Definicja równowa˙zna, s lowo jest Lyndona je´sli jest leksykograficznie najmniejsze ze swoich przesunie´,c cyklicznych (równowa˙znie, najmniejsze ze swoich sufiksów)

(1)

Uproszczony dowod twierdzenia Fredricksona-Maiorany W. Rytter

Dla uproszczenia rozwa˙zamy tylko teksty binarne.

S lowa Lyndona sa zwartymi reprezentacjami liniowymi s lów cyklicznych. Dla s lowa x niech y bedzie minimalnym cyklicznym przesuni_, eciem x. Wtedy pierwiastek pierwotny z s lowa y_, jest s lowem Lyndona. S lowo jest Lyndona wtwg.mo˙ze powstać w ten sposób.

(Pierwiastek pierwotny y to najkrótszy prefiks z s lowa y taki, ˙ze y jest naturalna pot_, eg_, a z.)_, Definicja równowa˙zna, s lowo jest Lyndona je´sli jest leksykograficznie najmniejsze ze swoich przesunie´_,c cyklicznych (równowa˙znie, najmniejsze ze swoich sufiksów).

Dla danego n przez ext(x, n) oznaczmy rozszerzenie okresowe s lowa x do d lugo´sci n, oraz przez LastZero(x) oznaczamy najd lu˙zszy prefiks s lowa x ko´nczacy si_, e zerem. Na przyk lad_,

ext(00111, 13) = 00111 00111 001, LastZero(0010111) = 0010.

Nastepuj_, acy algorytm generuje wszytkie s lowa Lyndona o d lugo´_, sci co najwy˙zej n Algorytm FM (Fredricksona-Maiorany)

Generacja slow Lyndona;

x := ’0’ ; wypisz x;

while x <> ’1’ do

x := LastZero(ext(x,n)) ;

zamien ostatni symbol x na jedynke;

wypisz x;

Niech

L₀ < L₁ < L₂ < . . . L_s

bedzie leks. posortowan_, a sekwencj_, a wszystkich binarnych s l´_, ow Lyndona o d lugo´sci bed_, acej_, dzielnikiem n. Niech Lnoznacza konkatenacje_,

L_n = L₀· L₁· L₂· L₃. . . L_s

Przyk lad. Dla n = 4 algorym FM wygeneruje:

0 0001 001 0011 01 011 0111 1 L₄ = 0 0001 0011 01 0111 1 Powiemy, ˙ze L_k jest ”ma le” gdy |L_k| < n, w pp. jest ”du˙ze”.

Z poprawno´sci algorytmu FM (Fredricksona-Maiorany) wynikaja w lasno´_, sci:

(2)

1. L0= 0, L1= 0ⁿ⁻¹1, Ls−1= 01ⁿ⁻¹, Ls= 1;

2. je´sli L_k= βα oraz α zawiera zero, to β jest prefiksem L_k+1 3. Je´sli L_k jest ma le i k > 0 to

• L_k−1 jest du˙ze;

• L_k−1 ko´nczy sie co najmniej n − |L_, k| jedynkami;

• L_k−1 jest bezpo´srednio wygenerowane przed L_k w algorytmie FM.

Twierdzenie Fredricksona-Maiorany (przypadek szczeg´olny-rozgrzewka)

Je´sli n jest liczba pierwsz_, a to L_, n zawiera (cyklicznie) ka˙zde binarne s lowo x d lugo´sci n.

Dowod.

Przypadek 1: x ∈ 1^∗0^∗. Wtedy x jest pods lowem L_s−1L_sL₀L₁ = 1ⁿ0ⁿ.

Za ló˙zmy, zatem (do końca dowodu) ˙ze nie zachodzi przypadek 1. S lowo x jest cyklicznie równowa˙zne pewnemu s lowu L_r (równemu minimalnemu cyklicznemu przesunieciu x)._, Wtedy dla pewnych α, β

x = αβ, Lr= βα Ustalmy do ko´nca dowodu α, β.

Przypadek 2: (α zawiera zero.) Wtedy β jest prefiksem Lr+1, zatem x jest podslo- wem LrLr+1 kt´orego prefiksem jest βαβ.

Przypadek 3: (α ∈ 1⁺.) Za l´o˙zmy ˙ze nie zachodzi przypadek 2. Wtedy β /∈ 0⁺. Istnieje zatem taki indeks k ˙ze β jest prefiksem L_k ale β nie jest prefiksem L_k−1. Niech γ bedzie prefiksem L_, _k−1 o d lugo´sci β. Zapiszmy L_k−1 = γ δ. Udowodnimy:

Fakt. δ ∈ 1⁺.

Dow´od nie wprost.

Przypu´sćmy, ˙ze δ zawiera 0, wtedy zgodnie z algorytmem Fredricksona-Maiorany nastepne leksykograficznie s lowo Lyndona ma prefiks γ. Wiemy, ˙ze β 6= γ. Nato-_, miast nastepnym s lowem z definicji jest L_, _k, które ma prefiks β 6= γ, o tej samej d lugo´sci co γ. Sprzeczno´sć.

Z powy˙zszego faktu wynika ˙ze δ = α, poniewa˙z sa to s lowa tej samej d lugo´_, sci sk ladajace_, sie z samych jedynek. Zatem x jest pods lowem L_, _k−1L_k jako δβ, w konsekwencji x jest pods lowem ca lego s lowa Ln (Koniec dowodu).

(3)

Twierdzenie Fredricksona-Maiorany (przypadek og´olny, dowolne n) L_n zawiera (jako s lowo cykliczne) ka˙zde binarne s lowo x d lugo´sci n.

Dow´od

Przypadek 1: x ∈ 1^∗0^∗.

Dow´od bez zmian (w stosunku do dowodu przypadku szczeg´olnego).

Za l´o˙zmy, zatem (do ko´nca dowodu) ˙ze nie zachodzi przypadek 1.

W przypadkach 2-4 zak ladamy, ˙ze s lowo x jest pierwotne. Zak ladamy równie˙z ˙ze x nie jest równe ˙zadnemu Lr. Wtedy x jest cyklicznie równowa˙zne pewnemu s lowu Lr

(r´ownemu minimalnemu cyklicznemu przesunieciu x). Wtedy dla pewnych niepustych α, β_, x = αβ, L_r= βα

Niech L_k bedzie leksykograf. pierwszym du˙zym s lowem o prefiksie β._, Przypadek 2: (α /∈ 1⁺.) Dow´od bez zmian.

Przypadek 3: (α ∈ 1⁺, L_k−1 jest du˙ze) Dow´od bez zmian.

Przypadek 4: (α ∈ 1⁺, Lk−1 jest ma le.) Rozwa˙zamy podprzypadki A-C:

(A) (|β| < |Lk−1|) Wtedy L_k−2 jest du˙zym s lowem o prefiksie β co przeczy temu ˙ze Lk

jest najwcze´sniejsze. Zatem przypadek niemo˙zliwy.

(B) (L_k−1 ko´nczy sie co najmniej |α| jedynkami) i αβ = x jest pods lowem L_, _k−1L_k. (C) (L_k−1 ko´nczy sie mniej ni˙z |α| jedynkami) Z definicji operacji okresowego rozszerza-_,

nia wynika, ˙ze L_k−1 jest okresem β. Jednocze´snie L_k−2 (du˙ze s lowo) ko´nczy sie co_, najmniej n − |L_k−1| ≥ |α| jedynkami (gdy˙z |beta| ≥ |L_k−1| oraz |α| = n − β|). Zatem αβ = x jest pods lowem L_k−2L_k−1L_k.

Przypadek 5: (s lowo x nie jest pierwotne)

Wtedy dla pewnych k > 1, r, α, β mamy: x = (αβ)^k, L_r = βα.

Je´sli α /∈ 1⁺ to poniewa˙z s lowo Lr jest ma le i rozszerzenie okresowe zostaje zaburzone dopiero w sotatnim α to Lr+1 jest du˙ze i ma prefiks (βα)^k−1β jako prefiks. Zatem x jest pods lowem LrLr+1.

Je´sli α ∈ 1⁺ to L_r−1 ko´nczy sie na α (ma dostatecznie du˙zo jedynek), a poniewa˙z (z_, rozszerzenia okresowego) L_r+1 ma prefiks (βα)^k−1 to x jest pods lowem L_r−1L_rL_r+1.

(4)

Kilka wzor´ow

Niech zapisy Lyn(n), P ierw(n) oznaczaja liczb_, e binarnych s l´_, ow Lyndona oraz liczbe s l´_, ow pierwotnych (nierozk ladalnych) d lugo´sci n. Niech µ bedzie funkcj_, a Mobiusa, spe lnia ona_, wz´or rekurencyjny:

X

d | n

µ(d) = [n = 1].

Niech φ bedzie funkcj_, a Eulera (ile jest liczb mniejszych od n wzgl_, ednie pierwszych z n)._, Przyjmujemy φ(1) = 1.

U˙zytecznym narzedziem kombinatoryczznym jest formu la Mobiusa:_,

∀ n f (n) = ^X

d | n

g(d) ⇒ ∀ n g(n) = ^X

d | n

µ(n/d) f (d)

Mamy te˙z wzory:

2ⁿ = ^X

d | n

P ierw(d), n = ^X

d | n

φ(d).

Z formu ly inwersyjnej Mobiusa i powy˙zszego wzoru wynikaja wzory:_, P ierw(n) = ^X

d | n

µ(n/d) 2^d; Lyn(n) = 1 n

X

d | n

µ(n/d) 2^d

Je´sli L_n = L₀· L₁ · L₂ · L₃. . . L_s jest rozk ladem na s lowa Lyndona o d lugo´sci dzielacej_, n to oznaczmy ||L_n|| = s + 1. Inaczej mówiac ||L_, _n|| jest liczba s l´_, ow d lugo´sci n cyklicznie nierównowa˙znych (liczba naszyjników binarnych z dok ladno´scia do obrotu). Korzystaj_, ac z_, poprzenich wzorów mo˙zna udowodnić, ˙ze:

||L_n|| = 1 n

X

d | n

φ(n/d) 2^d.

Na przyk lad:

Lyn(6) = 9, Lyn(3) = 2, Lyn(2) = 1, Lyn(1) = 2

|L₆| = Lyn(1) + Lyn(2) + Lyn(3) + Lyn(6) = 14.

|L₆| = 1

6 (φ(1) 2⁶+ φ(2) 2³+ φ(3) 2²+ φ(6) 2¹) = 1

6 (1 · 2⁶+ 1 · 2³+ 2 · 2²+ 2 · 2¹).

S luszno´sć tych wzorów mo˙zna prz´sledzić na przyk ladzie:

L₆ = 0 000001 000011 000101 000111 001 001011 001101 001111 01 01010111 011 011111 1

(5)

Literatura

[1] H. Fredricksen, J.Maiorana, Necklaces of beads in k colors and k-ary de Bruijn sequences, Discrete Math. 23, 1978

[2] D. E. Knuth, The Art of Computer Programming, Volume 4, Fascicle 2, Addison-Wesley, 2005 [3] E. Moreno, On the theorem of Fredricksen and Maiorana about De Bruijn sequences, Adv. in

Appl. Math., 2004

[4] E. Moreno, M. Matamala, Minimum de Bruijn Sequence in a Language with Fo

[5] J. Radoszewski, Generowanie minimalnych leksykograficznie cigw de Bruijna za pomoc sw Lyn- dona, praca mgr. (2008)