Równania różniczkowe cząstkowe Równanie falowe
Rozwiąż stosując metodę Fouriera:
1. Znajdź kształt struny długości π, drgającej swobodnie, trwale zaczepionej w punktach x = 0 oraz x = π osi OX w dowolnej chwili t. W chwili t = 0 struna pokrywa całkowicie odcinek [0, π] osi OX, zaś wszystkim punktom struny nadano prędkości początkowe równe sin x.
2. Struna długości 1 drgająca swobodnie bez prędkości początkowej, trwale zaczepiona w punktach x = 0 oraz x = 1 osi OX, w chwili t = 0 ma kształt dany przez wykres funkcji x3(x − 1)3. Stosując metodę Fouriera wyznacz kształt struny w dowolnej chwili t. (Zapisz jedynie odpowiednie wzory na u(x, t), An i Bn, nie wyliczaj współczynników An i Bn).
3. W chwili początkowej struna stale zaczepiona w punkach x = 0 x = l, cał- kowicie pokrywa odcinek [0, l] osi OX. W t = 0 wszystkim punktom z wy- jątkiem krańców nadano prędkość początkową równą 1. Wyznacz kształt struny w dowolnej chwili t.
4. W chwili początkowej struna stale zaczepiona w punkach x = 0 x = l, drgająca swobodnie, bez prędkości początkowej, ma kształt paraboli. Wy- znacz kształt struny w dowolnej chwili t.
5. Na strunę długości l trwale zaczepioną w punktach x = 0 oraz x = l osi OX działa siła zewnętrzna wymuszająca ruch. Siła ta w dowolnym czasie t > 0 opisana jest wzorem x(x−l) w chwili początkowej struna znajduje się w położeniu równowagi, zaś wszystkim punktom struny nadano prędkości początkowe równe sin(2πxl ). Stosując metodę Fouriera wyznacz kształt struny w dowolnej chwili t.
6. Jakie podstawienie należy wykonać, aby rozwiązanie równania z warun- kiem brzegowym niejednorodnym postaci:
∂2u
∂t2 =∂∂x2u2 dla (x, t) ∈ (0, π) × (0, ∞)
u(x, 0) = sin x dla x ∈ [0, π]
∂u
∂t(x, 0) = 1 dla x ∈ [0, π]
u(0, t) = t, u(π, t) = sin3t + t dla t ∈ [0, ∞).
.
sprowadzić do rozwiązania równania z warunkiem brzegowym jednorod- nym. Jak zmieni się warunek początkowy?
