Konkurs Matematyczny Klas Pierwszych
Zadania konkursowe 31 maja 2003 r.
1. W czworokacie ABCD boki AB i CD s, a r´, ownoleg le oraz wiadomo, ˙ze AB = AC = AD = a i BC = b.
Wyznaczy´c d lugo´s´c przekatnej BD.,
2. Wyznaczy´c wszystkie liczby ca lkowite m dla kt´orych liczba m4+ m2− 2 jest podzielna przez 9.
3. Niech a, b bed, a liczbami dodatnimi. Wykaza´, c, ˙ze nier´owno´s´c ax + by
2 ≤
rax2+ by2 2
zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y wtedy i tylko wtedy, gdy a + b ≤ 2.
4. Mieszka´ncy pewnej matematycznej krainy pos luguja si, e walut, a o nazwie MAT. W obiegu, sa banknoty o nominale 100 MAT ´, OW oraz monety o pie´,cdziesieciu r´, o˙znych nomina lach:
n1, n2, . . . , n50 MAT ´OW, przy czym ni ∈ {1, 2, 3, . . . , 99} dla i = 1, 2, . . . , 50. Wykaza´c, ˙ze dla dowolnej liczby naturalnej k ≥ 100 kwota w wysoko´sci k MAT ´OW mo˙ze by´c wyp lacona przy pomocy co najwy˙zej dw´och monet i pewnej ilo´sci banknot´ow 100 MATOWYCH.
Informacje dla uczestnika konkursu 1. Czas trwania konkursu: 240 minut (4 godziny).
2. Przed rozpoczeciem rozwi, azywania nale˙zy przepisa´, c tekst ka˙zdego zadania na oddzielnym arkuszu.
3. Nale˙zy pisa´c wy lacznie na papierze dostarczonym przez organizator´, ow. Na jednym arkuszu nie nale˙zy pisa´c rozwiaza´, n r´o˙znych zada´n.
4. W czasie zawod´ow nie wolno korzysta´c z kalkulator´ow.
5. Lista nagrodzonych w konkursie zostanie og loszona na stronie internetowej http://www.ptm.pb.bialystok.pl w dniu 1 czerwca 2003r.
1
