Program kursu wyrównawczego z Matematyki (dr Paweł Jakubczyk, dr Krzysztof Kucab)
Wymagania wstępne: elementarna wiedza z matematyki na poziomie szkoły średniej, tj.:
wzory skróconego mnożenia, przekształcanie wyrażeń algebraicznych, własności funkcji elementarnych, elementy geometrii i rachunku prawdopodobieństwa.
Cele przedmiotu: (efekty kształcenia i kompetencji): usystematyzowanie wiadomości ze szkoły średniej i przygotowanie studenta do odbioru treści wykładów uniwersyteckich, głównie z analizy matematycznej, ale także z algebry liniowej oraz fizyki elementarnej. Po zakończeniu kursu student posiada wiedzę matematyczną pozwalającą mu przystąpić do studiowania zagadnień fizycznych wymagających aparatu matematycznego na poziomie wyższym.
W szczególności: student posiada umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych, operowania zapisem wykładniczym liczby, radzenia sobie z wykonywaniem obliczeń bez pomocy kalkulatora; umie badać własności funkcji; potrafi rozwiązywać proste układy równań i nierówności; posiada wiedzę na tematy związane z trygonometrią, geometrią płaską, analityczną oraz stereometrią; potrafi operować pojęciami związanymi z kombinatoryką.
Treści merytoryczne przedmiotu Liczba godzin
SEMESTR I
1. Podstawowe wiadomości.− Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory. Przybliżenia dziesiętne liczby rzeczywistej. Usuwanie niewymierności z mianownika. Zamiana ułamka okresowego na zwykły. Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze.
Wyznaczanie największego wspólnego podzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotnej pary liczb naturalnych.
− Potęga o wykładniku całkowitym i wymiernym. Działania na wyrażeniach algebraicznych z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia. Obliczenia procentowe.
−
Wartość bezwzględna i jej własności. Interpretacja geometryczna. Równania i nierówności z wartością bezwzględną.4
2. Funkcje – własności podstawowe
− Funkcja i jej wykres. Szczególne własności funkcji. Funkcja liniowa. Równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą. Algebraiczne i geometryczne rozwiązywanie układów równań liniowych z dwoma niewiadomymi. Zadania tekstowe prowadzące do równań i układów równań liniowych.
4
3. Funkcja kwadratowa
− Funkcja kwadratowa. Miejsca zerowe. Wykres funkcji kwadratowej. Postać ogólna, iloczynowa i kanoniczna funkcji kwadratowej. Równania i nierówności kwadratowe.
−
Wzory Viete'a. Równania i nierówności kwadratowe z parametrem. Wartość najmniejsza i największa funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym.4
4. Wielomiany
− Wielomiany. Działania na wielomianach. Rozkład wielomianu na czynniki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia i przez grupowanie wyrazów.
− Miejsca zerowe wielomianu. Dzielenie wielomianu przez dwumian. Twierdzenia Bezouta. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych. Równania i nierówności wielomianowe.
4
5. Wyrażenia wymierne
−
Działania na wyrażeniach wymiernych. Wyznaczanie dziedziny i miejsc zerowych wyrażeń wymiernych. Rozwiązywanie prostych równań i nierówności wymiernych.Proporcjonalność odwrotna.
4
6. Funkcje elementarne
− Funkcja wykładnicza i jej własności. Rozwiązywanie równań i nierówności wykładniczych.
− Logarytmy. Funkcja logarytmiczna i jej wykres. Podstawowe własności logarytmów.
Rozwiązywanie prostych równań i nierówności logarytmicznych.
− Rozwiązywanie zadań praktycznych związanych z funkcją wykładniczą i logarytmiczną.
− Powtórzenie wiadomości o funkcjach. Rozwiązywanie zadań różnych.
6
7. Ciągi liczbowe
− Ciągi liczbowe. Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Zadania z treścią związane z ciągami arytmetycznym i geometrycznym. Wyznaczanie wzoru na n-ty wyraz ciągu zadanego wzorem rekurencyjnym.
RAZEM
4
30h
SEMESTR II8. Funkcje trygonometryczne
− Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni. Miara łukowa kąta. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta. Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej.
− Podstawowe związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta.
Tożsamości trygonometryczne.
− Wzory redukcyjne. Proste równania i nierówności trygonometryczne.
4
9. Geometria
− Kąty w okręgu. Wyznaczanie związków miarowych miedzy odcinkami stycznych i siecznych. Własności czworokątów wypukłych wpisanych w okrąg i opisanych na okręgu.
− Rozwiązywanie zadań praktycznych z zastosowaniem cech podobieństwa i przystawania trójkątów a także z zastosowaniem własności figur podobnych i jednokładnych.
− Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów. Rozwiązywanie trójkątów dowolnych. Zastosowanie poznanych twierdzeń do rozwiązywania problemów teoretycznych i praktycznych.
4
10. Stereometria
− Graniastosłupy, ostrosłupy, bryły obrotowe.
− Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii.
− Przekroje płaskie wielościanów.
4
11. Wektory
− Wektory i działania na wektorach.
− Wektory w układzie współrzędnych.
− Współrzędne i długość wektora.
− Przykłady zastosowania wektorów do dowodzenia własności figur.
4
12. Liniowa geometria analityczna
− Prosta na płaszczyźnie. Równanie kierunkowe i ogólne. Warunki równoległości i prostopadłości prostych. Graficzne rozwiązywanie nierówności i układów nierówności liniowych.
− Okrąg i koło we współrzędnych. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów.
6
13. Elementy kombinatoryki
− Elementy kombinatoryki.
− Prawdopodobieństwo i jego własności.
− Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń losowych na podstawie definicji klasycznej oraz na podstawie własności prawdopodobieństwa.
4
14. Statystyka
− Elementy statystyki opisowej.
− Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, wariancja i odchylenie standardowe.
4
RAZEM:
