Zadania - lista 4 1. Poka», »e funkcja

Zadania - lista 4 1. Poka», »e funkcja

f : R \ {1} → R, f (x) = x x − 1

jest malejaca w przedziale (−∞; 1) i na przedziale (1; +∞).

2. Poka», »e funkcja

f : R → R, f (x) = 1 x ² − 8x + 20

jest rosnaca na przedziale (−∞; 4) i malejaca na przedziale (4; +∞).

3. Poka», »e okre±lona na zbiorze R funkcja (a) f(x) =  x ² + x − 2, x ≤ 0

x ² − x − 2, x > 0 jest parzysta.

(b) f(x) = _1+x ^1−x

nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

4. Wyznacz dziedzine funkcji:

(a) f(x) = √ x ; (b) f(x) = _x+1 ¹ ;

(c) f(x) = √

x ² − 2x − 3 ; (d) f(x) = ^√ _x

−2x−3 ¹ . 5. Wykre±l funkcje:

(a) f : R → R, f(x) = |x ² − 2x − 3|;

(b) f : R → R, f(x) = |x| + 1;

(c) f : R → R, f(x) = |x + 1|;

(d) f : R \ {0} → R, f(x) = ^|x| _x ; (e) f : R → R, f(x) = x|x|;

(f) f : R \ {2} → R, f(x) = | ^x−2 _2−x |.

6. Niech f : R → R, f(x) = x ² + 2 . (a) Narysuj wykres funkcji f.

(b) Czy funkcja f jest injekcja?

1

(c) Czy funkcja f jest surjekcja?

(d) Jaki jest zbiór warto±ci funkcji f?

(e) Jaki jest obraz przedziaªu (1, 3) dla funkcji f?

(f) Jaki jest przeciwobraz przedziaªu [0, 2] dla funkcji f?

(g) Jaki jest przeciwobraz przedziaªu (3, 6) dla funkcji f?

7. Niech f : R ² → R, f(x, y) = x ² + y ² . (a) Czy f jest injekcja?

(b) Czy f jest surjekcja?

(c) Jaki jest zbiór warto±ci funkcji f?

(d) Czym jest przeciwobraz przedziaªu [0, 2]?

(e) Czym jest przeciwobraz przedziaªu [−1, 1]?

(f) Czym jest przeciwobraz przedziaªu [1, +∞)?

8. Niech f : R ² → R, f(x, y) = |x + y|.

(a) Czy f jest injekcja?

(b) Czy f jest surjekcja?

(c) Jaki jest zbiór warto±ci funkcji f?

(d) Czym jest przeciwobraz 2 ∈ R?

(e) Czym jest przeciwobraz przedziaªu [−3, 1]?

(f) Czym jest przeciwobraz przedziaªu [1, 2]?

9. Niech f : R ² → R ² , f(x, y) = (x + y, x − y).

(a) Czy f jest injekcja?

(b) Czy f jest surjekcja?

(c) Czym jest obraz kwadratu [0, 1] × [0, 1] dla funkcji f?

(d) Czym jest przeciwobraz punktu (1, 1) ∈ R ² ? (e) Czym jest obraz osi x dla funkcji f?

(f) Czym jest obraz osi y dla funkcji f?

2