Podlaski Konkurs Matematyczny - 2005 Klasy drugie

Podlaski Konkurs Matematyczny - 2005 Klasy drugie

Rozwi azania zada´

n konkursowych 14 maja 2005 r.

1. Niech {an} bedzie ci_, agiem okre´slonym wzorem_, a_n= 1 + 1

n(n + 2) , dla n > 1.

Niech A bedzie zbiorem wszystkich mo˙zliwych iloczyn´_, ow r´o˙znych wyraz´ow tego ciagu. Czy_, zbi´or A jest ograniczony z g´ory? Odpowied´z uzasadni´c.

Rozwiazanie_,

Rozwa˙zmy dowolna liczb_, e a ∈ A. Niech 1 6 n_, 1 < n₂ < · · · < n_k = m bed_, a takie, ˙ze_, a = a_n1 · a_n2 · . . . · a_nk.

Poniewa˙z a_j > 1 dla j > 1 oraz

a_j = j²+ 2j + 1

j(j + 2) = (j + 1)² j(j + 2), wiec_,

a 6 a¹· a2 · . . . · am = 2² 1 · 3· 3²

2 · 4· . . . · (m + 1)² m · (m + 2)

= 2 · [(m + 1)!]²

m! · (m + 2)! = 2(m + 1) m + 2 < 2.

Zbi´or A jest zatem ograniczony z g´ory liczba 2._, 

2. Wykaza´c, ˙ze je´sli p₁, p₂, . . . , p₅₆ sa liczbami pierwszymi wi_, ekszymi od 7, to liczba_, p₁⁶+ p₂⁶+ · · · + p₅₆⁶

jest podzielna przez 56.

Rozwiazanie_,

Zauwa˙zmy, ˙ze dla dowolnej liczby p:

p⁶− 1 = (p³− 1)(p³ + 1) = (p − 1)(p + 1)(p²+ p + 1)(p²− p + 1).

Je´sli p jest liczba nieparzyst_, a, to p − 1 i p + 1 s_, a kolejnymi liczbami parzystymi, a wi_, ec ich_, iloczyn jest podzielny przez 8. W szczeg´olno´sci, 8 | p⁶ − 1 dla dowolnej liczby nieparzystej p. Zabadajmy teraz podzielno´s´c p⁶− 1 przez 7. Niech p bedzie liczb_, a niepodzieln_, a przez 7,_, tzn. p = 7k + r, gdzie r ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Zauwa˙zmy, ˙ze kolejno dla r = 1, 2, 3, 4, 5, 6 przez 7 podzielne sa liczby: p − 1, p_, ²+ p + 1, p²− p + 1, p² + p + 1, p²− p + 1, p + 1. Tak wiec,_, 7 | p⁶−1 dla dowolnej liczby p niepodzielnej przez 7. W konsekwencji 56 | p⁶−1 dla dowolnej nieparzystej i niepodzielnej przez 7 liczby p. Stad wnosimy, ˙ze je´sli liczby p_{, 1}, p₂, . . . , p₅₆ sa_, pierwsze i wieksze od 7, to liczba_,

p₁⁶+ p₂⁶+ · · · + p₅₆⁶ = (p₁⁶− 1) + (p₂⁶− 1) + · · · + (p₅₆⁶ − 1) + 56 jest podzielna przez 56.



1

2

3. Dany jest czworokat wypuk ly ABCD, kt´_, orego wierzcho lki nale˙za do pewnego okr_, egu_, i |BC| = |CD|. Niech |AB| = x, |AD| = y, |AC| = z. Udowodni´c, ˙ze

z > x + y 2

oraz wyznaczy´c pole tego czworokata w zale˙zno´sci od x, y i z._, Rozwiazanie_,

I spos´ob

Niech E bedzie punktem prostej AB, le˙z_, acym na_, zewnatrz czworok_, ata ABCD takim, ˙ze |BE| =_,

|AD| = y. Zauwa˙zmy, ˙ze ]EBC = 180^◦ − ]ABC = ]ADC. Poniewa˙z |BE| = |AD| i

|BC| = |CD|, tr´ojkaty EBC i ACD s_, a przys-_, tajace._, W szczeg´olno´sci mamy |AC| = |CE|.

Niech H bedzie teraz spodkiem wysoko´sci tr´_, ojkata_, r´ownoramiennego AEC opuszczonej z wierzcho lka C. Zauwa˙zmy, ˙ze AC jest przeciwprostokatn_, a w_, tr´ojkacie prostok_, atnym ACH oraz |AH| = (x +_, y)/2. Tak wiec_,

z > x + y 2 .

Z przystawania tr´ojkat´_, ow EBC i ACD wynika, ˙ze pola czworokata ABCD i tr´_, ojkata AEC s_, a sobie_, r´owne. Z latwo´scia stwierdzamy, ˙ze pole tr´_, ojkata_, AEC wynosi:

x + y 2

s

z²− x + y 2

2

= 1

2(x+y)z s

1 − x + y 2z

2

.

II spos´ob

Katy ]CAD i ]CAB oparte s_, a na lukach r´_, ownej d lugo´sci, wiec s_, a r´_, owne. Oznaczmy ich miare przez α oraz niech |BC| = |CD| = a. Z twierdzenia cosinus´_, ow zastosowanego do tr´ojkat´ow ABC i ACD wynikaja r´_, owno´sci:

a² = x²+ z² − 2xz cos α a² = y²+ z²− 2yz cos α.

Odejmujac je stronami otrzymamy r´_, owno´s´c:

(x − y)(x + y − 2z cos α) = 0,

z kt´orej wynika, ˙ze z cos α = (x + y)/2 lub x = y. Poniewa˙z α < 90^◦, wiec cos α < 1_, i tym samym w pierwszym przypadku otrzymujemy z > z cos α = (x + y)/2. Je´sli natomiast x = y, to tr´ojkaty ABC i ADC s_, a przystaj_, ace, co z kolei oznacza, ˙ze AC jest ´srednic_, a okr_, egu_, opisanego na czworokacie ABCD. St_, ad oczywi´scie wynika, ˙ze z > x = (x + y)/2._,

Pole czworokata ABCD jest sum_, a p´_, ol tr´ojkat´ow ABC i ACD, tzn.

1

2xz sin α + 1

2yz sin α = 1

2(x + y)z√

1 − cos²α = 1

2(x + y)z s

1 − x + y 2z

2



3

4. W ka˙zde pole kwadratowej tablicy 8 × 8 wpisano po jednej liczbie w taki spos´ob, ˙ze w ka˙zdym wierszu i w ka˙zdej kolumnie wpisane liczby tworza ci_, agi arytmetyczne. Suma_, liczb wpisanych w cztery naro˙zne pola tablicy jest r´owna S. Wyznaczy´c sume wszystkich_, wpisanych liczb.

Rozwiazanie_,

Ponumerujmy kolejne wiersze i kolumny tablicy liczbami 1, 2, . . . , 8, a nastepnie oznaczmy_, przez a_ij liczbe wpisan_, a w pozycji (i, j). Zauwa˙zmy, ˙ze dla liczb wpisanych w i-tym wierszu_, zachodza r´_, owno´sci:

a_i1+ a_i8 = a_i2+ a_i7= a_i3+ a_i6 = a_i4+ a_i5.

Suma liczb i-tego wiersza wynosi zatem 4 · (ai1+ ai8). Analogicznie, suma liczb j-tej kolumny jest r´owna 4 · (a_1j + a_8j). Tym samym suma S wszystkich liczb tablicy jest r´owna:

S = 4 · [(a₁₁+ a₁₈) + (a₂₁+ a₂₈) + (a₃₁+ a₃₈) + (a₄₁+ a₄₈) + (a₅₁+ a₅₈) + (a₆₁+ a₆₈) + (a₇₁+ a₇₈) + (a₈₁+ a₈₈)]

= 4 · (a₁₁+ a₂₁+ · · · + a₈₁) + 4 · (a₁₈+ a₂₈+ · · · + a₈₈)

= 16 · (a11+ a81) + 16 · (a18+ a88) = 16S.