Podlaski Konkurs Matematyczny - 2004 Klasy Pierwsze

Podlaski Konkurs Matematyczny - 2004 Klasy Pierwsze

Rozwi azania zada´

n konkursowych 22 maja 2004 r.

1. Wykaza´c, ˙ze je´sli dodatnie liczby a, b, c sa d lugo´sciami bok´_, ow pewnego tr´ojkata, to_, a

bc + b ac > c

2ab. Rozwiazanie_,

Dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b zachodzi nier´owno´s´c a²+ b² > 2ab. Ponadto, zgodnie z za lo˙zeniami a + b − c > 0. Wykorzystujac kolejno te nier´_, owno´sci otrzymujemy:

a bc + b

ac − c

2ab = 2(a²+ b²) − c²

2abc = (a²+ b²) + (a²+ b²) − c² 2abc

> a²+ b²+ 2ab − c²

2abc = (a + b)²− c² 2abc

= (a + b + c)(a + b − c) 2abc > 0,

co ko´nczy dow´od. 

2. Wyznaczy´c wszystkie pary (x, y) nieujemnych liczb ca lkowitych spe lniajacych r´_, ownanie

√x +√ y =√

810.

Rozwiazanie_,

Rozwa˙zane r´ownanie mo˙zna zapisa´c w postaci√

x = 9√ 10−√

y. Zatem x = (9√ 10−√

y)² = 810 + y − 18√

10y. Z ostatniej r´owno´sci wynika, ˙ze je´sli x, y sa liczbami ca lkowitymi, to_, √ 10y jest nieujemna liczb_, a ca lkowit_, a, czyli 10y = a_, ², dla pewnej nieujemnej liczby ca lkowitej a.

Zauwa˙zmy, ˙ze liczba a musi by´c podzielna przez 2 i 5, a wiec istnieje nieujemna liczba_, ca lkowita l taka, ˙ze a = 10l. Mamy zatem y = 10l². Analogicznie dowodzimy, ˙ze x = 10k² dla pewnej nieujemnej liczby ca lkowitej k. Uzgledniaj_, ac to w r´_, ownaniu otrzymujemy

√

10k²+√

10l² = 9√

10, czyli

k + l = 9, gdzie k, l > 0.

Stad wida´_, c, ˙ze szukane pary (x, y) musza mie´_, c posta´c (10k², 10(9−k)²), gdzie k = 0, 1, . . . , 9.

Z drugiej strony przez bezpo´srednie podstawienie sprawdzamy, ˙ze znalezione pary spe lniaja_,

rozwa˙zane r´ownanie. 

3. W tr´ojkacie ABC boki AC i BC s_, a r´_, ownej d lugo´sci. Jaki zbi´or tworza ´srodki wszystkich_, odcink´ow KL takich, ˙ze

K ∈ AC, L ∈ BC oraz AK = LC?

Odpowied´z uzasadni´c.

1

2

Rozwiazanie_,

Rozwa˙zmy dowolne punkty K ∈ AC i L ∈ BC takie, ˙ze AK = LC oraz punkty N ∈ AC, M ∈ BC takie, ˙ze odcinki KM i N L sa r´_, ownoleg le do podstawy AB. Niech ponadto P R bedzie od-_, cinkiem lacz_, acym ´srodki ramion tr´_, ojkata ABC._, Udowodnimy, ˙ze poszukiwanem zbiorem punkt´ow jest odcinek P R. Poniewa˙z AK = N C, punkt P jest ´srodkiem odcinka KN . Z twierdzenia Talesa wynika, ˙ze punkt S - przeciecia odcink´_, ow KL i P R jest ´srodkiem odcinka KL. Tak wiec_,

´srodek odcinka KL le˙zy na odcinku P R. Nale˙zy jeszcze wykaza´c, ˙ze ka˙zdy punkt S odcinka P R jest

´srodkiem pewnego odcinka KL.

W tym celu wystarczy wyznaczy´c na podstawie AB punkt D - przeciecia prostej CS z_, podstawa, a nast_, epnie zbudowa´_, c r´ownoleg lobok DKCL. Punkt S jest wtedy ´srodkiem od- cinka KL jako punkt przeciecia przek_, atnych r´_, ownoleg loboku DKCL. Ostatecznie szukanym

zbiorem punkt´ow jest odcinek P R. 

4. Na konkurs matematyczny przyby lo n uczni´ow (n > 4). Okaza lo sie, ˙ze ka˙zdy z uczni´, ow ma co najwy˙zej trzech znajomych w´sr´od pozosta lych uczestnik´ow. Wykaza´c, ˙ze uczestnik´ow konkursu mo˙zna rozmie´sci´c w dw´och salach tak, aby ka˙zda osoba mia la w swojej sali co najwy˙zej jednego znajomego.

Uwaga. Zak ladamy, ˙ze je´sli osoba A zna osobe B, to osoba B zna osob_, e A._, Rozwiazanie_,

Dowolnemu rozmieszczeniu R grupy z lo˙zonej z n uczni´ow (w dw´och salach) przyporzadkujmy_, liczbe N_, R, kt´ora jest suma ilo´sci par uczni´_, ow znajacych si_, e w pierwszej sali oraz ilo´sci par_, uczni´ow znajacych si_, e w drugiej sali. W´sr´_, od wszystkich rozmieszcze´n wybierzmy takie dla kt´orego liczba NR jest mo˙zliwie najmniejsza. Nazwijmy je rozmieszczeniem R₀. Udowod- nimy, ˙ze R₀ spe lnia warunki zadania. Przypu´s´cmy, ˙ze w jednej z sal (powiedzmy w pier- wszej) jest ucze´n A majacy przynajmniej dw´_, och r´o˙znych znajomych B i C. Rozwa˙zmy nowe rozmieszczenie R₁ polegajace na przemieszczeniu ucznia A do drugiej sali i pozostawieniu_, reszty uczni´ow w tych samych salach co w rozmieszczeniu R₀. Wtedy liczba par uczni´ow znajacych si_, e w pierwszej sali zmniejsza si_, e o 2 (ubywaj_, a pary: (A, B) i (A, C)), za´s w drugiej_, sali liczba par uczni´ow znajacych si_, e wzrasta maksymalnie o 1 (o ile w drugiej sali jest zna-_, jomy ucznia A). Stad wynika, ˙ze N_{, R1} 6 N^R0 − 1, co przeczy wyborowi rozmieszczenia R₀. Uzyskana sprzeczno´s´c dowodzi, ˙ze rozmieszczenie R₀ spe lnia warunki zadania.  [pg]