Podlaski Konkurs Matematyczny
Zadania konkursowe - klasy drugie 22 maja 2004 r.
1. Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby ca lkowitej n liczba n2+ 5n + 1 nie jest podzielna przez 49.
2. Liczby rzeczywiste a, b, c sa pierwiastkami wielomianu x, 3+ px2+ qx + 2 o wsp´o lczynnikach ca lkowitych. Niech
A = 1 bc + 1
ac+ 1
ab, B = a bc + b
ac+ c
ab oraz C = a2 bc + b2
ac + c2 ab. Wykaza´c, ˙ze je´sli A jest liczba ca lkowit, a, to r´, ownie˙z liczby B i C sa ca lkowite.,
3. W tr´ojkacie r´, ownobocznym ABC poprowadzono prosta r´, ownoleg la do boku AB, przeci-, najac, a boki BC i AC odpowiednio w punktach K i L. Nast, epnie wybrano ´srodek M odcinka, AK oraz ´srodek cie˙zko´sci S tr´, ojkata KCL. Wykaza´, c, ˙ze kat ]BM S jest prosty.,
4. Niech n > 1 bedzie liczb, a naturaln, a. Dla dowolnego niepustego podzbioru X zbioru, {1, 2, . . . , n} oznaczmy przez m(X) sume najmniejszej liczby nale˙z, acej do X i najwi, ekszej, liczby nale˙zacej do X. Niech S b, edzie sum, a wszystkich liczb m(X), gdzie X ⊆ {1, 2, . . . , n}, (tzn. X przebiega wszystkie niepuste podzbiory zbioru {1, 2, . . . , n}). Wykaza´c, ˙ze liczba S jest podzielna przez n + 1.
Uwaga. Je´sli X = {k} jest podzbiorem jednoelementowym, to przyjmujemy, ˙ze k jest zar´owno najmniejsza jak i najwi, eksz, a liczb, a w X, czyli m(X) = 2k.,
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania zada´, n nale˙zy przepisa´c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 26 maja 2004r.
1
