Kostka binarna

(1)

Kostka binarna

Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków

UTP Bydgoszcz

06

(2)

Relacja częściowo porządkująca

Przypomnienie:

Relację % ⊆ X × X nazywamy relacją w zbiorze X .

Relacja % w zbiorze X jest zwrotna, gdy (x , x ) ∈ % dla wszystkich x ∈ X . Relacja % w zbiorze X jest antysymetryczna, gdy

(x , y ) ∈ % i (y , x ) ∈ % implikuje x = y dla wszystkich x , y ∈ X . Relacja % w zbiorze X jest przechodnia, gdy dla wszystkich x , y , z ∈ X .

(x , y ) ∈ % ∧ (y , z) ∈ %⇒ (x, z) ∈ %.

Definicja.

Relacja % w zbiorze X jest częściowo porządkującą wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie: zwrotna,antysymetryczna iprzechodnia.

(3)

Relacja częściowo porządkująca

Oznacza to, że v jest relacją częściowo porządkującą w zbiorze X , gdy dla każdych a, b, c ∈ X spełnione są (jednocześnie) warunki:

a v a

jeśli a v b ∧ b v a, to a = b jeśli a v b ∧ b v c, to a v c PRZYKŁAD 1.

Relacja ¬ w zbiorze R.

PRZYKŁAD 2.

Relacja w zbiorze Z.

PRZYKŁAD 3.

Relacja ⊇ w zbiorze podzbiorów zbioru R².

(4)

v jest relacją częściowo porządkującą w zbiorze X , gdy dla każdych a, b, c ∈ X spełnione są warunki:

a v a

jeśli a v b ∧ b v a, to a = b jeśli a v b ∧ b v c, to a v c

PRZYKŁAD 4.

Niech P będzie dowolną niepustą rodziną podzbiorów niepustego zbioru X . Relacja inkluzji ⊆ jest relacją częściowo porządkującą P.

Uzasadnienie.

dla dowolnych A, B, C ∈ P mamy:

A ⊆ A,

jeżeli A ⊆ B i B ⊆ A, to A = B, jeżeli A ⊆ B i B ⊆ C , to A ⊆ C.

(5)

v jest relacją częściowo porządkującą w zbiorze X , gdy dla każdych a, b, c ∈ X spełnione są warunki:

a v a

jeśli a v b ∧ b v a, to a = b jeśli a v b ∧ b v c, to a v c

PRZYKŁAD 5.

Relacja v określona w zbiorze punktów na płaszczyźnie R² następująco:

(a₁, a₂) v (b₁, b₂) ⇔ a₁¬ b₁∧ a₂ ¬ b₂. PRZYKŁAD 6.

Relacja v określona w zbiorze punktów przestrzeni Rⁿ następująco:

(a1, a2, . . . , an) v (b1, b2, . . . , bn) ⇔ a1¬ b₁∧ a₂ ¬ b₂, . . . , an¬ b_n. PRZYKŁAD 7.

Relacja v określona jak w przykładzie 6 w zbiorze wierzchołków n-wymiarowej kostki jednostkowej [0, 1]ⁿ.

(6)

Kostka binarna Q

n

Definicja.

n-elementowym ciągiem binarnym nazywamy n-elementowy ciąg złożony z zer i jedynek (zapisywany, zazwyczaj, bez przecinków).

Obserwacja.

Istnieje bijekcja między zbiorem n-elementowych ciągów binarnym (“zapis bez przecinków”), a zbiorem wierzchołków n-wymiarowej kostki jednostkowej (“zapis z nawiasem i przecinkami”).

Na przykład ciągowi 101 odpowiada wierzchołek (1, 0, 1) jednostkowej kostki trójwymiarowej, a wierzchołkowi (1, 0, 1) odpowiada ciąg 101.

Fakt.

n-wymiarowa kostka ma 2ⁿ wierzchołków.

(7)

Kostka binarna Q

n

Definicja.

n-wymiarowa kostka binarna Q_nto zbiór n-elementowych ciągów binarnych wraz z relacją częściowo porządkującą v określoną następująco:

dla dowolnych ciągów binarnych p = p1. . . pn oraz q = q1. . . qn

(gdzie p_i, q_i ∈ {0, 1} dla i = 1, 2, . . . , n):

p v q ⇔ ∀i ∈{1,...,n} pi ¬ q_i

Obserwacja. n-wymiarową kostkę binarną możemy utożsamiać z wierzchołkami n-wymiarowej kostki jednostkowej z relacją częściowego porządku określoną jak w przykładach 6, 7.

(8)

Q

1

,

^{p v q ⇔ ∀}i ∈{1,...,n} p_i¬ q_i

0 1

0 v 1

Obserwacja.

Kostkę binarną Qn możemy narysować tak, że

dwa wierzchołki p oraz q są połączone krawędzią oraz p leży ”niżej” niż q wtedy i tylko wtedy, gdy

p v q i nie istnieje wierzchołek u, taki że u 6= p, u 6= q oraz p v u v q.

(9)

Q

2

,

^{p v q ⇔ ∀}i ∈{1,...,n} p_i¬ q_i

00

10 01

11

00 v 10, 10 v 11, 00 v 01, 01 v 11

Obserwacja.

Kostkę binarną Qn możemy narysować tak, że

dwa wierzchołki p oraz q są połączone krawędzią oraz p leży ”niżej” niż q wtedy i tylko wtedy, gdy

p v q i nie istnieje wierzchołek u, taki że u 6= p, u 6= q oraz p v u v q.

(10)

Q

3

, zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(11)

Q

3

, zapis bez przecinków,

^{p v q ⇔ ∀}i ∈{1,...,n} p_i¬ q_i

000

100 001

101

010

110 011

111

000 v 100, 000 v 010, 000 v 001, 100 v 110, 100 v 101, 010 v 110, 010 v 011, 001 v 101, 001 v 011, 110 v 111, 011 v 111

(12)

Podkostka (segment)

Definicja. Niech p oraz q będą n-elementowymi ciągami binarnymi oraz niech p v q. Podkostką (segmentem) [p, q] kostki binarnej Q_n (z relacją v) nazywamy zbiór

[p, q] = {n − elementowych ciągów binarnych c : p v c ∧ c v q}

(wraz z relacją v).

Oznaczmy przez p = (p1, . . . , pn) początek, a przez q = (q1, . . . , qn) koniec (niepustego) segmentu. Oczywiście,

p₁¬ q₁, p₂ ¬ q₂, . . . , p_n¬ q_n.

Definicja. Wymiarem podkostki [p, q] nazywamy liczbę ^Pⁿ_{i =1} q_i− p_i. Przykład. Podkostką [000, 111] jest cała kostka Q3. Jest to podkostka trójwymiarowa.

(13)

Podkostka (segment)

Znajdziemy bijekcję między n-elementowymi ciągami ζ₁ζ₂, . . . ζ_n, gdzie ζi ∈ {0, 1, ∗}, a podkostkami [p, q] kostki Q_n.

Bijekcja: ciągowi ζ₁ζ₂. . . ζ_n odpowiada segment [p, q], gdzie pi = qi = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy ζi = 0,

p_i = q_i = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ζ_i = 1, p_i = 0, q_i = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy ζ_i = ∗.

Wniosek.

Podkostki możemy oznaczać jako n elementowe ciągi zer, jedynek i gwiazdek.Liczba gwiazdek jest równa wymiarowi podkostki.

Przykład. Zapis

(1 ∗ ∗0) lub (1, ∗, ∗, 0) lub 1 ∗ ∗0

oznacza segment (dwuwymiarową podkostkę) o początku 1000 i końcu 1110, czyli zbiór wierzchołków {1000, 1100, 1010, 1110}.

(14)

Trójwymiarowa podkostka [000, 111], czyli ∗ ∗ ∗,

zapis bez przecinków

000

100 001

101

010

110 011

111

(15)

Dwuwymiarową podkostką [(0, 0, 0), (1, 1, 0)] (czyli ∗ ∗ 0) jest zbiór {(0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)},

zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(0,0,0) (1,0,0)

(0,1,0) (1,1,0)

(16)

Podkostka kostki binarnej

Przykłady.

Podkostka [1101, 1101] kostki Q₄ (czyli 1101) jest zerowymiarowa (zero gwiazdek, tu zawsze qi = pi).

Podkostka [0011, 1011] kostki Q₄ (czyli ∗011) jest jednowymiarowa (jedna gwiazdka, tu tylko q₁ 6= p₁).

Podkostka [0000, 0101] kostki Q4 (czyli 0 ∗ 0∗) jest dwuwymiarowa (dwie gwiazdki, tu tylko q₂ 6= p₂ oraz q₄ 6= p₄).

Podkostka [0100, 1111] kostki Q₄ (czyli ∗1 ∗ ∗) jest trójwymiarowa (w oznaczeniu ∗1 ∗ ∗ występują trzy gwiazdki).

Podkostka [0000, 1111] kostki Q4 (czyli ∗ ∗ ∗∗) jest czterowymiarowa (teraz mamy cztery gwiazdki).

(17)

Podkostka kostki binarnej,

zapis z przecinkami Niech 1 ¬ k ¬ 2ⁿ oraz niech a₁ = (a⁽¹⁾₁ , a⁽¹⁾₂ , . . . , a⁽¹⁾n ), a2 = (a₁⁽²⁾, a⁽²⁾₂ , . . . , a⁽²⁾n ), ..., ak = (a₁^(k), a^(k)₂ , . . . , a^(k)n ) Fakt.

Najmniejszą podkostką zawierającą a₁, . . . , a_k jest segment o końcach p =min a⁽¹⁾₁ , a⁽²⁾₁ , . . . , a^(k)₁ , . . . , min a⁽¹⁾_n , a⁽²⁾_n , . . . , a_n^(k)

q =max a⁽¹⁾₁ , a⁽²⁾₁ , . . . , a^(k)₁ , . . . , max a⁽¹⁾_n , a⁽²⁾_n , . . . , a^(k)_n Przykład. Najmniejszą podkostką kostki Q4 zawierającą (0,1, 0,0) oraz (0,0, 0,1) jest segment [(0,0, 0,0), (0,1, 0,1)], czyli 0 ∗ 0∗.

Przykład. Najmniejszą podkostką zawierającą (1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1) oraz (0, 1, 1, 1) jest segment [(0, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 1)], czyli ∗1 ∗ ∗.

(18)

Podkostka kostki binarnej, nieco inne spojrzenie, p ∨ q = max(p, q), p ∧ q = min(p, q)

Przypomnienie z logiki:

p q p ∨ q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

p q p ∧ q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

W zbiorze wierzchołków n-wymiarowej kostki jednostkowej (zapis z przecinkami) lub w zbiorze n-elementowych ciągów binarnych(zapis bez przecinków) określamy działania ∧ oraz ∨ następująco:

(p₁, p₂, . . . , p_n) ∧ (q₁, q₂, . . . , q_n) = (p₁∧ q₁, p₂∧ q₂, . . . , p_n∧ q_n), (p1, p2, . . . , pn) ∨ (q1, q2, . . . , qn) = (p1∨ q₁, p2∨ q₂, . . . , pn∨ q_n), Obserwacja.

Najmniejszą podkostką zawierającą a₁= (a⁽¹⁾₁ , a⁽¹⁾₂ , . . . , an⁽¹⁾), . . . , ak = (a^(k)₁ , a^(k)₂ , . . . , a^(k)n ) jest segment o końcach

u = a₁∧ a₂∧ · · · ∧ a_k oraz v = a₁∨ a₂∨ · · · ∨ a_k.

(19)

Jedna z sześciu podkostek dwuwymiarowych kostki trójwymiarowej,

zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(0,0,0) (1,0,0)

(0,1,0) (1,1,0)

(20)

Jest to minimalna podkostka (∗ ∗ 0) zawierająca (0, 1, 0) oraz (1, 0, 0),

zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(0,0,0) (1,0,0)

(0,1,0) (1,1,0)

(21)

Jedna z dwunastu podkostek jednowymiarowych kostki trójwymiarowej, ∗10 ,

zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(0,1,0) (1,1,0)

(22)

Jedna z ośmiu podkostek zerowymiarowych kostki trójwymiarowej, 011,

zapis z przecinkami

(0,0,0)

(1,0,0) (0,0,1)

(1,0,1)

(0,1,0)

(1,1,0) (0,1,1)

(1,1,1)

(0,1,1)

(23)

Kostka binarna Q

4

,

zapis z przecinkami

(0,0,0,0)

(1,0,0,0) (0,0,0,1)

(1,0,0,1) (1,1,0,0)

(0,1,0,0)

(0,1,0,1) (1,1,0,1)

(1,1,1,1)

(1,1,1,0) (0,1,1,1)

(0,1,1,0)

(0,0,1,1)

(0,0,1,0) (1,0,1,0)

(1,0,1,1)

(24)

Q

4

,

zapis bez przecinków

0000

1000 0001

1001 1100

0100

0101 1101

1111

1110 0111

0110

0011

0010 1010

1011

(25)

Jedna z 16 podkostek zerowymiarowych kostki

czterowymiarowej, 1101

(26)

Jedna z 16 podkostek zerowymiarowych kostki czterowymiarowej, 1101

1101

(27)

Jedna z 32 podkostek jednowymiarowych kostki

czterowymiarowej, ∗011

(28)

Jedna z 32 podkostek jednowymiarowych kostki czterowymiarowej, ∗011

0011 1011

(29)

Kolejna z 32 podkostek jednowymiarowych kostki

czterowymiarowej, ∗010

(30)

czterowymiarowej

(51)

Podkostka czterowymiarowa Q

4

, ∗ ∗ ∗∗

0000

1000 0001

1001 1100

0100

0101 1101

1111

1110 0111

0110

0011

0010 1010

1011

(52)

Liczba podkostek

Twierdzenie.

W kostce binarnej Qn istnieje 3ⁿ podkostek.

Dowód.

Każda podkostka to segment o początku p = p1. . . pn i końcu q = q1. . . qn, gdzie p_i ¬ q_i dla każdego i .

Jak wiemy, istnieje bijekcja między ciągami n-elementowymi ζ1ζ2. . . ζn, gdzie ζ_i ∈ {0, 1, ∗}, a podkostkami [p, q] kostki Q_n.

Takich ciągów jest 3ⁿ (każda z n pozycji może być obsadzona na trzy sposoby: przez 0, 1 lub ∗).

Liczba podkostek równa się liczbie takich ciągów i wynosi 3ⁿ.

(53)

Liczba podkostek

Twierdzenie.

W kostce binarnej Q_n istnieje ⁿ_k· 2^n−k podkostek k-wymiarowych.

Dowód.

Zastosujemy znaną bijekcję między ciągami n-elementowymi ζ₁ζ₂. . . ζ_n, gdzie ζi ∈ {0, 1, ∗}, a podkostkami [p, q] kostki Q_n.

Kostce k-wymiarowej odpowiada k symboli ∗ w ciągu. Wybieramy k miejsc (z n pozycji), na których umieścimy ∗. Tych wyborów jest ⁿ_k. Pozostałe n − k miejsc obsadzamy albo zerem, albo jedynką. Tu mamy 2^n−k możliwości.

Wszystkich k-wymiarowych podkostek jest tyle, ile n-elementowych ciągów z k gwiazdkami, czyli ⁿ_k· 2^n−k.

(54)

Liczba podkostek

Wniosek.

W kostce binarnej Qn istnieje ^Pⁿ_k=0 _kⁿ· 2^n−k podkostek.

Wniosek.

Pn k=0

n k

· 2^n−k = 3ⁿ.

Własność. Wiemy że _kⁿ= _n−kⁿ . Zatem (podstawiając n − k = i )

3ⁿ=

n

X

k=0

n k

!

· 2^n−k =

n

X

k=0

n n − k

!

· 2^n−k =

n

X

i =0

n i

!

· 2ⁱ

(55)

Kod Graya

Kod Graya długości n to 2ⁿ-elementowy ciąg różnych n-elementowych ciągów binarnych (ciągów zer i jedynek) ustawionych tak, by każde dwa kolejne wyrazy ciągu, a także wyraz pierwszy i ostatni, różniły się dokładnie jedną cyfrą.

Przykład jednego z kodów Graya długości dwa: 00, 01, 11, 10.

Przykład jednego z kodów Graya długości trzy:

000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100.

Uwaga. Kodów Graya używa się do etykietowania procesorów w sieci będącej kostką binarną. Dwa procesory są połączone wtedy i tylko wtedy, gdy ich etykiety różnią się dokładnie jednym bitem.

(56)

Numeracja wierzchołków

Obserwacja.

Wszystkie wierzchołki kostki binarnej Qn są w „naturalny” sposób ponumerowane liczbami 0, 1, 2, 3, . . . 2ⁿ− 1:

każdemy ciągowi binarnemu odpowiada liczba w zapisie dwójkowym.

000 001

100 010

101 011

110 111

0 1

4 2

5 3

6 7

(57)

Przekazywanie informacji

Wierzchołki kostki binarnej to (ponumerowani) agenci, a krawędzie to łącza, którymi mogą się komunikować między sobą.

Schemat rozsyłania wiadomości w Qn.

Wiadomość wysyłana jest z wierzchołka o numerze 0.

Dla każdego i od 1 do n wykonaj:

każdy wierzchołek o numerze m < 2^{i −1} przekazuje wiadomość do wierzchołka o numerze m + 2^{i −1}.

Obserwacja.

Aby wiadomość dotarła do wszystkich wierzchołków kostki Q_n wystarczy n etapów.

(58)

Przekazywanie informacji, wystarczy n etapów

Uzasadnienie.

Pokażemy, indukcyjnie, że po k-tym etapie wiadomość jest znana wszystkim wierzchołkom o numerach mniejszych niż 2^k.

Dla k = 0 (na „starcie”) wiadomość zna wierzchołek 0 (czyli ten o numerze mniejszym niż 2⁰= 1).

Dla k = 1 (po pierwszym etapie) wiadomość znają dwa wierzchołki o numerach mniejszych niż 2¹= 2.

Załóżmy, że przed k-tym etapem wiadomość znają wierzchołki o numerach m = 0, 1, . . . , 2^k−1− 1.

Po k-tym etapie każdy taki wierzchołek przekazał informację wierzchołkowi o numerzem + 2^k−1, zatem wiadomość znają wierzchołki o numerach

0, 1, . . . , 2^k−1− 1,0 + 2^k−1, 1 + 2^k−1, . . . , 2^k−1− 1 + 2^k−1, czyli wszystkie o numerach mniejszych od 2^k.

(59)

Przekazywanie informacji w kostce Q

3

000 001

100 010

101 011

110 111

0 1

4 2

5 3

6 7

Pierwszy etap.

Dla i = 1 każdy wierzchołek o numerze m < 2¹⁻¹ (czyli wierzchołek o numerze 0) przekazuje wiadomość do wierzchołka o numerze 0 + 2¹⁻¹= 1.

(60)

Przekazywanie informacji w kostce Q

3

000 001

100 010

101 011

110 111

0 1

4 2

5 3

6 7

Drugi etap.

Dla i = 2 każdy wierzchołek o numerze m < 2²⁻¹= 2, czyli wierzchołki o numerach 0 oraz 1, przekazują wiadomość do wierzchołków o numerach m + 2²⁻¹= m + 2 (czyli 0 + 2 = 2, 1 + 2 = 3).

(61)

Przekazywanie informacji w kostce Q

3

000 001

100 010

101 011

110 111

0 1

4 2

5 3

6 7

Trzeci etap (ostatni).

Dla i = 3 każdy wierzchołek o numerze m < 2³⁻¹= 4, czyli wierzchołki o numerach 0, 1, 2, 3, przekazują wiadomość do wierzchołków o numerach m + 2³⁻¹= m + 4 (czyli 4, 5, 6, 7).

(62)

Przekazywanie informacji w kostce Q

4

0000

1000 0001

1001 1100

0100

0101 1101

1111

1110 0111

0110

0011

0010 1010

1011

(63)

Numeracja wierzchołków

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(64)

Przekazywanie informacji w kostce Q

4

, etap pierwszy, +1

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(65)

Przekazywanie informacji w kostce Q

4

, etap drugi, +2

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(66)

Przekazywanie informacji w kostce Q

4

, etap trzeci, +4

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(67)

Przekazywanie informacji w kostce Q

4

, etap czwarty, +8

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

4

, etap pierwszy

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(77)

Zbieranie informacji w kostce Q

4

, etap drugi

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(78)

Zbieranie informacji w kostce Q

4

, etap trzeci

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

(79)

Zbieranie informacji w kostce Q

4

, etap czwarty

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11

0

8 1

9 12

4

5 13

15

14 7

6

3

2 10

11