (order condition) i wystarczający (rank condition)

Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania

K^∗j ≥ Mj. (25)

Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j- tym.

Warunek ten gwarantuje, że równanie π^∗_j= Π^∗_jγjposiada przynajmniej jedno rozwiązanie.

Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank

π_j^∗, Π^∗_j

= rank Π^∗_j

= Mj (26)

Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie.

(36)

Modele VAR

Warunek konieczny (order condition) i wystarczający (rank condition)

Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania

K^∗j ≥ Mj. (25)

Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j- tym.

Warunek ten gwarantuje, że równanie π^∗_j= Π^∗_jγjposiada przynajmniej jedno rozwiązanie.

Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank

π_j^∗, Π^∗_j

= rank Π^∗_j

= Mj (26)

Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie.

(37)

Modele VAR

Problem identyfikacji

Szczególne przypadki identyfikowalności dla j-tego równania:

1 Dokładnie identyfikowalne (exactly identified)jeżeli Mj= K_j^∗.

2 Nadmiernie identyfikowalne (overidentified)jeżeli Mj> K_j^∗.

3 Brak identyfikowalności (underidentified)będzie równoznaczny sy- tuacji, gdy Mj< K_j^∗.

gdzie

Kj^∗to liczba zmiennych egzogenicznych pominiętych z równania j-tego;

Mjto liczba zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym.

(38)

Modele VAR

Problem identyfikowalności parametrów - praktyczna metoda

Praktycznym sprawdzeniem warunku koniecznego (order condition) i wy- starczającego rank condition jest metoda sprawdzająca rząd odpowiedniej podmacierzy.

[Krok #1] Zapisujemy w tabeli parametrypostaci strukturalnej, a więc:

y1 y2 . . . yM 1 x1 x2 . . . xk

Γ B

[Krok #2] Dla każdego j-tego równania rozważamy macierz pozbawioną:

j-tego wiersza;

kolumn, ze zmiennymi występującymi w j-tym równaniu.

Parametry j-tego równania będą identyfikowalne jeżeli macierz ta będzie miała pełny rząd (liczba wektorów niezależnych liniowo powinna odpowiadać liczbie wierszy).

(39)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład I

qd = α0+ α1p + εd

qs = β0+ β1p + εs

qd = qs

qd qs 1 p

1 0 −α0 −α1

0 1 −β0 −β1

1 −1 0 0

(40)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład I

qd = qs

qd qs 1 p

1 0 −α0 −α1

0 1 −β0 −β1

1 −1 0 0

równanie pierwsze: tylko wektor [1 − 1]^T =⇒ niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności.

(41)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład I

qd = qs

qd qs 1 p

1 0 −α0 −α1

0 1 −β0 −β1

1 −1 0 0

równanie drugie: tylko wektor [1 1]^T =⇒ niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności.

(42)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład II

qd = α0+ α1p +α2z+ εd

qd = qs

qd qs 1 p z

1 0 −α0 −α1 −α2

0 1 −β0 −β1 0

1 −1 0 0 0

(43)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład II

qd = qs

qd qs 1 p z

1 0 −α0 −α1 −α2

0 1 −β0 −β1 0

1 −1 0 0 0

(44)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład II

qd = qs

qd qs 1 p z

1 0 −α0 −α1 −α2

0 1 −β0 −β1 0

1 −1 0 0 0

równanie drugie: dwa wektory [1 1]^T oraz [−α2 0]^T. Co więcej,

rank

1 −α2

1 0

= 2

=⇒ parametry drugie równania identyfikowalne.

(45)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład III

qs = β0+ β1p +β2x+ εs

qd = qs

qd qs 1 p z x

1 0 −α0 −α1 −α2 0

0 1 −β0 −β1 0 −β2

1 −1 0 0 0 0

(46)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład III

qd = qs

qd qs 1 p z x

1 0 −α0 −α1 −α2 0

0 1 −β0 −β1 0 −β2

1 −1 0 0 0 0

równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 − 1]^T oraz [−β2 0]^T. Ważniejsze, że

rank

1 −β2

−1 0

= 2

=⇒ parametry pierwszego równania identyfikowalne.

(47)

Modele VAR

Praktyczna metoda – przykład III

qd = qs

qd qs 1 p z x

1 0 −α0 −α1 −α2 0

0 1 −β0 −β1 0 −β2

1 −1 0 0 0 0

równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 − 1]^T oraz [−β2 0]^T. Ważniejsze, że

rank

1 −β2

−1 0

= 2

=⇒ parametry pierwszego równania identyfikowalne.

równanie drugie: dwa wektory [1 1]^T oraz [−α2 0]^T. Co więcej,

rank

1 −α2

1 0

= 2

=⇒ parametry drugie równania identyfikowalne.

(48)

Modele VAR

Outline

(49)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)

Modele wektorowej autoregresji VAR (Vector AutoRegression) to modele czysto empiryczne o ateoretycznym charakterze.

Wszystkie zmienne w modelu są endogeniczne (można jednak dodatkowo wprowa- dzić zmienne egzogeniczne).

Model VAR są odporne na krytykę Lucasa.

Model wektorowej autoregresji VAR pierwszego rzędu dla K zmiennych:

yt= A0+ A1yt−1+ εt, (27) gdzie

ytto wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A0 wektor wyrazów wolnych,

A1 macierz współczynników przy opóźnionych (o jeden okres) zmiennych endogenicznych.

ε to wektor składników losowych,

oraz ε ∼ N (0, Σ), gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy składnikami losowymi.

Alternatywny zapis:







y1t

y2t

.. . yKt





⁼







a01

a02

.. . a0K





⁺







a11 a21 . . . aK1

a12 a22 . . . aK2

.. .

..

. . .. ... a1K a2K . . . aKK













y1,t−1

y2,t−1

.. . yK,t−1





⁺







ε1t

ε2t

.. . εKt





^.

(28)

(50)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)

Modele wektorowej autoregresji VAR (Vector AutoRegression) to modele czysto empiryczne o ateoretycznym charakterze.

Wszystkie zmienne w modelu są endogeniczne (można jednak dodatkowo wprowa- dzić zmienne egzogeniczne).

Model VAR są odporne na krytykę Lucasa.

Model wektorowej autoregresji VAR pierwszego rzędu dla K zmiennych:

yt= A0+ A1yt−1+ εt, (27) gdzie

A1 macierz współczynników przy opóźnionych (o jeden okres) zmiennych endogenicznych.

ε to wektor składników losowych,

oraz ε ∼ N (0, Σ), gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy składnikami losowymi.

Alternatywny zapis:







y1t

y2t

.. . yKt





⁼







a01

a02

.. . a0K





⁺







a11 a21 . . . aK1

a12 a22 . . . aK2

.. .

..

. . .. ... a1K a2K . . . aKK













y1,t−1

y2,t−1

.. . yK,t−1





⁺







ε1t

ε2t

.. . εKt





^.

(28)

(51)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)

Model wektorowej autoregresji VAR P -tego rzędu dla K zmiennych:

yt= A0+

P

X

i=1

Aiyt−i+ εt, (29)

gdzie

A1, A2, . . . , A_P macierze współczynników przy opóźnionych zmiennych endogenicznych.

εtto wektor składników losowych,

Model wektorowej autoregresji VAR P -tego rzędu dla K zmiennych z zmiennymi egzogenicznymi:

yt= A0+

P

X

i=1

Aiyt−i+ FXt+ εt, (30) gdzie Xt to wektor zmiennych egzogenicznych w momencie t,a macierz F opisuje jednoczesny wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne.

(52)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)

Model wektorowej autoregresji VAR P -tego rzędu dla K zmiennych:

yt= A0+

P

X

i=1

Aiyt−i+ εt, (29)

gdzie

A1, A2, . . . , A_P macierze współczynników przy opóźnionych zmiennych endogenicznych.

εtto wektor składników losowych,

Model wektorowej autoregresji VAR P -tego rzędu dla K zmiennych z zmiennymi egzogenicznymi:

yt= A0+

P

X

i=1

Aiyt−i+ FXt+ εt, (30)

gdzie Xt to wektor zmiennych egzogenicznych w momencie t,a macierz F opisuje jednoczesny wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne.

(53)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)– stabilność oraz reprezentacja VMA I Stabilnośćprocesu (modelu) VAR oznacza, że wpływ zaburzeń losowych (εt) na zmienne egzogeniczne wygasa w czasie.

[Przykład] model VAR(1) bez wyrazu wolnego:

yt= A1yt−1+ εt, (31) iterując o jeden okres wstecz, tj. yt−1= A1yt−2+ εt−1:

yt= A²₁yt−2+ εt+ A1εt−1, (32) lub ogólniej

yt= y0+ εt+

t

X

i=1

Aⁱ₁εt−i, (33)

i przyjmując y0= 0 uzależnić zmienne endogeniczne wyłącznie od zaburzeń losowych. W ogólnym przypadku:

yt=

t

X

i=0

Aⁱ1εt−i, (34)

(54)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)– stabilność oraz reprezentacja VMA II co jest zapisem procesu wektorowej średniej ruchomej o nieskończonym rzę- dzieVMA(∞), tj.

yt=

t

X

i=0

Ξiεt−i, (35)

gdzie Ξi= Aⁱ1 opisuje wpływ zaburzeń losowych opóźnionych o i okresów.

Intuicyjnie, aby wpływ zaburzeń losowych wygasał w czasie musi być speł- niony warunek:

lim

t→∞A1t

= 0. (36)

Zatem moduł z największej wartości własnej musi być mniejszy od jedności.

Alternatywnie rozwiązania następującego wielomianu charkterystycznego:

I − A1z = 0, (37)

muszą leżeć poza kołem jednostkowym (być większe co do modułu od 1). Dla modelu VAR P -tego rzędu wielomian charakterystyczny:

I − A1z − A2z²− . . . − APz^P = 0 (38)

(55)

Modele VAR

Modele wektorowej autoregresji (VAR)– IRF

Reprezentacja VMA(∞) jest kluczowa dla analizy zachowania zmiennych.

Wszystkie zmienne wektora ytsą endogeniczne i zależą od przeszłych warto- ści zaburzeń losowych:

yt=

t

X

i=0

Ξiεt−i, (39)

Uzasadniona jest zatem interpretacja w kategoriach dynamicznych mnożni- ków.

Wpływ zaburzenia i tego zaburzenia losowego na j-tą zmienną po s okresów można odczytać elementu znajdującego się w i-tym wierzu j-tej kolumny macierzy Ξs.

Funkcją reakcji na impuls (IRF)(dynamicznym możnikiem) będzie zatem zbiór elementów macierzy Ξ0, Ξ1, . . . opisujących reakcję pewnego zaburzenia losowego na zmienną endogeniczną.

(56)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że εt∼ N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna.

Zaburzenia strukturalne: ut:, gdzie ut ∼ N (0, I). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako:

Aεt= But. (40)

Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K² elementów.

Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Ko- nieczne jest zatem przynajmniej 2K²− K(K + 1)/2 restrykcji.

Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP⁰. Macierz P jest trójkątna dolna.

Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa.

Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR.

(57)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Aεt= But. (40)

(58)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Aεt= But. (40)

(59)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Aεt= But. (40)

(60)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Strukturalna funkcją reakcji na impuls (SIRF)będzie zatem funckją reakcji na impuls skorygowaną o schemat identyfikacji strukturalnych szoków:

yt=

t

X

i=0

Θiut−i, (41)

gdzie

Θi= ΞA¹B. (42)

Alternatywne popularne schematy identyfikacji szoków strukturalnych:

Restrykcje długookresowe;

Restrykcji znakowe.

(61)

Modele VAR

Strukturalne modele VAR

Strukturalna funkcją reakcji na impuls (SIRF)będzie zatem funckją reakcji na impuls skorygowaną o schemat identyfikacji strukturalnych szoków:

yt=

t

X

i=0

Θiut−i, (41)

gdzie

Θi= ΞA¹B. (42)

Alternatywne popularne schematy identyfikacji szoków strukturalnych:

Restrykcje długookresowe;

Restrykcji znakowe.