Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy pierwsze 14 maja 2005 r.
1. Wyznaczy´c wszystkie takie ciagi (x, y, z) trzech liczb rzeczywistych, ˙ze ka˙zdy wyraz ci, agu, jest r´owny kwadratowi r´o˙znicy dw´och pozosta lych wyraz´ow.
2. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n cze´s´, c ca lkowita liczby n2+ n
3 jest parzysta.
3. W r´ownoleg loboku ABCD punkt E jest ´srodkiem boku CD, a F jest takim punktem le˙zacym na boku AB, ˙ze |AF | : |F B| = 3 : 1. Wykaza´, c, ˙ze |AF | = |EF | wtedy i tylko wtedy, gdy proste AE i BD sa prostopad le.,
4. Zbi´or A sk lada sie z sze´sciu liczb naturalnych, w´sr´, od kt´orych nie ma trzech liczb parami wzglednie pierwszych. Udowodni´, c, ˙ze A zawiera trzy liczby, spo´sr´od kt´orych ka˙zde dwie maja wsp´, olny dzielnik wiekszy od 1. Czy mo˙zna twierdzi´, c, ˙ze A zawiera trzy liczby majace, wsp´olny dzielnik wiekszy od 1 ?,
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy zamieszcza´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow i telefon´ow kom´orkowych.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 18 maja 2005r.
1
