Seria: M E C H A N IK A z. 115 N r kol. 1230
B ogdan W IL C Z Y Ń SK I W ydział M echaniczny
W yższa Szkoła Inżynierska w K oszalinie
O P T Y M A L IZ A C JA K SZT A ŁT Ó W IN T E R A K T Y W N Y C H K A R B Ó W
Streszczenie. W artykule rozw aża się p roblem jed n o cz esn eg o doboru optym alnych kształtów karbu zasadniczego i karbów odciążających (karby interaktyw ne). C elem jest m inim alizacja n ap rężeń w takich karbach. D o opisu kształtu brzegu karbu wykorzystuje się krzywe B eziera. E lem enty konstrukcji analizuje się m eto d ą n ap rężeń fikcyjnych. Z ad an ie optym alizacji rozw iązuje się m e to d ą sekw encyjnego program ow ania liniowego.
S H A P E O P T IM IZ A T IO N O F IN T E R A C T IN G N O T C H E S
Sum m ary. T his p a p e r is concerned with th e sim ultaneous sh ap e optim ization o f th e principal and defence notches with th e object o f m inim izing stress co n cen tratio n . B ezier in terp o lan ts are ad o p ted to locate th e b oundary o f the notch. M echanical com ponents a re analysed w hen using th e Fictitious Stress M eth o d and th e optim ization p ro ced u re is the S equential L in ear P rogram m ing M ethod.
O n T H M H 3 A O ,H A <I>OPMH B3AH M 0Z[EHCTBYIÜ1U,HX KOH U.EHTPA - TOPO B H A IIP iD K E H H ft
P esD M e. B c r a m e paccMaTpnnaeTcn 3 a ü a u a oztuoupeMennoró DHÔopa oiTTHMaribHOił ą,opMM KOHTypon ocHOBHoro h oc:jia6jtnioüi,Hx KOHU.eTpaTopoB nanprmenHH H3 yctionnsi MHiitmyMa MaKCHMatibiiux nanpsiKeiiHH. YpaBiieiiHn <j>opMij KoiiTypa 3aiiHcuuacjTcn n UHZte KpHnux B e3epa. 3neMeHTH KOHcrpyKU.HH anajiH3Hpy(?Tcn motoæom ^ h k t h b h u x Hanpn>K0HHH. Zlnn pem ennn oriTHMHsau.HoiinoH 3a>ianH npmiHMaeTcn MOTOzt npHBeztenHii e e k nocrieaonaTetrbiiocTH 3a/tan jiHneftitoro nporpaMMHponaiiHU.
418 B. Wilczyński
1. W ST ĘP
O d sąd zen ia, rowki podłużne i poprzeczne, otwory, wycięcia, gwinty itp., zw ane krótko karbam i, pow odują redystrybucję nap rężeń i ich k o ncentrację [8]. K arby dzielim y między innymi na: a) karby pojedyncze, b) karby w ielokrotne [6,8]. W iadom o, że dla pewnych przypadków obciążenia współczynniki koncentracji n ap rężeń są m niejsze dla karbów w ielokrotnych niż dla karbu pojedynczego. W pracach [2,4,5,7,11] p o k azan o , że w prow adzenie dwóch mniejszych otw orów kołowych (karby odciążające [6]) po obu stronach kołow ego otw oru zasadniczego na kierunku głów nego stru m ien ia nap rężeń pow oduje redukcję n ap rężeń maksymalnych. Przykłady karbów odciążających p okazano na rvs. 1.
1 v ^ ' 1 ^ 1
i
4
— —R y s.l. Karby odciążające F ig.l. Defense notches
D o b ierając odpow iednie p roporcje wymiarów karbu odciążającego do karbu zasadniczego o raz odległość pom iędzy nimi uzyskuje się zm niejszenie w spółczynnika koncentracji n ap rężeń w granicach 13-22% [2,5,11]. Istnieje możliwość znacznego złagodzenia działania karbu pojedynczego przez d o b ó r optym alnego kształtu k arbu ze w zględu na m inim um n ap rężeń m aksymalnych [9,12]. B rak m iejsca nie pozw ala na cytow anie licznych p rac dotyczących tego problem u.
W artykule om aw ia się zagadnienie jednoczesnej optym alizacji kształtu brzegów:
karbu zasadniczego i karbów odciążających (karby interaktyw ne). C elem jest m inim alizacja n ap rężeń maksym alnych w takich karbach. Poniżej om aw ia się krótko podstaw ow e elem enty num erycznego algorytm u optym alizacji kształtu karbów interaktyw nych. Prezentow any algorytm zilustrow ano przykładem liczbowym optym alnego d o b o ru kształtu otw orów : zasadniczego i odciążających, w skończonym paśm ie tarczowym poddanym jednoosiow em u rozciąganiu na kierunku otw orów . W yniki obliczeń num erycznych porów nano z rozw iązaniem uzyskanym m eto d ą elastooptyczną dla klasy otw orów o konturze odcinkam i kołowym przedstaw ionym w pracy [10].
2. A L G O R Y T M O P T Y M A L IZ A C JI K SZT A ŁT U K A R B Ó W
P ro b lem jed n o czesn ej optym alizacji kształtu brzegów karbów interaktyw nych form ułow any je s t następująco: znaleźć taki kształt brzegu karbów (opisany w ektorem zm iennych decyzyjnych), dla którego funkcja kryterialna, efektyw ne nap rężen ie m aksym alne, osiąga w artość m inim alną. Poniew aż funkcja kryterialna jest nieróżniczkow alna, przez w prow adzenie dodatkow ej zm iennej decyzyjnej, pierw otny p roblem m in-m ax je st zam ieniany na zwykły problem poszukiw ania m inim um [9,12].
2.1. O pis kształtu brzegu
Z a k ła d a się, że poszukiw any profil brzegu karbu jest gładką krzywą (część brzegu k arb u m oże być odcinkiem prostoliniow ym ). D o opisu kształtu krzywoliniowej części brzegu w ykorzystuje się jednosegm entow y w ielom ian B eziera (krzywa B eziera) [3,12].
K ształt krzywej B eziera zależy od liczby punktów kontrolnych o ra z ich położenia.
Położenie niektórych punktów kontrolnych przyjęto ja k o zm ienne decyzyjne [12].
2.2. A naliza n ap rężeń
Pole n a p rę ż e ń w okół karbów oblicza się w ykorzystując m eto d ę elem entów skończonych lub m eto d ę elem entów brzegowych. Poniew aż m eto d a elem entów brzegowych je s t szczególnie przydatna do problem u koncentracji n ap rężeń , do w yznaczania n a p rę ż e ń optym alizow anych karbów wykorzystano pośredni w arian t m etody elem en tó w brzegow ych - m etodę nap rężeń fikcyjnych [1,12], Z uwagi na m ałą liczbę zm iennych decyzyjnych g rad ien t n ap rężeń w zględem tych zm iennych oblicza się m eto d ą różnic skończonych.
2.2. M e to d a optym alizacji
Sform ułow any powyżej p roblem optym alizacji kształtu karbów interaktyw nych m oże być rozw iązany iteracyjnie je d n ą z m etod program ow ania m atem atycznego. M ożna zauważyć, że funkcja kryterialna je st funkcją liniową, natom iast funkcje ograniczeń na n a p rę ż e n ia są funkcjam i nieliniowymi. L inearyzując w kolejnych iteracjach funkcje ograniczeń na nap rężen ia, zadanie optym alizacji rozw iązuje się m eto d ą sekw encyjnego p ro g ram o w an ia liniowego.
420 B. Wilczyński
3. P R Z Y K Ł A D L IC Z B O W Y
P oszukuje się optym alnego kształtu brzegów : otw oru (k arb u ) zasadniczego i otw orów odciążających w paśm ie tarczow ym rozciąganym w kierunku linii otw orów (rys.l.c).
Z pow odu sym etrii ro z p a tru je się ćw iartkę pasm a tarczow ego. B rzeg otw oru zasadniczego p o d zielo n o na 21 elem en tó w brzegow ych (elem enty o stałym n ap rężen iu ), a b rzeg otw oru odciążającego na 42 elem enty brzegow e. B rzeg zew nętrzny p asm a podzielono na 60 elem en tó w brzegow ych. O bliczenia w ykonano dla następujących w ymiarów p asm a [10]:
d/w = 0.222, l/w = 0.274, da/l = 0.68, gdzie: d je st w ym iarem otw oru zasadniczego, d a je s t w ym iarem otw oru odciążającego, 1 je st odległością pom iędzy średnicam i tych otw orów , a w je s t szerokością p asm a tarczow ego. C zęść krzywoliniową brzegów otw orów opisano pew ną m odyfikacją krzywej B eziera [3,12]. R ysunek 2 przedstaw ia optym alne kształty brzegów otw orów : zasadniczego i odciążających uzyskane p rezen to w an ą m eto d ą num eryczną (g ru b a linia ciągła). G ru b a linia przeryw ana je st rozw iązaniem uzyskanym m e to d ą elastooptyczną [10]. R ysunek 3 przedstaw ia rozkład n a p rę ż e ń w okół otworów:
zasadniczego o raz otw oru odciążającego w rozciąganym paśm ie tarczow ym (na osi poziom ej o d m ierzono kolejne elem enty brzegow e). Krzywa a p rzedstaw ia rozkład n a p rę ż e ń w okół pojedynczego otw oru kołow ego (pasm o b e z otw orów odciążających), krzywa b rozk ład n a p rę ż e ń dla kołowych otw orów interaktyw nych, krzywa c rozkład n a p rę ż e ń w okół optym alizow anych otw orów interaktyw nych. M e to d ą num eryczną uzyskano praw ie 37% redukcję n a p rę ż e ń m aksym alnych (30% redukcji n a p rę ż e ń w m eto d zie elastooptycznej [10]).
R ys.2. Optymalny kształt brzegu otworów: zasadniczego i odciążających w skończonym paśm ie tarczowym poddanym jednoosiowemu rozciąganiu
Fig.2. O ptim al contours o f central an d defense holes in a fin ite strip subjected to uniaxial
\i
- +
—
f -loading
15,1
\
\
\\
\\
Rvs.3. Rozkład naprężeń wokół otworów: zasadniczego i odciążających w skończonym paśm ie rozciąganym jednokierunkowo
Fig.3. Stress distribution around holes: central a nd defense in a fin ite strip under uniaxial tensión
3. P O D S U M O W A N IE
W artykule przedstaw ia się num eryczną m eto d ę jednoczesnej optym alizacji kształtu karbów : zasadniczego i odciążających. Algorytm łączy efektyw nie m atem atyczne m etody grafiki kom puterow ej, num eryczne m etody analizy konstrukcji i num eryczne m etody optym alizacji. O ptym alizow any kształt brzegów karbów interaktyw nych um ożliw ia znaczną redukcję n ap rężeń maksymalnych.
L IT E R A T U R A
[ I ] C rouch S.L., Starfield A.M .: B oundary elem ent m ethods in solid m echanics, G eorge A llen and U nw in, L ondon, 1983.
[2] Erickson P.E., Riley W.F.: M inim izing stress concentrations aro u n d circular holes in uniaxially lo ad ed plates, "E xperim ental Mech.", M arch 1978, pp.97-100.
[3] H a ra d a K., K aneda K. N akam e E.: A fu rth er investigations o f segm ented B ezier in terp o lan ts, "CAD", Vol. 16, 1984, p p .186-190.
422 B. Wilczyński
[4] H asegaw a H., K um am oto K.: Stress concentration o f an elastic strip with circular holes u n d er tension, "JSM E Int Jnl", Vol. 30, 1987, p p .906-911.
[5] Jindal U.C.: R ed u ctio n of stress concentration aro u n d a hole in a uniaxially loaded plate, "Jnl o f Strain Anal.", Vol. 18, 1983, p p .135-142.
[6] K ocańda S., Szala J.: Podstaw y obliczeń zmęczeniow ych, Wyd. 2, PW N , W arszaw a 1991.
[7] M eguid S.A., Shen C.L.: O n elastic fields o f interacting defense an d m ain hole systems, "Int. Jnl M ech. Sci.", Vol. 34, N o l, 1992, p p .17-29.
[8] O lesiak Z.: K oncentracja n aprężeń, naprężenia kontaktow e, "W ytrzym ałość e le m e n tów konstrukcyjnych", R ed. Życzkowski M., PW N, W arszaw a 1988, ss.492-567.
[9] P ed ersen P., C arsten L.L.: D esign for m inim um stress co n cen tratio n by finite elem en ts and linear program m ing, "D CA M M R eports", T h e T echnical U niversity of D en m ark , Lyngby, N o 223, 1981.
[10] R ajaih K., N aik N.K.: H ole-shape optim ization in a finite p late in th e p resencs of auxiliary holes, "E xperim ental Mech.", June 1984, p p .157-181.
[11] S teichen W.P.: E xperim ental and com puter-aided investigations and optim ization of stress-relieving notches, "Jnl of Strain Anal.", Vol. 13, No 3, 1978, pp. 149-156.
[12] Wilczyński B.: M inim alizacja spiętrzenia nap rężeń w okół kw asi-ow alnego otw oru w nieskończonej tarczy, Z esz. N aukow e Pol. Śląskiej,.s.M echanika, Mr 1198, z.113, Gliwice 1993, ss.423-428.
R ecenzent: Prof, d r hab. inż. T ad eu sz Burczyński W płynęło do R edakcji w grudniu 1993 r.
A b stra c t
T h e presen ce o f the notches (grooves, fillets, holes, corners, undercuts, cut-outs) in m echanical co m ponents results in localised p ertu rb atio n on th e stress field and a co n seq u en t w eakening o f the com ponent due to stress concentrations [6,8], It is well known th a t stress co n cen tratio n factors for m ultiple notches b eco m e sm aller th an for one notch. In the p a p e rs [2,4,5,7,11] it has b een d em o n strated th a t th e introduction o f sm aller auxiliary holes (d efen ce holes) on eith er side of the original hole helps to sm ooth the flow
of tensile principal stresses trajectories past the original hole, an d thus red u ce the c o n cen tratio n o f th e stress. Figure 1. shows exam ples o f defence notches [6], U sing hole- size o p tim ization th e reduction in stress concentration factors from 13 to 22 p e rc e n t can be o b tain ed [2,5,7,11].
T o d e crease a stress concentration factor, a possibility exists to m inim ize stresses by changing the sh ap e o f the notch in the construction part.
T his p a p e r deals with the sim ultaneous optim ization o f th e sh ap e o f original an d stress relieving n o tch es w ith the object o f minimizing th e maxim um stress. T h e original m in-m ax p roblem is converted to th e simple min problem [9,12]. T h e optim ization m ethod discussed uses a special concept o f a segm ented B ezier in terp o lan ts [3,12] to locate the bou n d ary o f the notches.
T he p re s e n te d algorithm for solving the above problem is divided into tw o m ain parts:
a) o p tim izer and b) analyzer. T h e optim izer uses the sequential lin ear program m ing, w here all functions a re linearized. T h e analyser p erform s linear analysis o f th e 2-D m echanical c o m p o n en ts by using the Fictitious Stress m eth o d [1] an d evaluates the g radients o f stress constraints by the finite difference m ethod.
T h e num erical exam ple is given. T h e optim al sh ap e o f the m ain notch (h o le) and two auxiliary (d e fe n c e ) holes located on eith er side o f th e m ain hole is found. (Fig. lc). Figure 2 shows o p tim al contours o f m ain (central) and defence holes in a finite strip subjected to uniaxial loading, and Figure 3 the stress distribution aro u n d these holes. A b o u t 37%
(30% by p h o to elastic investigations [10]) reduction in stresses is o b tain ed in com parison with the single circular hole.
