rozkład dwumianowy (Bernoulliego) ...

(1)

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

4.3. Słynne rozkłady.

Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska

(2)

Słynne rozkłady dyskretne Słynne rozkłady ciągłe

Przykłady rozkładów dyskretnych

(3)

r. jednopunktowy

Rozkład jednopunktowy. . .

. . . jest skupiony w jednym punkcie, powiedzmy s.

Jeśli X ma taki rozkład, wówczas PX({s}) = P(X = s) = 1

1

s

Przykład: Magik ma jedną monetę, która ma na obu stronach Orła. Rzuca tą monetą s razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu.

(4)

r. dwupunktowy

Rozkład dwupunktowy (Bernoulliego). . .

. . . jest skupiony na {0, 1},

jest opisywany przez parametr p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1 ozn. X ∼ Be(p) gdy

PX({0}) = P (X = 0) = q = 1 − p, PX({1}) = P (X = 1) = p.

p

1 − p

1 0

Przykład: Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z

prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu.Wtedy X ∼ Be(p)

Uwaga:

Panuje bałagan w nomenklaturze jeśli chodzi o terminrozkład Bernoulliego!

(5)

r. dwumianowy

rozkład dwumianowy (Bernoulliego) ...

... określa liczbę sukcesów

w schemacie Bernoulliego z n doświadczeniami i prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1 Jest to rozkład dyskretny skupiony na zbiorze {0, 1, . . . , n}

ozn. gdy X marozkład dwumianowy, X ∼ Bin(n, p)

PX({k}) = P(X = k) = n k

!

p^k (1 − p)^n−k, dla k = 0, 1, . . . , n

prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą n razy. Niech X będzie liczbą Orłów, które wypadły w trakcie eksperymentu. Wtedy X ∼ Bin(n, p).

(6)

r. dwumianowy

Rozkład dwumianowy

Jeśli X ∼ Bin(n, p), wówczas najbardziej prawdopodobna wartość

(przynajmniej jeśli (n + 1)p /∈ {0, 1, 2, . . . }) to

b(n + 1)pc

(7)

r. dwumianowy

Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 5

0 2 4 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b(7 + 1) · 0, 5c = 4

(8)

r. dwumianowy

Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 2

0 2 4 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b(7 + 1) · 0, 2c = 1

(9)

r. dwumianowy

Rozkład dwumianowy, n = 7, p = 0, 9

0 2 4 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

b(7 + 1) · 0, 9c = 7

(10)

r. Poissona

Rozkład Poissona

X ma rozkład dwumianowy Bin(n, p) oraz

np ≈ λ, gdzie λ–stała dodatnia i n bardzo duuuuże?

Dla ustalonego k oraz p = p_n takiego, że np_n→ λ, gdy n → ∞

P (X = k ) = n k

!

p_n^k(1 − pn)^n−k → λ^k k! · e^−λ. Uzasadnienie:...

(11)

r. Poissona

Rozkład Poissona

Zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0 ozn. X ∼ Po(λ),

gdy jest skupiona na zbiorze {0, 1, 2, . . . } i

PX({k}) = P(X = k) = e^−λ λ^k k!

(12)

r. Poissona

Rozkład Poissona

Przykład

Do dużego ciasta wrzucamy ogromną liczbę rodzynków, po upieczeniu ciasto kroimy na równe części (skoro ciasto było ogromne to części jest niezmiernie dużo).

Jaki rozkład ma liczba rodzynków w kawałku ciasta?

Przykład

Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów, którzy przyszli w ciągu dnia do banku. Jaki rozkład ma ta liczba?

ogólnie: mamy dużą liczbę obiektów,

każdy z nich ma małą szansę, że coś ciekawego się z nim stanie, każdy obiekt jest niezależny,

pytamy: z iloma obiektami coś ciekawego się stało?

(13)

r. Poissona

Rozkład Poissona

Przykład

Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów, którzy przyszli w ciągu dnia do banku.

Jaki rozkład ma ta liczba?

(14)

r. Poissona

Rozkład Poissona

Przykład

Mierzymy liczbę zdenerwowanych klientów, którzy przyszli w ciągu dnia do banku.

Jaki rozkład ma ta liczba?

(15)

r. Poissona

Rozkład Poissona λ = 0, 1

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(16)

r. Poissona

Rozkład Poissona λ = 3

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(17)

r. Poissona

Rozkład Poissona λ = 7

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(18)

r. geometryczny

Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1. . .

określaliczbę prób Bernoulliego

z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p ¬ 1, wykonanychdo uzyskania pierwszego sukcesu.

Rozkład geometryczny z parametrem 0 < p ¬ 1, jest skupiony na zbiorze {1, 2, 3, . . . }.

Gdy X ∼ Geom(p)

PX({k}) = P(X = k) = (1 − p)^k−1p, dla k = 1, 2, 3 . . .

prawdopodobieństwem p. Magik rzuca monetą tak długo aż uzyska Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik wykonał w trakcie eksperymentu. Wtedy X ∼ Geom(p).

(19)

r. geometryczny

Rozkład geometryczny p = 0, 9

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(20)

r. geometryczny

Rozkład geometryczny p = 0, 5

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(21)

r. geometryczny

Rozkład geometryczny p = 0, 1

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(22)

r. dwum. ujemny

Rozkład ujemny dwumianowy

Rozważamy schemat Bernoulliego

z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p < 1;

czekamy na r -ty sukces.

Ile wykonaliśmy prób?

Zmienna o rozkładzie ujemnym dwumianowym z parametrami r ∈ {1, 2, . . . } oraz 0 ¬ p < 1

jest skupiona na zbiorze {r , r + 1, r + 2, . . . },

PX({k}) = P(X = k) = k − 1 r − 1

!

(1 − p)^k−rp^r, dla k = r , r + 1, . . .

Przykład: Magik ma jedną monetę, na której Orzeł wypada z prawd. p. Magik rzuca monetą tak długo ażpo raz r –tyuzyska Orła. Niech X będzie liczbą rzutów, które Magik wykonał trakcie eksperymentu.

(23)

r. dwum. ujemny

Rozkład ujemny dwumianowy

Rozważamy schemat Bernoulliego

z prawdopodobieństwem sukcesu p, gdzie 0 ¬ p < 1;

czekamy na r -ty sukces.

Ile wykonaliśmy prób?

Uwaga

W klasycznych opracowaniach i podręcznikach rozkład ujemny dwumianowy definiuje się jako rozkład zmiennej losowej równej liczbie sukcesów w eksperymencie polegającym na oczekiwaniu na r –tą porażkę. Istnieje prosta zależność między tym rozkładem a tym zdefiniowanym powyżej. My definiujemy tak, aby łatwiej było Państwu zauważyć związek między rozkładem geometrycznym a ujemnym dwumianowym.

(24)

r. hipergeom.

Rozkład hipergeometryczny

Mamy N elementów,

spośród których m elementów jest specjalnych;

losujemy n (n ¬ m, N − m)różnychelementów tzn. losowanie jest bez zwracania / jednocześnie;

jaki rozkład ma liczba wylosowanych specjalnych elementów?

Zmienna losowa o rozkładzie hipergeometrycznym z parametrami: N, m, n

jest skupiona na zbiorze {0, 1, . . . , n}

PX({k}) = P(X = k) =

m k

N−m n−k

N n

dla k = 0, 1, . . . , n

Przykład: W urnie jest N kul (N m), z tego m kul czarnych a pozostałe są białe. Z urny losujemyjednocześnie (kolejno bez zwracana)n kul

(n ¬ m, n ¬ N − m). Niech X będzie liczbą wyciągniętych kul czarnych.

(25)

r. hipergeom.

Słynne rozkłady ciągłe

(26)

Rozkład jednostajny U([a, b]) na odcinku [a, b]. . .

to rozkład zadany gęstością

f (x ) = ( ₁

b−a dla a ¬ x ¬ b

0 w przeciwnym wypadku

−→prawdopodobieństwo geometryczne!

F (x ) =











0 dla x < a,

x −a

b−a dla a ¬ x ¬ b, 1 dla x > b

(27)

Rozkład wykładniczy Exp(λ) z parametrem λ. . .

to rozkład zadany gęstością

f (x ) =

(λe^−λx dla x 0

0 w przeciwnym wypadku

F (x ) =

(0 dla x < 0, 1 − e^−λx dla x 0,

UWAGA: jest to ciągły odpowiednik rozkładu geometrycznego - liczymy czas do momentu zajścia pewnego zdarzenia.

(28)

rozkład normalny N(m, σ

²

). . .

to rozkład z gęstością

f (x ) = 1

√

2πσ²e⁻

(x −µ)2 2σ2

(29)

rozkład log-normalny

z parametrami m i σ²

X ma rozkładlog–normalny, gdy ln(X ) ma rozkład normalny

f (x ) =







√ 1 2πσxe⁻

(ln x −µ)2

2σ2 dla x > 0

0 dla x ¬ 0

EX = e^µ+

σ2

2 , VarX = (e^σ²− 1)e^2µ+σ²