Rachunek prawdopodobieństwa
7. Rozkłady dyskretne
Ćw. 7.1 Podaj rozkład zmiennej losowej opisującej rzut uczciwą kością do gry. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres). Wyprowadź wzory na wartość oczekiwa- ną i wariancję dowolnego dyskretnego rozkładu jednostajnego.
Ćw. 7.2 Podaj rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek w rzucie dwoma kostkami. Oblicz jej wartość oczekiwaną, a ponadto wyznacz P (5 ¬ X < 8) oraz narysuj wykres dystrubuanty.
Ćw. 7.3 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t < −1,
1/3, −1 ¬ t < −1/2, 3/5, −1/2 ¬ t < 3, 1, t 3.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Ćw. 7.4 Rozpatrzmy następującą grę: losujemy jedną kartę z talii 52 kart
— jeżeli jest to as, to wygrywamy 5 zł,
— jeżeli jest to król lub walet, to wygrywamy 2 zł,
— w pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.
Czy gra jest sprawiedliwa?
Ćw. 7.5 Zmienna losowa X ma rozkład
xi 0 1 2
pi p s 1 − p − s.
Wiedząc, że EX = 1 oraz V arX = 1/2 wyznaczyć p oraz s. Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych 2X + 1 i 5X − 7 oraz wartość oczekiwaną zmiennych X2 i (X − 1)2. Ćw. 7.6 Rozkład zmiennej X zadany jest funkcją
fX(x) = 4
x(x + 1)(x + 2), x = 1, 2, . . . ,
a rozkład zmiennej Y funkcją
fY(x) = 1
x(x + 1), x = 1, 2, . . . Wykaż, że X ma, a Y nie ma wartości oczekiwanej.
Ćw. 7.7 Paweł ma 13 monet i dwie skarbonki. Rozsypał monety na stole. Wszystkie monety, które upadły orłem do góry wrzucił do pierwszej skarbonki, zaś pozostałe do drugiej. Znajdź rozkład zmiennej losowej X będącej liczbą monet w pierwszej skarbonce. Jaką nazwę nosi ten rozkład? Ile wynoszą EX i V arX?
Ćw. 7.8 W n rzutach kostką wariancja parzystych liczb oczek jest o 3 większa od wariancji szóstek. Oblicz n.
Ćw. 7.9 Rzucamy kostką tak długo, aż wyrzucimy liczbę oczek podzielną przez trzy. Niech X będzie liczbą wykonanych rzutów.
Rachunek prawdopodobieństwa
a) Wyznacz rozkład zmiennej X. Jaką nazwę nosi ten rozkład?
b) Ile wynosi EX?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że będziemy rzucać mniej niż 4 razy, a jakie, że więcej niż 10 razy?
d) Z jakim prawdopodobieństwem będziemy rzucać parzystą liczbę razy?
Ćw. 7.10 Liczba bakterii pewnego szczepu w polu widzenia pod mikroskopem podlega rozkładowi Poissona z parametrem λ = 0, 7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w polu widzenia znajdują się:
a) co najwyżej dwie bakterie,
b) nie mniej niż pięć i nie więcej niż osiem bakterii.
Ćw. 7.11 Zmienna losowa X ma rozkład
xi −1 0 1 2 4 8
pi 0,15 0,2 0,2 0,3 0,1 0,05 Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X2.
Ćw. 7.12 Zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem p. Podaj rozkład zmiennej Y = (−1)X.
Rachunek prawdopodobieństwa
7. Rozkłady dyskretne – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 7.1 Niech zmienna losowa X będzie liczbą „szóstek” wyrzuconych w trzech rzutach kostką.
Wyznacz jej rozkład, dystrybuantę (wzór i wykres), wartość oczekiwaną oraz wariancję.
Oblicz P (X ¬ 1), P (X > 2) i P (2 ¬ X ¬ 3).
Zad. 7.2 Z talii 52 kart losujemy pięć. Niech X będzie liczbą wyciągniętych kierów oraz niech Y będzie liczbą wyciągniętych asów. Wyznacz rozkłady zmiennych X i Y .
Zad. 7.3 Dwaj gracze K i L rzucają kością. Jeżeli wypadną co najwyżej 4 oczka, to gracz K płaci graczowi L 1 zł. Jeżeli wypadną więcej niż 4 oczka, to gracz L płaci graczowi K 2 zł. Podaj rozkład zmiennych losowych opisujących wygrane obu graczy. Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).
Zad. 7.4 Rozkład zmiennej losowej X dany jest tabelą:
k −2 −1 0 3 4
P (X = k) 103 101 a 52a2 103
Wyznacz:
a) stałą a,
b) dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres, c) P (|X − 1| ¬ 2),
d) EX oraz EX3.
Zad. 7.5 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
FX(t) =
0, t < −1/2, 1/4, −1/2 ¬ t < 0, 1/2, 0 ¬ t < 5, 4/5, 5 ¬ t < 6, 1, t 6.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Zad. 7.6 Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i otrzymujemy od „bankiera” tyle złotych, ile uzyskaliśmy orłów. Ile powinniśmy zapłacić „bankierowi”, żeby gra była sprawiedliwa?
Zad. 7.7 Gracz opłaca stawkę 50 zł i otrzymuje x zł, jeżeli dwie karty wylosowane z talii 52 kart są tego samego koloru. Dla jakiej wartości x gra jest sprawiedliwa?
Zad. 7.8 Zmienna losowa X ma rozkład
xi −1 0 1
pi p − p2 p2 1 − p . Znajdź p, dla których EX < 1/4.
Zad. 7.9 Zmienna losowa X ma rozkład
xi a b 0
pi 1/3 1/3 1/3.
Rachunek prawdopodobieństwa
Oblicz a oraz b, wiedząc, że EX = 0 i V arX = 8/3. Oblicz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych 3X − 1 i 9X + 5 oraz wartość oczekiwaną zmiennych X2 i (X + 1)2.
Zad. 7.10 W urnie są trzy kule o numerze 1, dwie o numerze 2 i jedna z numerem 3. Z urny losuje- my kolejno dwie kule ze zwracaniem. Określamy zmienną X jako największy z wylosowanych numerów napisanych na kulach. Oblicz EX oraz V arX.
Zad. 7.11 (S 14/125) Rozkład zmiennej X jest zadany funkcją fX(x) = a/x2 dla x = 1, 2, 3, . . ., a rozkład zmiennej Y funkcją fY(x) = b/x2dla x = ±1, ±2, ±3, . . . Znajdź a i b oraz wyznacz wartości oczekiwane zmiennych X i Y .
Zad. 7.12 W n próbach Bernoulliego wartość oczekiwana liczby sukcesów jest pięć razy większa od wartości oczekiwanej liczby porażek. Oblicz p.
Zad. 7.13 Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0,1,2,. . . z prawdopodobieństwami malejącymi z postępem geometrycznym. Znaleźć zależność pomiędzy EX oraz V arX.
Zad. 7.14 Wiadomo, że rozkład liczby organizmów żywych w próbkach pobranych z dna pewnego jeziora jest zgodny z rozkładem Poissona o parametrze λ = 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranej próbce:
a) nie będzie żywych organizmów,
b) wystąpią co najmniej trzy żywe organizmy.
Zad. 7.15 Dla zmiennej losowej Y o rozkładzie Poissona zachodzi P (Y = 0) = 1/e. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y . Ile wynosi P (Y < 5)?
Zad. 7.16 Zmienna losowa X ma następujący rozkład:
P (X = −1) = 1
4, P (X = 1) = 3 4. Znajdź rozkłady zmiennych: (a) Y = X + 1, (b) Z = X2. Zad. 7.17 Zmienna losowa X ma rozkład
xi −4 −3 −2 −1 0 1 2 4
pi 161 161 18 41 14 18 161 161 Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X2− 4.
