Równania różniczkowe rzędu pierwszego

Wydział WILiŚ, Budownictwo i Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska

Równania różniczkowe rzędu pierwszego

Zad.1 Rozwiąż równanie o zmiennych rozdzielonych:

1.1 y⁰ = e^3x+2y 1.2 y⁰ = 2x(y − 3) 1.3 y⁰ = ^y−1_x2 1.4 y⁰ = _x(y−3)^4y 1.5 y⁰ = √

xy 1.6 y⁰ = xp

1 − y² 1.7 y⁰ = ^3y_x 1.8 x²y⁰ = y²+ 4 1.9 y⁰+ ytg x = y 1.10 xy dx + √

1 − x²dy = 0 1.11 (1 + y) dx = (1 − x) dy 1.12 e^ydx + x²(2 + e^y) dy = 0

Zad.2 Rozwiąż równanie jednorodne:

2.1 y⁰ = _y−4x^2y 2.2 y⁰ = ^y+

√

x²+y² x

2.3 xy⁰ = y + ctg ^y_x 2.4 x²y⁰ = xy + 4x²+ 4y² 2.5 y(ln y − ln x) dx = x dy 2.6 xy⁰− y = (x + y) ln^x+y_x

Zad.3 Rozwiąż równanie postaci y⁰ = f (ax + by + c):

3.1 y⁰ = sin²(x + y) 3.2 y⁰ = (y − x)⁴ 3.3 y⁰ = cos(3x + 5y) 3.4 y⁰ = √

4y − x 3.5 y⁰ = _y+x−1¹ 3.6 y⁰ = (4x + y)⁻²

Zad.4 Rozwiąż zagadnienie początkowe Cauchy’ego:

4.1 y⁰ = ^2y+2_2−x, y(0) = 1 4.2 y⁰ = ^y_x²2⁻¹−1, y(2) = 2 4.3 y⁰√

x = (x + 1)√

y, y(9) = 4 4.4 y = y⁰ cos²x ln y, y(π) = 1 4.5 y⁰ sin x = y ln y, y ^π₂
= 1 4.6 (1 + y²) dx = xy dy, y(1) = 0 4.7 sin x cos 2y dx + cos x sin 2y dy = 0, y(0) = ^π₂ 4.8 x y⁰ = 3y + 2x, y(1) = 0 4.9 y − xy⁰ = _cos^xy

x

, y(1) = π 4.10 y⁰ = ^x+y_x−y, y(1) = 1

4.11 y⁰ = (y + 4x)⁻², y(1) = 4 4.12 x y⁰ = y(ln y − ln x), y(1) = e³

Zad.5 Rozwiąż równanie liniowe:

5.1 y⁰+_x¹y = x² 5.2 y⁰+ 3y = 15x²+ 4x + 4 5.3 y⁰+ 2xy = 2x 5.4 y⁰+ 3y = e^7x

5.5 y⁰+ 2xy = xe^−x2 5.6 y⁰+_1+x^xy2 = _x(1+x¹ 2)

5.7 x²y⁰− y = x²e^x−1x 5.8 y⁰+ y cos x = ¹₂sin 2x 5.9 y⁰+ y sin x = xe^{cos x} 5.10 y⁰− 4y = (2x²+ 1)e^4x 5.11 y⁰+ yctg x = sin²x 5.12 x(x − 1) y⁰+ y = x² 5.13 xy⁰− 2y = x³sin x 5.14 xy⁰− 2y = 3x

5.15 y⁰− 2xy = x − x³ 5.16 y⁰+ 2y = x²e^x+ sin 2x

Zad.6 Rozwiąż zagadnienie początkowe Cauchy’ego:

6.1 y⁰+_x²y = x, y(−1) = 1 6.2 y⁰+ y = e^−x, y(0) = −2 6.3 y⁰− 4y = 3 sin 2x, y(0) = −1 6.4 y⁰+^y_x = e^x, y(1) = 1 6.5 y⁰+ 2xy = 2x³, y (0) = 1 6.6 y⁰+ y = 2xe^−x, y(1) = 2 6.7 y⁰+_x²y = _x⁴, y(1) = 6 6.8 y⁰+^y_x = 2 ln x + 1, y(1) = 0 6.9 y⁰+ yctg x = 2 cos x, y ^π₂
= 3 6.10 y⁰+^x+1_x y = 3xe^−x, y(1) = 0 6.11 y⁰+ ytg x = cos²x, y ^π₄
= ¹₂ 6.12 x y⁰− y = x²+ x, y(1) = 2