(z−1)(z−2)1 w szereg Laurenta o ±rodku z0 = 0 zbie»ny w pier±cieniu P (0, 1, 2

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW, rok akad. 2018/19.

5. SZEREGI LAURENTA I PUNKTY OSOBLIWE Oznaczenia:

C(a, b)- okr¡g o ±rodku w a i promieniu b zorientowany dodatnio, D(a, r) = {z ∈ C : |z − a| < r}.

P (z₀, a, b) = {z ∈ C : a < |z − z0| < b}, 0 ≤ a < b ≤ ∞.

1. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji f(z) = _{(z−1)(z−2)}¹ w szereg Laurenta o ±rodku z0 = 0 zbie»ny w pier±cieniu P (0, 1, 2) = {z ∈ C : 1 < |z| < 2}.

2. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji f(z) = _{(z−1)(z−2)}¹ w szereg Laurenta o ±rodku z0 = 1 zbie»ny w pier±cieniu P (1, 0, 1) = {z ∈ C : 0 < |z − 1| < 1}.

3. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ i cz¦±¢ regularn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w punkcie z₀ = 0dla funkcji f(z) = ^{sin z}_z¹⁰ w pier±cieniu P (0, 0, ∞) i okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie obliczy¢ caªk¦ R_C(0,¹

2)z⁻¹⁰sin zdz.

4. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ i cz¦±¢ regularn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w punkcie z₀ = 0 dla funkcji f(z) = ^{cos z}_z⁴ w pier±cieniu P (0, 0, ∞) i okre±li¢ rodzaj osobliwo-

±ci w punkcie z0 = 0. Nast¦pnie obliczy¢ caªk¦ R_C(0,¹

2)z⁻⁴cos zdz.

5. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji f(z) = z⁶sinh(¹_z) w szereg Laurenta w P (0, 1, ∞) dla z₀ = ∞. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w z0 = ∞i obliczy¢ caªk¦ R_C(0,10)z⁶sinh(¹_z)dz. 6. Znale¹¢ rozwini¦cie gaª¦zi gªównej funkcji f(z) = z¹⁰arcsin(¹_z) w szereg Laurenta w P (0, 1, ∞) dla z0 = ∞. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w z0 = ∞ i obliczy¢ caªk¦

R

C(0,10)z¹⁰arcsin(¹_z)dz.

7. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w z0 = 0 dla funkcji f(z) =

1

cos z+cosh z−2. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci f w punkcie z0 = 0.

8. Wyznaczy¢ cz¦±¢ gªówn¡ szeregu Laurenta o ±rodku w z0 = 0 dla funkcji f(z) =

cos z

z²sinh z. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci f w punkcie z0 = 0.

9. Wyznaczy¢ wszystkie punkty osobliwe w C funkcji f(z) = _z(z+4πi)^sinhz3(z−2πi)². W przypadku bieguna poda¢ jego rz¡d.

10. Okre±li¢ rodzaj osobliwo±ci w zerze funkcji f(z) = ctgz − ¹_z.

11. Niech f bêdzie funkcj¡ meromorczn¡ w C tak¡, »e istniej¡ staªe c, R > 0 oraz k ∈ N takie, »e |f (z)| < c|z|^k dla |z| > R. Wykaza¢, »e wówczas f jest funkcj¡

wymiern¡.

1