Podlaski Konkurs Matematyczny - 2005 Klasy pierwsze

Podlaski Konkurs Matematyczny - 2005 Klasy pierwsze

Rozwi azania zada´

n konkursowych 14 maja 2005 r.

1. Wyznaczy´c wszystkie takie ciagi (x, y, z) trzech liczb rzeczywistych, ˙ze ka˙zdy wyraz ci_, agu_, jest r´owny kwadratowi r´o˙znicy dw´och pozosta lych wyraz´ow.

Rozwiazanie_,

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli ciag (x, y, z) spe lnia warunki zadania, to te warunki spe lniaj_, a r´_, ownie˙z wszystkie ciagi powsta le z (x, y, z) przez dowolne przestawienie wyraz´_, ow. Wystarczy zatem wyznaczy´c takie ciagi, ˙ze x 6 y 6 z. Z za lo˙ze´n wynika, ˙ze poszukiwane liczby x, y, z musz_, a_, by´c nieujemne. Mamy r´ownie˙z

y = (x − z)² i z = (x − y)², czyli z − y = (x − y)²− (x − z)² = (z − y)(2x − y − z). Tak wiec_,

(z − y)(2x − y − z − 1) = 0.

Z za lo˙ze´n wynika, ˙ze 2x − y − z − 1 6 −1, a wiec y = z oraz x = (y − z)_, ² = 0. Z powy˙zszych r´owno´sci wnosimy tak˙ze, ˙ze z = y² i y = z². Tak wiec y = y_, ², z = z², a w konsekwencji y = z = 0 lub y = z = 1. Ostatecznie warunki zadania spe lniaja cztery ci_, agi: (0, 0, 0),_,

(0, 1, 1), (1, 0, 1) i (1, 1, 0). 

2. Udowodni´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej n cze´s´_, c ca lkowita liczby n²+ n

3 jest parzysta.

Rozwiazanie_,

Niech [x] oznacza cze´s´_, c ca lkowita liczby x._, Liczbe n mo˙zna jednoznacznie przedstawi´_, c w postaci n = 3m + r, gdzie m jest liczba ca lkowit_, a, za´s r ∈ {0, 1, 2}. Mamy wi_, ec_,

 n²+ n 3



= (3m + r)²+ (3m + r) 3



= 9m²+ 6mr + 3m + r²+ r 3



=



3m²+ 2mr + m + r²+ r 3

 , czyli

 n²+ n 3



= 3m² + 2mr + m, je´sli r ∈ {0, 1}

3m² + 4m + m + 2, je´sli r = 2.

Poniewa˙z jednak 3m²+ m = 2m²+ m(m + 1) jest liczba parzyst_, a, z powy˙zszego wynika, ˙ze_, liczba

 n²+ n 3



jest parzysta. 

3. W r´ownoleg loboku ABCD punkt E jest ´srodkiem boku CD, a F jest takim punktem le˙zacym na boku AB, ˙ze |AF | : |F B| = 3 : 1. Wykaza´_, c, ˙ze |AF | = |EF | wtedy i tylko wtedy, gdy proste AE i BD sa prostopad le._,

1

2

Rozwiazanie_,

Niech K bedzie ´srodkiem boku BC, za´s L punk-_, tem przeciecia prostych EK i AB. Odcinek EK,_, jest r´ownoleg ly do przekatnej BD (jako odcinek_, lacz_, acy ´srodki ramion tr´_, ojkata BDC). Tak wi_, ec_, EL k BD. Stad wynika, ˙ze_,

|BL| = |ED| = 1 2|AB|, czyli |AF | = |F L|.

Je´sli BD ⊥ AE, to ]AEL = 90^◦. Punkt F jest ´srodkiem przeciwprostokatnej tr´_, ojkata prosto-_, katnego AEL, a wi_, ec ´srodkiem okr_, egu opisanego_, na tym tr´ojkacie._, Tym samym |AF | = |EF |.

Odwrotnie, je´sli |AF | = |EF | (= |F L|), to F jest

´srodkiem okregu opisanego na tr´_, ojkacie AEL, za´s_, AL jest ´srednica tego okr_, egu. Tak wi_, ec, ]AOB =_, ]AEL = 90^◦.

 4. Zbi´or A sk lada sie z sze´sciu liczb naturalnych, w´sr´_, od kt´orych nie ma trzech liczb parami wzglednie pierwszych. Udowodni´_, c, ˙ze A zawiera trzy liczby, spo´sr´od kt´orych ka˙zde dwie maja wsp´_, olny dzielnik wiekszy od 1. Czy mo˙zna twierdzi´_, c, ˙ze A zawiera trzy liczby majace_, wsp´olny dzielnik wiekszy od 1 ?_,

Rozwiazanie [Por. Zadania Przygotowawcze - zadanie 10]._, Niech A = {a, b, c, d, e, f }. Na p laszy´znie zaz-

naczmy sze´s´c punkt´ow (moga to by´_, c np. wierz- cho lki sze´sciokata foremnego), a nast_, epnie punkty_, te oznaczmy liczbami ze zbioru A. Po laczmy_, punkty odcinkami czerwonym lub niebieskim, przy czym stosujemy kolor czerwony - je´sli liczby odpowiadajace l_, aczonym punktom s_, a wzgl_, ednie_, pierwsze, oraz kolor niebieski - je´sli te liczby nie sa_, wzglednie pierwsze. We´_, zmy pod uwage dowolny_, punkt - oznaczony np. liczba a. Spo´sr´_, od pieciu_, odcink´ow wychodzacych z a, przynajmniej trzy s_, a_, tego samego koloru. Powiedzmy, ˙ze ab, ac i ae sa czerwone. Wtedy ˙zaden z odcink´_, ow lacz_, acych_, wzajemnie b, c, i e nie mo˙ze by´c czerwony (bo mieliby´smy tr´ojke liczb parami wzgl_, ednie pier-_, wszych).

Wszystkie odcinki lacz_, ace wzajemnie b, c, i e s_, a zatem niebieskie, a wi_, ec liczby b, c, i e_, spe lniaja warunki zadania. Je´sli za´s odcinki ab, ac i ae s_, a niebieskie, to zgodnie z za lo˙zeniami_, zadania przynajmniej jeden z trzech odcink´ow lacz_, acych wzajemnie b, c, i e musi by´_, c niebieski.

Liczby odpowiadajace jego ko´_, ncom wraz z liczba a stanowi_, a poszukiwan_, a tr´_, ojke liczb._, Z latwo´scia sprawdzamy, ˙ze zbi´_, or A = {2 · 3, 2 · 5, 3 · 5} ∪ {7 · 11, 7 · 13, 11 · 13} spe lnia za lo˙zenia zadania i nie ma w nim tr´ojki liczb majacych wsp´_, olny dzielnik wiekszy od 1._,