Nazwy nieostre a zbiory rozmyte

Mieczysław Lubański

Nazwy nieostre a zbiory rozmyte

S tu d ia P h ilo s o p h ia e C h r is tia n a e A T K

14(1978)1

M IE C Z Y S Ł A W K U B A Ń S K I

NAZWY NIEOSTRE A ZBIORY ROZMYTE

1. W p ro w a d z e n ie . 2. Z b io ry ro z m y te . 2.1. P o ję c ie z b io ru ro zm y teg o . 2.2. P r z y k ła d y z b io ró w ro z m y ty c h . 2.3. D z ia ła n ia n a z b io ra c h ro z m y ­ ty ch . 3. Z b io ry r o z m y te a n a z w y . 3.1. Boizm ytość i n ie o s tro ś ć . 3.2. S ta ­ ty c z n e i d y n a m ic z n e u jm o w a n ie rz e c z y w is to śc i. 4. P r ó b a p o sz e rz e n ia

z a k r e s u sto s o w a ln o ś c i ję z y k a n a u k o w e g o . 5. U w a g i k o ń co w e.

1. Wprowadzenie

W języ k u potocznym obszerną klasę nazw tw orzą tzw . n a ­ zwy nieo stre к Języ k potoczny je s t p u n k tem w yjścia dla ję ­ zyka naukow ego. Ten o sta tn i u sta la zarów no sposób rozum ie­ nia, ja k rów nież zakres w y rażeń zaczerpniętych z języka po­ tocznego. W szczególności odnosi się to do nazw . P rzy jęło się ujm ow ać zakres nazw w postaci dychotom icznej, tzn. bądź

i N a z w y ro z u m ie m y t u w u ję c iu z a p ro p o n o w a n y m p rz e z T. K o t a r ­ b iń sk ieg o (E le m e n ty te o r ii p o zn a n ia , lo g ik i fo r m a ln e j i m e to d o lo g ii n a u k , W ro c ła w — W a rs z a w a — K r a k ó w 1961; zob. ta k ż e Μ αία e n c y ­ klo p e d ia lo g ik i, W ro c ła w — W a rs z a w a — K r a k ó w 1970). N a z w a zw ie się n ie o s tr a , je ż e li zw y c z a j ję z y k o w y w z g lę d n ie k o n w e n c ja n ie p rz y ­ p o rz ą d k o w u je je j z a k re s u , c h o c ia ż p o z w a la o p e w n y c h p rz e d m io ta c h orzec, że s ą je j d e s y g n a ta m i, o in n y c h zaś, że n ie s ą n im i (K . A jd u - k iew icz: L o g ik a p r a g m a ty c z n a , W a rs z a w a 1965, 58; ta k ż e M a ła e n c y ­

klo p e d ia lo g ik i, 186). I s tn ie j ą w ię c p rz e d m io ty , o k tó r y c h n ie p o tr a f im y

(w o p a rc iu o z w y c z a j ję z y k o w y lu b p r z y j ę tą k o n w e n c ję ) o rz e c a n i, że są je j d e s y g n a ta m i, a n i że n im i n ie są. O ty c h p r z e d m io ta c h m ó w i się, że tw o rz ą z a k re s n ie o s tro ś c i d a n e j n a z w y (K . A jduikiew icz, dz, cy t., 60). Toteż, k o n s e k w e n tn ie , m o ż n a w ś ró d z d a ń , w k tó r y c h w y s tę p u ją n a z w y n ie o s tre , w s k a z a ć ta k ie z d a n ia , o k tó r y c h n ie p o tr a f im y w sp o só b za­ sad n iczy ro z s trz y g n ą ć , czy s ą o n e p ra w d z iw e , c z y fa łsz y w e . T ego r o d z a ­ ju z d a n ia n a le ż y u z n a ć za z d a n ia p o z b a w io n e rz e c z o w e j tr e ś c i (T am że).

32 M IE C Z Y S Ł A W L U B A Ń S K I _[2] przed m iot jak iś należy do zakresu nazw y, bądź też n ie n a ­ leży. Z akres nazw y, czyli zbiór jej desy gnatów , byw a zw any jej d enotacją. D enotacja je s t więc zbiorem . Pojęcie zbioru n ato m iast je s t ściśle pow iązane z pojęciem własności. Być bow iem elem entem jakiegoś zbioru znaczy m ieć pew ną w łas­ ność. O kreśla się zbiór jak o zespół przedm iotów w zględnie pojęć złączonych w całość pew n ą w spólną w łasnością 2. In n y ­ m i słow y przedm iot jak iś należy do pew nego zbioru, gdy posiada określoną w łasność, zaś nie należy, gdy jej n ie posia­ da. P rz y jm u je się tu pogląd, zgodnie z k tó ry m k o n k retn y przedm iot może posiadać daną własność, w zględnie jej nie posiadać. T e rtiu m non datur. Z ajm ow anie tego ro d zaju s ta ­ now iska m oże w ystarczać, kiedy m a się do czynienia z p oję­ ciow ym ujm ow aniem elem entów statycznych, n iezm ien­ nych. Rzeczyw istość nas otaczająca jedn ak że tak a n ie jest. C h a ra k te ry z u je się d ynam izm em i zm iennością. Toteż w yd a­ je się celow e dopuszczenie posiadania przez jak iś przedm iot pew nej cechy, w łasności w jak im ś jed y n ie stopniu, a nie tylko w jej „p ełn i”. W p rzy p adk ach sk ra jn y c h będą to dw ie dotychczas rozw ażane możliwości: p e łn e posiadanie przez p rzedm iot danej cechy, bądź też pełn e jej nieposiadanie. W ła­ sności u jm o w ane w sposób dyehotom iezny prow adzą do p o ję­ cia zbioru w znaczeniu klasycznym . N atom iast w łasności roz­ w ażane jako cechy p rzy słu g u jące przedm iotom w p ew nym jed y n ie stopniu prow adzą do pozaklasycznego pojęcia zbioru.

C elem a rty k u łu je s t p rzedstaw ien ie koncepcji tzw . zbiorów ro z m y ty c h 3 oraz w skazanie na m ożliwość jej w y korzystania

2 A. I. M alo ew : A lg e b r a ic z e s k ije s is tie m y , M o sk w a 1970, 9. Z b ió r r o ­ z u m ie m y tu , o czy w iście, w z n a c z e n iu d y s try b u ty w n y m .

3 P o ję c ie z b io ru ro z m y te g o w p ro w a d z ił L . A. Z a d e h (F u z z y se ts, „ In ­ f o r m a tio n a n d C o n tro l” , 8 (1965), 338 — 353). P e w n e u o g ó ln ie n ie te g o p o ję c ia z a p ro p o n o w a ł J . A. G o g u en (L - F u z z y se ts, „ J o u r n a l o f M a th e ­ m a tic a l A n a ly s is a n d A p p lic a tio n s ” . 18 (1967), 145— 174). T e o ria z b io ró w ro z m y ty c h je s t ro z b u d o w a n y m d z ia łe m m a te m a ty k i i z n a jd u j e w ie le z a sto s o w a ń . M ów i się o s y s te m a c h ro z m y ty c h , a u to m a ta c h ro z m y ty c h , ję z y k a c h ro z m y ty c h itd . D o b rą o r ie n ta c ję w ty m z a k re s ie d a je k s ią ż k a C. V. N e g o ita , D. A. R a łe s c u : A p p lic a tio n s o f f u z z y se ts to s y s te m s

[3] N A Z W Y N IE O S T R E ₃₃ do usensow nienia nazw n ieo stry ch w zakresie ich nieostrości. Dzięki tem u zwiększa się dziedzina zdań, k tó ry m może być przypisana treść rzeczowa.

2. Zbiory rozmyte

Z ajm iem y się obecnie podaniem o kreślenia zbioru rozm y­ tego, o p eracji dokonyw anych na tego ro d zaju zbiorach, jak rów nież ilu stra c ją na k o n k retn y c h p rzy k ład ach w prow adzo­ nych pojęć.

2.1. Pojęcie zbioru rozmytego

Z biór p e łn y oznaczać będziem y lite rą P. Zw ać go będziem y także przestrzen ią.

P rzez zbiór ro zm y ty A w p rze strz e n i P rozum ie się zbiór par uporządkow anych postaci (x, m), gdzie x je s t elem entem P, zaś m je s t fu n k cją o kreśloną n a P, p rzy jm u ją c ą w artości z dom kniętego przedziału od zera do jeden.

In n y m i słow y zbiór ro zm y ty je s t pew n ym podzbiorem ilo­ czynu k artezjań sk ieg o p rzestrzen i P przez d om knięty odci­ nek o końcach w p u n k ta c h zero oraz jeden. M ożna także u toż­ sam iać zbiór ro zm y ty A z przy p o rząd ko w an ą m u fu n k cją m, k tóra byw a zw ana fu n k c ją c h a ra k te ry sty c z n ą zbioru ro zm y ­ tego.

F u n k c ja c h a ra k te ry sty c z n a m określa „stopień p rzy n a leż ­ ności” elem en tu do zbioru rozm ytego. W spom niany stopień przynależności zaw iera się w g ranicach m iędzy liczbam i zero oraz jeden. Może więc w ynosić np. jed n ą trzecią, jed n ą d r u ­ gą, dw ie trzecie itd. Jeżeli fu n k cja c h a ra k te ry sty c z n a m p rz y j­ m uje ty lk o dw ie w artości, m ianow icie zero i jed en, to m a ­ m y do czynienia ze zbiorem w zw ykłym tego słow a znacze­ niu. Z atem każd y zbiór w sensie zw ykłym (klasycznym ) je s t także zbiorem w znaczeniu rozm ytym . A więc klasa zbiorów

a n a ly s is, B ir k h ä u s e r V e rla g , B a s e l u n d S t u t t g a r t 1975. Z a w ie r a się ta m

ta k ż e o b s z e rn a b ib lio g r a fia p rz e d m io tu .

ro zm yty ch zaw iera w sobie klasę zbiorów w znaczeniu d o tych ­ czasowym.

Zbiór w szystkich ty ch elem entów p rzestrzen i P, dla k tó ry ch fu n k cja ,m p rz y jm u je w arto ści dodatnie zwie się nośnikiem danego zbioru rozm ytego.

N iech d a n y będzie zbiór ro zm y ty A. R ozw ażm y jego fu n k ­ cję ch a ra k te ry sty c z n ą m. W p rzy p ad k u ogólnym m ożna w y ­ różnić trz y k lasy elem entów p rzestrzen i P w odniesieniu do zbioru rozm ytego A. Do pierw szej k lasy zaliczym y te ele­ m en ty p rzestrzen i P, dla k tó ry c h fu n k cja m p rz y jm u je w a r­ tość ró w n ą jeden. Do k lasy dru g iej — te elem enty ,dla k tó ­ ry c h fu n k cja m je s t d odatnia, ale m niejsza od jedności. T rze­ cia k lasa sk łada się z ty ch elem entów p rzestrzen i, dla k tó ­ ry c h fu n k c ja c h a ra k te ry sty c z n a je st rów na zeru. E lem enty w chodzące w skład dru giej klasy zwać będziem y częścią roz­ m y tą zbioru rozm ytego, zaś elem en ty klasy pierw szej — częś­ cią o strą zbioru rozm ytego A. K lasa trzecia składa się z ele­ m entów nie w chodzących w skład zbioru rozm ytego A. W p rzy p a d k u zbiorów w znaczeniu zw ykłym klasa d ru g a jest pu sta. E lem en ty k lasy pierw szej tw orzą d any zbiór, zaś ele­ m en ty k lasy trzeciej — jego d opełnienie (uzupełnienie). J e st w idoczne, że nośnik zbioru rozm ytego A tw orzą elem enty klasy pierw szej oraz drugiej.

Niech d an e b ęd ą dw a zbiory ro zm y te A oraz В w p rze ­ strz e n i P. M ówimy, że zbiory te są rów ne, co zapisujem y: A = B, jeżeli ich fu n k cje c h a ra k te ry sty c z n e są rów ne, tzn. p rz y jm u ją jed n ak ow e w artości dla każdego elem entu p rz e ­ strzen i, a więc m A(x) = m B(x), gdzie x je s t dow olnym ele­ m en tem P.

2.2. Przykłady zbiorów rozmytych

Z ilu stru je m y te ra z pojęcie zbioru rozm ytego na k o n k re t­ n ych p rzykładach.

Rozw ażm y zbiór ludzi w w iek u średnim . D la p ro sto ty p rz y j­ m iem y tylko pełne, całkow ite la ta w spom nianych osób. Zbiór te n określim y przez podanie jego nośnika. A rgu m entam i

fu n k cji c h a ra k te ry sty c z n e j będą liczby oznaczające w iek osób. W artości tej fu n k c ji n iech o k reśla ją n a stę p u jąc e równości: m(40) = 0,3, m{41) = 0,5, m(42) = 0,8, m(43) = 0,9, m(44) = l, m(45) = l , m(46) = l, m(47) = l, m(48) = l, m(49) = 0,9, m(50) =

= 0,8, m(51) = 0,7, m(52) = 0,5, m(53) = 0,3. W te n sposób o trz y ­ m ujem y zbiór r o z m y ty 4, o b ejm u jący ludzi w tzw . w ieku średnim .

W ty m p rzy p a d k u część o strą rozw ażanego zbioru rozm y­ tego stano w ią la ta 44, 45, 46, 47 i 48. O ne są w ,.pełni” w ie­ kiem średnim . Część ro zm y tą stanow ią tu ta j la ta 40, 41, 42, 43, 49, 50, 51, 52 i 53. K o n sek w en tn ie osoby w w iek u 39 la t i niżej o raz w w iek u 54 la t i w yżej n ie są zaliczane do osób w w iek u średnim .

W eźm y tera z pod uw agę zbiór w szystkich kół o polu ró w ­ nym jedności. N iech on będzie p rzestrzen ią P. P rzypuśćm y, że ro z p a tru je m y cztery kolory: żółty, czerw ony, zielony i nie­ bieski. K ażde ze w spom nianych kół m oże b yć pom alow ane jed ny m z w ym ienionych kolorów , w zględnie kilkom a z nich. Pow iedzm y, że in te re su je nas kolor zielony. W odniesieniu do niego d efin iujem y, iż w artość fu n k cji c h a ra k te ry sty c z n e j jest rów na w ielkości pola pom alow anego n a zielono. Z atem będzie ona rów na jedności w p rzy p ad k u , g dy całe koło je s t zielone, ułam kow i, gdy jed y n ie jego pew n a część będzie zie­ lona, zaś zeru, gdy na d an y m kole nie będzie w ogóle koloru zielonego. J e s t w idoczne, że o trz y m u je m y zbiór rozm yty, k tó ­ rego elem en tam i są rozw ażane koła. Można powiedzieć, że określony przed chw ilą zbiór ro zm y ty c h a ra k te ry z u je sto­ pień „zieloności” rozw ażanego koła.

Jako trzeci p rzy k ład rozw ażm y jak iś w y piek cukierniczy, powiedzmy pączki. D la p ro sto ty p rzy jm ijm y , że bierzem y pod uwagę w ypiek dzisiejszy (d), w czorajszy (w) oraz przedw czo­ rajszy (p). U m ów m y się, że w artość fu n k cji c h a ra k te ry sty c z ­

4 M . P. R e b ro w a : R a z m a ty je m n o ż e s tw a o tie o r ii k la s ijik a c ii, N a u -

c z n o -te c h n ic z e s k a ja in fo r m a c ija , S e r i ja 2: I n fo r m a c io n n y je p ro c e s sy i s is tie m y , M o sk w a 1976, N o 10, 15.

nej d an a będzie n astępu jący m i rów nościam i: m(d) = l, m(w) = = 0,5, m(p) = 0,2. O trzy m u jem y zbiór rozm yty, k tó ry m ożna trak to w ać jako m atem aty czne ujęcie te rm in u „w ypiek św ie­ ży ”.

P rzypuśćm y, że in te resu je nas zagadnienie k lasy fikacji p ew ­ nej k lasy dokum entów . In tu ic y jn ie rzecz biorąc jest jasne, że dw a d o k um enty uznam y za p okrew ne sobie, jeżeli zaw ierają podobne pojęcia. Na tej p od staw ie m ożna mówić o ko relacji zachodzącej m iędzy rozw ażanym i dokum entam i. W zależno­ ści od jej w artości zaliczym y je do tak iej, w zględnie innej grupy. W ten sposób o trz y m u je m y pew ien zbiór rozm yty, k tó ry stanow i realizację in te resu jąc e j nas k la s y fik a c jis. Nie w chodzim y tu w p rec y z y jn e ok reślen ie fu n k c ji c h a ra k te ry s ty ­ cznej danego zb io ru z ra c ji czysto technicznych, k tó re są n ie ­ isto tn e dla celu przyśw iecającego tem u arty ku łow i, odw iodły b y zaś nas zbyt daleko od samego zagadnienia 6.

2.3. Działania na zbiorach rozmytych

W prow adzim y n a jp ie rw pojęcie zbioru rozm ytego p u s te ­ g o 8.

Zbiór ro zm y ty A zwie się p u sty , co n o tu jem y: A = 0 , jeżeli jego fu n k cja ch arak te ry sty c z n a m jest tożsam ościowo rów na zeru, tj. mA( x ) = 0 dla każdego x należącego do p rzestrzen i P.

O kreślim y te ra z dopełnienie zbioru rozm ytego A. Oznaczać je będziem y przez A z k resk ą n a górze, a więc sym bolem Ä. P rzez dopełnienie (uzupełnienie) zbioru rozm ytego A ro zu ­ m ieć będziem y zbiór ro zm y ty , k tórego fu n k cja c h a ra k te ry s ty ­ czna m x = 1 — m A. In n y m i słow y: fu n k cja c h a ra k te ry sty c z ­ na dopełnienia zbioru rozm ytego je s t ró w na d opełnieniu do

5 S M A R T — a u to m a ty c z n y s y s te m w y s z u k iw a n ia in f o rm a c ji, p r a c a z b io ro w a p o d r e d a k c ją G. S a lto n a , W a rs z a w a 1975, 28 i 31.

» C z y te ln ik a , k tó r y c h c ia łb y b liż e j z a p o zn ać się z p ro b le m e m w ią z a ­ n ia d o k u m e n tó w w g ru p y i d e fin io w a n ia fu n k c ji c h a r a k te r y s ty c z n e j z h io ru , o d sy ła m y do p ra c y c y to w a n e j w p o p rz e d n im p rzypdsku.

7 P r e z e n tu je m y t u p o ję c ia w p ro w a d z o n e w p ra c y : L. A. Z a d e h : F u z z y

jedności fu n k cji ch arak te ry sty c z n e j zbioru w yjściow ego, do­ pełnianego. A więc elem en ty klasy pierw szej zbioru dopeł­ nianego p rze jd ą w elem en ty k lasy trzeciej dopełnienia, ele­ m en ty k lasy trzeciej zbioru dopełnianego — w elem en ty klasy pierw szej dopełnienia, zaś elem en ty k lasy drugiej p rz e j­ dą w siebie, z ty m tylko, że ich stopień przynależności u leg ­ nie zm ianie, z pierw otnego przejd zie w dopełnienie do je d ­ ności. W idzim y więc, że część ro zm yta zbioru rozm ytego p rze ­ chodzi p rzy operacji dopełniania w część ro zm y tą dopełnie­ nia danego zbioru.

J e s t w idoczne, że w p rzy p ad k u zbiorów w znaczeniu zw y­ kłym o trzy m u jem y zgodność z p rzy jm o w an ą tam d efinicją dopełnienia, tj. Ä = P — A.

N iech d an e b ęd ą tera z dw a zbiory rozm yte A oraz B. P rz y ­ puśćm y, że dla każdego elem en tu x należącego do nośnika zbioru A w artość fu n k c ji c h a rak tery sty czn ej zbioru A jest niew iększa od w arto ści fu n k cji ch a ra k te ry sty c z n e j zbioru В dla tegoż elem entu. P ow iem y wówczas, że zbiór ro zm y ty A jest podzbiorem zbioru rozm ytego B. N o tujem y to n a s tę p u ją ­ co: ACIB.

P rzy k ład . N iech A = { ( x , 0,5), (y, 0,2)}, zaś B = { ( x , 0,7), (y. 0,4), (z, 0,3)}. W ówczas A C B .

J e s t w idoczne, że nośniki zbiorów A oraz В m ogą być rów ­ ne, bądź też pierw szy z nich zaw ierać się m oże w d ru g im (za­ w ieranie rozum ie się tu , rzecz jasn a, w sensie zw ykłym ).

S u m ą m nogościową dw u zbiorów ro zm y ty ch A oraz В zwie się zbiór ro zm y ty C, którego fu n k cja ch arak te ry sty c z n a m c jest o kreślona jak o m ax( m A, m B).

Inaczej m ożna powiedzieć, że sum a m nogościowa dw u zbio­ rów ro zm y ty ch je s t n a jm n ie jszy m zbiorem ro zm y tym zaw ie­ rają cy m zarów no jeden , ja k i d ru g i zbiór.

P rzy p o m nijm y , że zbiór zw ie się n ajm n iejszy m zbiorem posiadającym p ew n ą w łasność W, jeżeli zaw iera się w k aż­ dym zbiorze m ający m w łasność W.

zbiór ro zm y ty C, którego fu n k cja c h a ra k te ry sty c z n a m c jest określona jako m in(m A, m B).

Podobnie, ja k poprzednio, m ożna powiedzieć, że część w spólna d w u zbiorów ro zm y ty ch je st n ajw iększym zbiorem ro zm y ty m za w a rty m zarów no w jednym , ja k i w d ru g im zbio­ rze.

P rzyp o m inam y także, że zbiór zwie się najw iększy m zbio­ re m posiadającym p ew n ą w łasność W, jeżeli zaw iera każdy zbiór m ający w łasność W.

Z definicji su m y w ynika, że każdy zbiór rozm y ty m ożna tra k to w a ć jako zw ykłą sum ę m nogościową zbiorów jednoele- m entow ych, któ ry m i są p a ry uporządkow ane utw orzone z ele­ m en tó w p rze strz e n i P oraz z liczb rzeczyw istych zaw artych m iędzy zero oraz jeden.

Można w ykazać, że sum a m nogościowa zbiorów rozm ytych je s t przem ien n a i łączna. Podobnie o peracja tw o rzenia części w spólnej zbiorów ro zm y ty ch je s t rów nież przem ien na i łącz­ na. Zachodzą także dw a p raw a rozdzielności, a więc rozdziel­ ności sum y w zględem o peracji tw orzenia części w spólnej oraz rozdzielności tej ostatniej w zględem o peracji tw orzenia s u ­ m y m nogościowej.

Słuszne są także, dla zbiorów rozm ytych, p raw a de M orga­ na. A więc dopełnienie sum y m nogościowej je s t ró w n e części w spólnej dopełnień składników sum y. Podobnie dopełnienie części w spólnej je s t ró w ne sum ie m nogościowej dopełnień poszczególnych członów części w spólnej.

O kreślim y jeszcze trz y o peracje algebraiczne w odniesie­ n iu do zbiorów rozm ytych, m ianow icie różnicę bezw zględną, iloczyn algebraiczny i sum ę algebraiczną dw u zbiorów roz­ m ytych.

Różnica bezw zględna dw u zbiorów ro zm y tych A oraz В je s t to ta k i zbiór ro zm y ty C, którego fu n k cja c h a ra k te ry s ty ­ czna jest rów na w artości bezw zględnej różnicy m iędzy fu n k ­ c ją ch a ra k te ry sty c z n ą zbioru A i fu n k cją ch a ra k te ry sty c z n ą zb ioru B.

czeniu zw ykłym , to różnica bezw zględna ty c h zbiorów je s t po p ro stu ró w n a ich różnicy sy m etry czn ej.

Iloczyn algebraiczny d w u zbiorów ro zm y ty ch A i В je s t to ta k i zbiór ro zm y ty C, którego fu n k cja c h a ra k te ry sty c z n a je s t rów na iloczynowi fu n k c ji c h a ra k te ry sty c z n y c h zbiorów A i B .

Iloczyn alg eb raiczny zbiorów A i B oznaczam y sym bolem A.B.

Jeżeli A i В są zbioram i w znaczeniu zw ykłym , to iloczyn algebraiczny oraz o p eracja części w spólnej są działaniam i rów now ażnym i.

J e s t w idoczne, że iloczyn algebraiczny A.B je s t za w a rty w części w spólnej zbiorów ro zm y ty ch A i B.

P rzez sum ę algebraiczną dw u zbiorów ro zm yty ch A i В r o ­ zum ie się tak i zbiór ro zm y ty C, którego fu n k cja c h a ra k te ry ­ styczna je s t ró w n a sum ie fu n k cji ch a ra k te ry sty c z n y c h zbio­ rów A i В o ile ty lk o sum a ta nie p rzek racza liczby 1; w p rzy p ad k u p rzeciw nym rozw ażanego elem en tu n ie zalicza się do su m y algebraicznej zbiorów.

W p rzy p a d k u su m y algebraicznej nie zachodzi odpow ied­ nik zależności m ającej m iejsce dla iloczynu algebraicznego (o ile rozw ażam y zbiory w znaczeniu zw ykłym ). A by go uzy s­ kać trz e b a dokonać pew nego uzu p ełnienia w zakresie o p era­ cji dokonyw anych na zbiorach. Sp raw a p rzed staw ia się n a ­ stępująco. N iech A i В będą danym i zbioram i rozm ytym i. W eźm y dopełnienie każdego z nich. N astęp n ie u tw ó rzm y ilo­ czyn algebraiczny w spom nianych dopełnień. W reszcie w eźm y raz jeszcze dopełnienie całego iloczynu algebraicznego. O zna­ czm y w y n ik opisanego ciągu operacja sym bolem A + B . W ów­ czas zachodzi n a stę p u jąc e tw ierdzenie: D la zbiorów w zna­ czeniu zw ykłym o p eracja su m y m nogościowej oraz o p eracja +

+ są o p eracjam i rów now ażnym i.

3. Zbiory rozmyte a nazwy

Po p rez e n ta c ji pojęcia zbioru rozm ytego oraz kilk u, w y ­ b ran y c h jed y n ie, o p e ra c ji dokonyw anych n a zbiorach ro z­

m y ty ch przejd ziem y obecnie do d y sk u sji rela cji zachodzącej m iędzy zbioram i ro zm y ty m i a nazw am i, zwłaszcza nazw am i nieostrym i. W ty m celu p rzy jrzy m y się n a jp ie rw „istocie” rozm ytości oraz nieostrości.

3.1. Rozmytość i nieostrość

Podając określenie zbioru rozm ytego w yróżniliśm y w nim „część o strą ” oraz „część ro zm y tą ”. P ierw sza z nich zaw iera te elem enty, k tó re p rzy n ależą do zbioru ze stopniem rów nym jedności, d ru ga nato m iast składa się z ty ch elem entów p rze ­ strzeni, k tó ry ch stopień przynależności w yraża się ułam kiem właściw ym .

P rz y jrz y jm y się bliżej „części ro zm y tej”. Je j pozytyw ne sch arak teryzow an ie zostało przed chw ilą przypom niane. Zw ie­ m y je pozytyw nym , gdyż m ówi ono o stopniu przynależności elem en tu do zbioru rozm ytego.

Jeżeli zgodzim y się, że stojńeń przynależności rów ny jeden odpow iada pełn ej przynależności elem en tu do zbioru, zaś m niejszy od jedności — przynależności niep ełnej, niecałkow itej, to m ożem y na cały p roblem spojrzeć rów nież od stro n y p rz e ­ ciw nej, n azw ijm y ją , niepozytw nej. Chodzi o to, że w p rzy ­ p a d k u przynależności niepełnej danego elem en tu m ożna także m ówić o jego nieprzynależności w pew nym stopniu. Niech elem en t a wchodzi w Skład zbioru rozm ytego ze stopniem przynależności rów nym x. Wówczas w y d a je się rzeczą uza­ sadnioną powiedzieć także, że w spom niany elem en t a nie p rzy n ależy do danego zbioru rozm ytego ze stopn iem rów nym jed e n m in u s x (zakładam y, oczywiście, że x je st m niejsze od jedności). Z atem w ty m p rzy p ad k u m ielibyśm y do dyspozycji dw ie term inologie: pozy ty w n ą oraz niepozytyw ną. W edług pierw szej z nich orzekam y o przynależności elem entu do zbio­ ru rozm ytego, zaś w edług d rugiej o jego nieprzynależności. Sum a stopnia przynależności oraz stopnia nieprzynależności ele m en tu je s t zawsze rów na jedności.

Je że li przed staw io na p rzed chw ilą propozycja je s t słuszna, to pojęcie zbioru rozm ytego, zwłaszcza jego „części rozm y­

te j ”, d a je podstaw ę do przyp isyw an ia pew nym elem entem dw u c h a ra k te ry sty k : posiadania pew nej w łasności w jak im ś stop niu o raz jej nieposiadania w sto p n iu będącym dopełnie­ niem do jedności. N a tej drodze w ychodzim y poza tra d y c y j­ ne te r tiu m non datur.

Jeżeli tera z w eźm iem y pod uw agę nazw y nieostre, to m am y do czynienia z dość podobną sy tu a c ją, jak a zachodzi w p rz y ­ pad k u zbiorów rozm ytych. A więc w odniesieniu do p ew ­ ny ch przedm iotów d a je się orzec, że są one d esy gnatam i roz­ w ażanej nazw y, w odniesieniu do innych, że n im i nie są; je d ­ nakże istn ie je klasa przedm iotów w sto su n k u do k tó ry c h nie jesteśm y w stanie, w sposób zasadniczy, p rzypisać im w ła ­ sności bycia d esy gn atem danej nazw y, bądź też nie p rz y p i­ sać jej. W spom niana klasa przedm iotów zwie się zakresem nieostrości d anej nazw y 8. Z atem zakres nieostrości nazw y za­ w iera p rzedm ioty, k tó re m ogą być sch arak tery zo w an e w łas­ nością „nieorzekalności”. N ie m ożna w sto su n ku do nich orzec ani za, an i przeciw pew nej cesze. Toteż zdania, zaw ierające nazw y nieostre, a zarazem odnoszone do przedm iotów n ale­ żących do zakresu nieostrości, nie posiadają rzeczow ej treści. P o w staje py tan ie, czy opisana przed chw ilą sy tu a c ja jest nie do przezw yciężenia. Czy je d y n y m w yjściem byłoby posłu ­ żenie się p ew n ą konw encją, k tó ra by p rzekształciła d an ą n az­ w ę nieo strą w nazw ę ostrą? A le wówczas trz e b a b y się zgo­ dzić n a pew nego ro d zaju aprioryzm . Nie jest to jed n a k roz­ w iązanie, k tó re m ogłoby budzić zb y t w ielki entuzjazm , gdy chodzi o rzeczow y p u n k t w idzenia. Jeżeli nie chcem y w cho­ dzić w kolizję z d an y m i idącym i do nas od stro n y rzeczyw is­ tości, n ależy treść naszych term inó w , w y rażeń kształtow ać w oparciu o w spom nianą rzeczyw istość, nie zaś dość a rb itra l­ nie o niej dekretow ać. Szacunek dla rzeczyw istości, szacunek dla tego co jest, co istn ieje, co się rozw ija, zm ienia, ew o lu u je itd. (bo rzeczyw istość je s t niesły chan ie bogata w swej różno­

8 P rz y p o m in a m y , że s p r a w y t u p o ru s z a n e sy g n a liz o w a liś m y ju ż w p rz y p is ie 1.

rodności) zniew ala nas do poszukiw ania innego rozw iązania, niż w skazanego przed chw ilą. W ydaje się, że zasadna jest p ró ­ ba zm ierzająca do usensow nienia sam ego zakresu nieostrości danej nazw y. Tą drogą w inno się iść w celu otrzy m an ia roz­ w iązania problem u. W spom niane usensow nienie zakresu n ie­ ostrości m oże nastąp ić przez odniesienie do elem entów rze ­ czyw istości „ o stre j” tre śc i danej nazw y w p ew ny m ty lk o sto p­ niu, k tó ry m oże być dla różnych elem entów różny. J e st to sugestia idąca ze stro n y koncepcji zbiorów rozm ytych. W cale nie głosim y, że to je s t jed y n a drogą prow adząca do celu. J e s t je d n a k niew ątp liw ie jed n ą z dróg, k tó re do niego wiodą. A to ju ż je s t w iele. D roga ta w y d aje się m ieć dw ie własności: 1° p rzy zn aje p rio ry te t rzeczyw istości w sto su n k u do naszych koncepcji poznaw czych, 2° n ie m ieści się W wąsko ro zum iany m klasycznym schem acie logiki dw uw artościow ej. G dy idzie o o sta tn ią w łasność, to m am y tu n a m yśli m ożność w ypow ia­ dania zdań postaci: „elem en t a m a w łasność W w stopn iu x ”,

„elem en t a n ie m a w łasności W w stopniu 1—x ”, nato m iast niem ożność jednoczesnego uznania zdań: „elem ent a m a w ła s­ ność W w sto p n iu x ” oraz „elem ent a nie m a w łasności W w sto p n iu x ”. W ym ienione cechy p row adzą prosto do p ro ble­ m u statycznego oraz dynam icznego ujm ow ania rzeczyw i­ stości. P rzejdziem y te ra z do tego zagadnienia.

3.2. Statyczne i dynamiczne ujmowanie rzeczywistości

Pow szechne są dw a podstaw ow e m odele rzeczyw istości: m o­ del staty czn y i m odel dynam iczny.

P ierw szy z n ich u jm u je rzeczyw istość jako zespół in d yw i­ duów o stałej „ n a tu rz e ” i stały m sposobie działania. In d y w i­ d u a m ogą pow staw ać i zanikać, ale w czasie swego istnienia c h a ra k te ry z u ją się pew n ą „istotow ą” stałością. Taka koncep­ cja rzeczyw istości prow adzi w n a tu ra ln y sposób do p rzy jęcia za w łaściw ą logiki klasycznej, dw uw artościow ej. W szczegól­ ności w ięc jesteśm y skłonni uznać za słuszne zdania o rzeka­ jące, że dan y p rzed m iot p istnieje, bądź też n ie istnieje, że m a pew n ą własność, bądź też jej nie ma. N iepraw dziw ym i

w y d a ją się k o n iu n k cje postaci: p rzedm iot p m a w łasność W i przed m io t p n ie m a w łasności W.

D ru g i ze w spom nianych m odeli u jm u je rzeczyw istość 'n ie jak o zespół indyw iduów , ale ja k o zespół pew ny ch procesów. W św iecie zachodzą przecież n ieu stan n ie zm iany. M ają one m iejsce w dziedzinie atom ow ej, subatom ow ej, w śród isto t ży­ w ych, zachodzą także w skali kosm icznej. A spekt zm ienności w y d a je się być isto tn y w odniesieniu do rzeczyw istości. W y­ raż a ją c się nieco p arad o ksalnie m ożna b y powiedzieć, że rz e ­ czyw istości nie ma, że ona s ta je się, i to ustaw icznie, sta le na nowo. I n ie ty le „rzeczyw iste” są poszczególne etap y zm ian, ile raczej sam proces w spom nianych zm ian.

S tojąc na ty m stan o w isk u nie budzi zastrzeżeń uznaw anie niew y starczaln o ści logiki dw uw artościow ej. Co w ięcej, p o ja ­ w ia się konieczność p rzy ję cia logiki w ielow artościow ej. W ów­ czas d o sta je m y do ręk i a p a ra t logiczny, k tó ry pozw ala b a r­ dziej ad ek w atn ie oddaw ać rzeczyw istość, niż to d aje się uczy­ nić p rzy pom ocy logiki dw uw artościow ej.

Z ilu stru je m y powyższe dość ogólne uw agi k o n k retn y m p rz y ­ kładem . W eźm y pod uw agę człow ieka. U jm ow anie go s ta ty ­ cznie w idzi w n im zespół d w u elem entów : anim alnego i in ­ telektu aln eg o. T ym sam y m jed n a k dokonujem y p e try fik o w a ­ nia bogatej, zm iennej rzeczyw istości człow ieka. Lepszym p rz y ­ bliżeniem rzeczyw istego sta n u rzeczy w y d aje się być k o n­ cepcja człow ieka jako tw oru, k tó ry , nie ty le jest, ile raczej s ta je się (lub jeszcze lepiej: m oże staw ać się) rozum ny. A n a ­ liza zachow ania się przeciętnego człow ieka w y k azu je przecież ja k w iele je st w nim elem en tu naw ykow ego, au to m atyczn e­ go itd., w p o rów n an iu do isto tn ie tw órczego m yślenia. L u ­ dzie, z reg u ły , p o stęp u ją w edług pew n y ch schem atów , sza­ blonów , naw yków . T rzeba dużego w ysiłku in telek tu aln ego, aby m óc i p o trafić zająć w łasne, k ry ty c z n e stanow isko. T rze­ ba w sobie w ypracow yw ać k ry ty c z n ą postaw ę um ysłu. Ona n ie je s t n am „d an a” . Człow iek je s t bogatym , złożonym tw o­ rem , k tó ry w inien kształto w ać siebie w biegu swego życia. M ożem y więc konkludow ać, że dla statycznego m odelu

rzeczyw istości w ystarczająca je s t logika dw uw artościow a, n a ­ tom iast dla m odelu dynam icznego — nie. A by móc a d ek w at­ nie opisyw ać w łasności procesów zachodzących w św iecie nie w y starczy p ro sty schem at logiki dw uw artościow ej. Logika w y ­ d a je się być czym ś w tó rn y m w stosun ku do rzeczyw istości i naszego jej p o z n a w a n ia 9. Toteż w in na być w zbogacona w m iarę zw iększania się bogactw a i różnorodności naszego po­ znania. O tw iera to przed m yślą naszą szerokie horyzonty.

Na tle pow yższych uw ag sp o jrzy jm y teraz na koncepcję zbiorów ro zm y tych i p łynące z niej konsekw encje w odniesie­ n iu do pro b lem u , k tó rem u je s t pośw ięcony ten a rty k u ł. 4. P ró b a poszerzenia zakresu stosow alności języ k a naukow ego

W yjdziem y z p rzy k ła d u zaczerpniętego z m etrologii. M a­ m y n a m yśli pojęcie pom iaru.

Otóż przez pom iar rozum ie się zespół czynności, po w yko­ n a n iu k tó ry ch m ożna stw ierdzić, że w chw ili pom iaru doko­ nanego w ok reślonych w aru n k ach , a więc p rzy posłużeniu się takim i to środkam i i w yko n an iu tak ich to czynności, w ielkość m ierzona m iała w artość z a w a rtą m iędzy liczbam i r oraz s. W ynikiem p o m iaru zwie się stw ierdzenie, że w ielkość m ierzo­ n a je s t nie m niejsza niż r i jednocześnie nie w iększa niż s. W yniku p o m iaru nie doprow adza się do rów ności r = s , ponie­ w aż zm niejszenie ró żn icy s—r = t je s t niem ożliw e lub niecelo­ w e l0. P rzyjęcie, że różnica t jest dodatnia, stan ow i podstaw o­ w y p o stu la t m etrologii. Zasadniczą p rzyczyną jego w p row a­ dzenia jest, ja k łatw o się dom yśleć, ograniczona doskonałość naszych zm ysłów oraz narzędzi, k tó ry m i się posługujem y przy dokonyw aniu pom iaru. P róg czułości zawsze istn ieje w odnie­ sieniu zarów no do naszych zmysłów, ja k i narzędzi. N a tu ra l­ n ą jego podstaw ą je s t k w an to w y c h a ra k te r zjaw isk n . P o stu ­ low anie m ożliwości posiadania ab so lu tn ie dokładnych w y n i­

» A. G rz e g o rc z y k : Z a r y s lo g ik i m a te m a ty c z n e j, W a rs z a w a I960, 66. 10 J . P io tro w s k i: P o d s ta w y m e tro lo g ii, W a rs z a w a 1976, 16.

ków p o m iaru je s t życzeniem niem ożliw ym do zrealizow ania. P o m iar jest, ze swej n a tu ry , zaw sze obarczony pew nym b łę ­ dem, lu b może lepiej: zaw iera się w pew n ym p rzedziale w a r­ tości, albo: je s t „ro zm y ty ” , w w iększym , lu b m niejszym stop ­ niu.

P o m iar należy zaliczyć do jed n e j z podstaw ow ych czynności naukow ych. W szędzie tam , gdzie on w y stęp u je, po jaw iają się sk u tk i jego właściwości. In n y m i słow y trzeb a uznać potrzebę, celowość i konieczność pojęć nieostrych, nazw nieostrych. W y­ n ik p om iaru jest, i m usi być, w ielkością „n ie o strą ” . A to rz u ­ tu je na c h a ra k te r naszego języka, na c h a ra k te r term in ów , w szczególności nazw.

Oczywiście, trzeb a się zgodzić, że nieostrość sam a w sobie n ie m usi być dla nas ideałem (a n a w e t nie m oże być), k tó ry by pow odow ał dem obilizację in te le k tu a ln ą . W pew n ych p rz y ­ padkach nieostrość nie m oże być inaczej tra k to w a n a, ja k je ­ dynie jak o w y raz naszej niew iedzy w odniesieniu do rzeczy­ w istości. To je s t niew ątpliw e. Jed n ak że m ożna w skazać dużą ilość przypadków , kiedy nieostrość nie je s t ani zw ykłą w adą naszego języka, a n i w y razem naszego b ra k u odpow iedniego poznania rzeczyw istości, a stanow i znam ię naszego odbicia rzeczyw istości. W ówczas nieostrość w y d a je się być „n ieu le­ czalna” i „o b iek ty w na” zarazem . A zatem posiadanie tylko nazw o stry ch i możność posługiw ania się nim i m oże być r a ­ czej tra k to w a n a jako dość odległy cel, do którego zm ierzam y, aniżeli jako niezbędny w a ru n e k do sp ełnienia tu i t e r a z 12. N ieostrość u trzy m an a w „ro zsąd n ych ” g ranicach w y starcza do u p raw ia n ia n au k i i zarazem od daje w zględnie w iernie, tak p rzy n ajm n iej m ożna postulow ać, bogatą, zm ienną i złożoną rzeczyw istość.

W obec tego nasuw a się m yśl, aby skorzystać z koncepcji zbiorów rozm y ty ch w celu usensow nienia nazw nieostrych.

12 M oże p o w s ta ć p y ta n ie , czy n a s z o b e c n y ję z y k n ie je s t z b y t „ s ta ­ ty c z n y ” . G d y b y u d a ło się s k o n s tru o w a ć ję z y k „ d y n a m ic z n y ”, b y ć m oże, że ca ły p r o b le m n ie o s tro ś c i tr z e b a b y p o s ta w ić z u p e łn ie in a c z e j.

46 M IE C Z Y S Ł A W L U B A Ń S K I [161 Z akres ich nieostrości może zostać usensow niony przez odnie­ sienie go do „części ro z m y te j” zbioru rozm ytego. Dzięki te ­ m u m ożliwe się s ta je posługiw anie się nazw am i nieo strym i w p ełn y m ich zakresie. K onsekw entnie zwiększa się klasa zdań o treści rzeczowej.

J e s t rzeczą ła tw ą i w idoczną w jak i sposób da się dokony­ w ać usensow nianie zak resu nieostrości w oparciu o zrefero ­ w ane pojęcie zbioru rozm ytego oraz w y bran ych, prostych operacji n a zbiorach rozm ytych.

Z drugiej stro n y je s t tak że widoczne, że „dobre” sp recy ­ zow anie treści w odniesieniu do zakresu nieostrości nazw y

nie jest w cale łatw e. „D obre” znaczy tu ta j zgodne z rzeczyw i­ sty m sta n e m rzeczy, a więc zgodne zarów no z sam ą rzeczyw i­ stością, ja k i u stalo n ą w cześniej i pow szechnie p rz y ję tą k o n ­ w en cją językow ą. Co do tego nie m a w ątpliw ości. N ie znaczy to jed n ak , a b y było ty m sam ym nie do w ykonania, aby było przedsięw zięciem beznadziejnym .

P ro b lem je s t złożony. Ł ączy się z zagadnieniem konw encji, logik w ielow artościow ych, sięga do podstaw ow ych problem ów odnoszących się do ontologii i gnoseologii. Tym sam ym w y ­ d a je się być problem em typow o filozoficznym . A więc im w ięcej będzie się pojaw iać now ych m yśli tyczących się jego rozw iązania, ty m lepiej będzie się w idzieć całe zagadnienie. To zaś przybliżać będzie m ożliwość w ypracow ania stanow i­ ska, k tó re b y uzyskało ogólną ap rob atę i przyjęcie. W ydaje się, że sp raw a w a rta je s t w nikliw ej uw agi badaw czej.

5. Uw agi końcowe

P odsum ow ując przeprow adzone rozw ażania stw ierdzam y, że prob lem nazw n ieo stry ch nie m usi być rozum iany jako je ­ dynie przejaw w ady naszego języka. N ieostrość nazw , ja k się zdaje, sięga głębiej, do podstaw b y tu i naszego poznania. J e st rzeczą m ożliw ą usensow nianie zak resu nieostrości nazw n ie­ ostrych. Je d n ą z dróg prow adzących do tego celu może s ta ­ now ić koncepcja zbiorów rozm ytych. D zieje się to przez p rz y ­

pisyw an ie elem entom p rzy słu gu jącej im w łasności w pew ­ n y m tylko stopniu.

P ro b le m nieostrości, ja k to było ju ż sygnalizow ane, wiąże się ściśle z zagadnieniem logik nieklaeycznych. D la ilu stra c ji w spom nim y tu o pew n y ch p racach pośw ięconych now szym koncepcjom i ich zastosow aniom .

J a k pam iętam y, zbiory ro zm yte spow odow ały eksplozję różnych koncepcji „ro zm y ty ch ”. A więc, w szczególności, m ó­ w i się rów nież o logikach rozm ytych, teo riach rozm ytych, au to m a ta c h ro zm y ty ch itd. O statnio logika ro zm yta je s t w y ­ korzystyw ana do zagadnienia rozpoznaw ania pism a ręczn e­ go 1Э. Nie trz e b a dodaw ać, że p ro b lem je s t in te re su ją c y nie tylko naukow o, ale rów nież filozoficznie. Ma także w ydźw ięk św iatopoglądow y. A sp ek t p ra k ty c z n y jego n ie budzi w ą tp li­ wości. Z n a jd u je b ezpośrednie zastosow anie p rzy budow ie urządzeń w ejściow ych do m aszy ny liczącej.

O znaczm y tera z ryzyko zw iązane z p rzyjęciem zdania F sym bolem #F #. Jeżeli p ew ien podm iot u z n a je zdanie F za praw dziw e, to znakow ać to będziem y sym bolem # F. Można w y k a z a ć 14, że istn ie je d o kład n ie jed n a fu n k cja , k tó ra p rz y ­ po rząd k o w u je każdem u zdaniu F w artość ry zy k a #F # i speł­ n iająca n a stę p u jąc e w aru n k i: 1) o ^ #f# <; 1 2) # F i G # = s u p { # F # , #G #} 3) #F lu b G # — in f{ # F # , #G #} 4) # F im p lik u je G # = sup{0, #G # — #F # } 5) # n ie F # = 1 — # F # 6) # d la każdego x F (x )# = su p #F(a)# 7) # d la pew nego x F(x)# = in f #F(a)# 8) ( # F) w te d y i tylko, gdy (#F # = 0)

13 P e p e Siy, C. S. C h e n : F u z z y lo g ic fo r h a n d w r it te n n u m e r a l c h a ­

ra c te r re c o g n itio n , IE E E T ra n s a c tio n s o n S y s te m s , M a n , a n d C y b e r n e ­ tic s, 1974, 570— 575.

14 R. G ile s : L u k a s ie w ic z logic a n d f u z z y s e t th e o r y , ” Irrt. J . M a n - -M ao h . S tu d ” . 8 (1976), 313— 327.

9) Zdanie m oże być b ra n e pod uw agę w ted y i tylko, gdy w artość jego ry zy k a je s t niedodatnia.

W rozw ażanym p rzy p ad k u m am y do czynienia ze zdaniam i rozm ytym i. F u n k c ja ry zyk a # F # d aje in te rp re ta c ję w odnie­ sieniu do logiki nieskończenie w ielow artościow ej Ł ukasiew i- cza.

N asuw a się p ro sta konkluzja: koncepcja „rozm ytości” o tw iera przed m yślą badaw czą szerokie hory zon ty i w dzięcz­ ne pole do tw órczej pracy.

Unscharfe Namen und Fuzzy-Mengenlehre

(Z u s s a m e n fa s s u n g ) M a n s p r ic h t in B ezu g a u f d ie u n s c h a r f e n N a m e n v o n d ie s e n U n ­ s c h a r f e b e re ic h en. J e d e r so lc h e r B e re ic h is t v o n d ie s e n O b je k te n g e ­ b ild e t ü b e r d e n e n (g em äss d e m a u f g e tro ff e n e n S p ra c h g e b r a u c h o d e r d e r K o n v e n tio n ) k a n n m a n w e d e r d a ss s ie d ie B eizeichneten d e s g e ­ g e b e n e n N a m e n s sin d , n o c h d a s s s ie so lc h e n ic h t s in d , u r te ile n . W e r d e r M e in u n g is t, g e m ä s s w e lc h e r b e lie b ig e E n g e n s c h a ft e in ig e n O b je k ­ te n e n tw e d e r z u k o m m e n , o d e r n ic h t z u k o m m e n k a n n , d e r m ö g e d e n U n s c h ä rfe b e r e ic h d e s N a m e n s s in n v o ll m a c h e n n u r d u r c h d a s F a s s e n d e s E n ts c h lu s s e s , d e r e n ts c h e id e n e r l a u b t w e lc n e O b je k te d ie B e z e ic h ­ n e t en d es N a m e n s s in d u n d w e lc h e s ie n ic h t sin d . S o lc h e r E n ts c h lu s s d o ch a b e r im e rh e b lic h e n G ra d e a p rio ris c h is t. W e d e r d ie R e a litä t, n o c h d ie W is s e n s c h a ft f o r d e r n u n d a u c h b r a u c h e n so lc h e L ö su n g des U n s c h ä rfe p ro b le m s . E s s c h e in t w ü n s c h e n s w e rt d e r M e in u n g se in , d ie d e n O b je k te n d e n B e s itz ir g e n d e in e r E ig e n s c h a ft n u r im g e w isse n G ra d e z u s c h r e ib e n e r la u b t. Diesier G e d a n k e e rm ö g lic h t d e n U n s c h ä r­ fe b e r e ic h d e s N a m e n s s in n v o ll m a c h e n . D ie K o n z e p tio n v o n F u z z y - -M e n g e n im S in n e v o n L . A. Z a d e h k a n n d ie f o r m a le A p p a r a tu r zu d ie s e n B e m ü h u n g e n w e rd e n . I m A u fa s a tz b e s p r ic h t m a n d ie G r u n d ­ e le m e n te d e r F u zizy -M en g en leh re, zeig t m a n a u c h d ie M ö g lic h k e it d e r A n w e n d u n g d ie s e r K o n z e p tio n z u r F r a g e d ie U s c h ä rfe b e r e ic h e d e r N a m e n s in n v o ll z u m a c h e n , s ig n a lis ie r t m a n n o c h d ie V e rb in d u n g d e r e r w ä g te n P ro b le m e m it d e r F r a g e d e r n ic h tk la s s is c h e n L o g ik e n . Es sc h e in t, d a ss d ie U n s c h ä rfe d e r N a m e n e in e E ig e n s c h a ft u n s e r e r S ra c h e is t, w e lc h e g r e if t z u d e n G rü n d e n d e r R e a li tä t u n d u n s e r e s E r k e n n t­ n is se s u n d d r ü c k t in g e m ä s se m G ra d e d ie „ S t r u k t u r ” d e s e r s te n u n d so w o h l d es z w e ite n E le m e n ts aus.