Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy pierwsze 22 maja 2004 r.
1. Wykaza´c, ˙ze je´sli dodatnie liczby a, b, c sa d lugo´sciami bok´, ow pewnego tr´ojkata, to, a
bc + b ac > c
2ab.
2. Wyznaczy´c wszystkie pary (x, y) nieujemnych liczb ca lkowitych spe lniajacych r´, ownanie
√x +√ y =√
810.
3. W tr´ojkacie ABC boki AC i BC s, a r´, ownej d lugo´sci. Jaki zbi´or tworza ´srodki wszystkich, odcink´ow KL takich, ˙ze
K ∈ AC, L ∈ BC oraz AK = LC?
Odpowied´z uzasadni´c.
4. Na konkurs matematyczny przyby lo n uczni´ow (n > 4). Okaza lo sie, ˙ze ka˙zdy z uczni´, ow ma co najwy˙zej trzech znajomych w´sr´od pozosta lych uczestnik´ow. Wykaza´c, ˙ze uczestnik´ow konkursu mo˙zna rozmie´sci´c w dw´och salach tak, aby ka˙zda osoba mia la w swojej sali co najwy˙zej jednego znajomego.
Uwaga. Zak ladamy, ˙ze je´sli osoba A zna osobe B, to osoba B zna osob, e A.,
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 26 maja 2004r.
1
