Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :

ALGEBRA I R

Przestrze´ n sprz¸ e ˙zona, anihililatory, formy dwuliniowe Javier de Lucas

Cwiczenie 1. Dowie´s´ ´ c, ˙ze nast¸epuj¸ ace funkcje s¸ a formami liniowymi przestrzeni wek- torowej V :

ω 1 (w(X)) = R 1

0 P (x)w(x)dx, w(X) ∈ V = R ⁿ [X], dla ustalonego P (X) ∈ V ω ₂ (w(X)) = P n

k=0 d

w

dx

(1), w(X) ∈ V = R n [X], gdzie d ⁰ w/dx = w, ω 4 (v) = P n

i=1 a i x i , v = (x 1 , . . . , x n ) ∈ C ⁿ , dla ustalonych a 1 , . . . , a n ∈ C.

Cwiczenie 2. Dana przestrze´ ´ n wektorowa R 2 [X], sprawd´ z, czy nast¸epuj¸ ace formy liniowe ω ¹ , ω ² , ω ³ ∈ R 2 [X] ^∗ postaci

ω ₁ (P (X)) = Z 1

0

P (x)dx, ω ₂ (P (X)) = Z 1

−1

P (x)dx, ω ₃ (P (X)) = Z 0

−2

P (x)dx.

tworz¸ a baz¸e przestrzeni sprz¸e˙zonej R ² [X] ^∗ . Oblicz baz¸e P 1 , P 2 , P 3 przestrzeni R ² [X] tak¸ a,

˙ze

ω ^j (P _i ) = δ _i ^j , i, j = 1, . . . , 3.

Oblicz Y ^◦ , gdzie

Y = hP ₁ + P ₃ , P ₂ i.

Cwiczenie 3. Zbadaj czy odwzorowanie ω : V × V −→ R okre´sla form¸e dwuliniow¸a, ´ je´sli:

a) V := R ⁿ [x], ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) :=

Z 1 0

v(x)w(x) dx,

b) V := R ⁿ [x], ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) :=

Z 1 0

v ⁰ (x)w(x) dx,

c) V := R ⁿ , ∀ v, w ∈ V : ω(v, w) := v · w, gdzie · to standardowy iloczyn skalarny.

Cwiczenie 4. Czy ka˙zd¸ ´ a form¸e dwu-liniow¸ a b : R ² × R ² → R mo˙zna przedstawi´c w postaci

b(x, y) = ω 1 (x)ω 2 (y), ∀x, y ∈ R ² dla pewnych form-liniowych ω ₁ , ω ₂ ∈ (R ² ) ^∗ ?

1

ALGEBRA I R

Cwiczenie 5. Dana baza ´

e ₁ =



 1 1 0



 , e ₂ =



 1 0 1



 , e ₃ =



 0 1 1



 ,

przestrzeni R ³ , oblicz baz¸e dualn¸ a θ ¹ , θ ² , θ ³ do tej bazy. Napisz form¸e dwuliniow¸ a b(x, y) = x ₁ y ₁ + x ₂ y ₂ + x ₃ y ₃ , x = (x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = (y ₁ , y ₂ , y ₃ ), jako liniow¸ a kombinacj¸e form dwuliniowych

b ^ij (x, y) = θ ⁱ (x)θ ^j (y), dla i, j = 1, . . . , 3, x, y ∈ R ² .

2