Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady

Rozdział 9

Przegląd niektórych danych

doświadczalnych o produkcji hadronów.

Rozpraszanie elastyczne. Rozkłady

krotności

Krotności hadronów

a + b → c₁ + c₂ + ...+ c_i + ....+ c_N

Reakcje ekskluzywne: wszystkie cząstki wtórne zostały zidentyfikowane

N

Ci i

N 3p

d σ / ∏ d

a + b → cokolwiek σ_tot , dσ/dΩ a + b → c₁ + c₂ + cokolwiek d²σ/d³p_c1d³p_c2 Reakcje semi-inkluzywne

a + b → c₁ + c₂ + ...+ c_N + jakiekolwiek neutralne przekroje topologiczne

Przykład przekrojów topologicznych

Rozkłady krotności hadronów

P

= σ

/σ

<n> = Σ n P

n

σ_n P_n

( )

( ) ^{( )}

k k

2 1/ 2 1/ 2

2

k

3 3

1

4 4

2

k k k

µ = n – n

D = n n µ

γ = µ

D γ = µ

D C = n

n

− =

momenty centralne średnia krotność

dyspersja skośność

spłaszczenie

M_o

o

o dnd n = M

M : ψ(n) = 0

wartość modalna momenty C

y₁

y₂ ²

1 2 2

1 2 1 2

1 d σ 1 dσ dσ C (y ,y ) =

σ dy dy − σ dy dy

2

1 2

1 2

dσ dy = <n> σ dy

d σ dy dy = < n (n-1) > σ dy dy

∫

∫

2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 2

1 2 1 2

1 d σ 1 dσ dσ

C(y ,y ) dy dy dy dy dy dy f

dy dy σ dy dy

= σ − =

∫ ∫ ∫

<n(n – 1)> <n>² f₂ = D² – <n>

3

3 1 2 3 1 2 3

2 3

f C(y ,y ,y )dy dy dy = <n (n 1)(n 2) 3 n (n 1) n + 2 n

µ 2 n 3D

= − − > − < − >< > < > =

= + < > −

∫

2 3

1 3

γ = (f + 3D − < >2 n ) / D skośność rozkładu n = 2n_– + Q

Q = +2 dla pp, π⁺p, K⁺p, νp → µ^–X⁺⁺

Q = +1 dla pn, π⁺n, K⁺n, νn → µ^–X⁺ Q = 0 dla pp, π^–p, K^–p, νp → µ⁺X⁰ Q = –1 dla pn, π^–n, K^–n, νn → µ⁺X^–

D = 2D^– ; γ₁ = γ^–₁ ; f₂ = 4f₂^{– –} – Q + 2<n>

f₂^{– –} = f₂⁺⁺ + Q ; f₂^+– = f₂^{– –} + <n_–>

itd.

Rozpraszanie elastyczne π^–p przy 2 GeV/c

Reakcja wymiany ładunku π^–p → π⁰n przy

różnych energiach

Rozpraszanie elastyczne proton-proton oraz antyproton-proton

Rozpraszanie elastyczne proton-proton oraz antyproton-proton

Porównanie rozpraszania elastycznego proton-proton

i antyproton-proton

opis fenomenologiczny

dσ exp (- )

dt ∼ bt

Interpretacja parametru nachylenia dσ/dt

Model optyczny: rozpraszanie fali na kuli o nieprzezroczystości równej a_l

Uwaga: kolizja oznaczeń literą b oznacza się zwykle

parametr nachylenia dσ/dt oraz

parametr zderzenia

kula o ostrych brzegach: a_l = a dla l £ kR a_l = 0 dla l > kR wykorzystujemy związki: l ≅ kb; dl = k db

0 0

cos θ 0

lim

P ( ) = J

l l l l

→∞ ≅ ≅

R

2 0

0 0

J (kRsinθ) f(θ) kb(a 1) J (kbsinθ) db = (1 a) kR

kRsinθ

i i ⎡ ⎤

= −

∫

2 2 4 2 6 3 2

2 2 1

2 4 6

R t R t R t

dσ J (R -t ) R

= (1 – a) πR = 1 – + – + ....

dt -t 2 2 1!2! 2 2!3! 2 3!4!

⎡ ⎛ ⎞⎤

⎡ ⎤

⎢ ⎜ ⎟⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎜ ⎟⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦

2 3

2 4 6

2

3 3 2 3 2

R t R t R t

exp( R t /8) = 1 – + – + ...

2 1! (2 ) 2! (2 ) 3!

−

4 2

2 R t

dσ πR

= (1 a) exp exp ( – t)

t 4 b

d 4

⎛ ⎞

− ⎜− ⎟ ≅

⎝ ⎠

b = R

/4

parametr nachylenia t = −2k (1 cosθ)2 −

zmiana zmiennej:

wzrost b ze wzrostem energii dla oddziaływań p-p („zwężanie maksimum dyfrakcyjnego”)

oznacza wzrost rozmiarów protonu „widzianego” w rozpraszaniu elastycznym. Dla oddziaływań π-p parametr b jest w przybliżeniu stały, a dla p-p maleje ze wzrostem energii

σ_el = πR² (1 – a)²; σ_tot = 2πR² (1 – a)²; [a = 0 dla kuli czarnej]

Promień tarczy otrzymany ze wzoru b = R²/4

Nachylenie rozkładu rozpraszania elastycznego p-p oraz p-p

Podstawowe fakty doświadczalne o oddziaływaniach nieelastycznych 1. Krotność średnia cząstek naładowanych rośnie powoli z energią

zderzenia, np <n> ~ log s albo <n> ~ s^{a (a < 1)}

2. Szerokość rozkładu krotności w przybliżeniu proporcjonalna do średniej krotności: D ≅ a <n>

(dokładniej D = a <n> + b)

→ przybliżone skalowanie rozkładów krotności 3. Problem funkcji opisującej rozkład krotności rozkład vs funkcja ciągła

4. Popularny ujemny rozkład dwumianowy (Negative Binomial Distribution) ma systematyczne odchylenia od danych

Dane są najlepiej opisywane przez Rozkład Logarytmiczno-Normalny (Rozkład Lognormalny) (Lognormal Distribution)

[Przegląd w: Modern Phys. Letters A 5, 1851 (1990); 6, 981 (1991)]

Skalowanie KNO

skoro D ≅ a <n>

to <n>P_n w funkcji n/<n>

powinno być jednakowe dla wszystkich energii

zderzenia

Rozkład normalny (Gaussa)

2

2 2

1 2

x

y e ^σ

σ π

= −

Podstawowe cechy rozkładów krotności opisane przez rozkład lognormalny

n+1 n

n

P = ∫ f (n) dn

( )

2

ln(n c) µ

N 1

f (n) exp

n c 2σ

2πσ

⎡ + − ⎤

= ⋅ ⎢ − ⎥

+ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦

jest to rozkład lognormalny

( )

k n k k

n

D = ⎡⎣⎢

∑

1 n

f (n) ψ

<n> <n>

⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ ⎟ ⎠

prawdopodobieństwa

Krótkie uzasadnienie rozkładu lognormalnego

i+1 i i

i i-1 i

i i

i

n = n (1 + ε )

n = (1 + ε ) × (1 + ε ) ×.... (1 ε ) ln n ln (1 ε )

ln n ε

i

i

= +

= +

≅

∏

∑

∑

(rozkładamy ln (1 + ε_i) wokół 1) na mocy Centralnego Twierdzenia Granicznego Σε_i ma rozkład normalny

itd.

Krotności hadronów naładowanych w oddziaływaniach e⁺e^-

Zestawienie danych

o krotnościach oddziaływań e⁺e^–

( )

k n

n

D = ⎡⎢⎣

∑

linie proste są przewidywaniami rozkładu lognormalnego

Porównanie kształtu

rozkładów danych krotności w oddziaływaniach

p-p i e+e–

Zależność krotności od energii zderzenia dla oddziaływań e⁺e^– i p-p linie proste są przewidywaniami rozkładu lognormalnego

Porównanie danych

o krotnościach oddziaływań p-p i e+e–

( )

k n

n

D = ⎡⎢⎣

∑

linie proste są przewidywaniami rozkładu lognormalnego