Równania różniczkowe cząstkowe Równanie falowe
1. Rozwiąż problem Cauchy’ego (a)
∂2u
∂t2 = 4∂2u
∂x2, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 1, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = cos(2πx), x ∈ R.
(b)
∂2u
∂t2 = ∂2u
∂x2, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 1
1 + x2, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = 0, x ∈ R.
(c)
∂2u
∂t2 = 4∂2u
∂x2 + t, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = x, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = 0, x ∈ R.
(d)
∂2u
∂x2 − 1 a24∂2u
∂t2 = t − x
a2 , x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 2x, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = −5x, x ∈ R.
(e)
∂2u
∂t2 = 4∂2u
∂x2 + 2 sin t, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = 0, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = 0, x ∈ R.
(f)
∂2u
∂t2 = ∂2u
∂x2 + ex, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = sin x, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = x + sin x, x ∈ R.
(g)
∂2u
∂t2 = 9∂2u
∂x2 + x2t, x ∈ R, t > 0,
u(x, 0) = x3, x ∈ R
∂u
∂t(x, 0) = x2, x ∈ R.
2. Rozwiąż stosując metodę Fouriera:
(a) Znajdź kształt struny długości π, drgającej swobodnie, trwale zacze- pionej w punktach x = 0 oraz x = π osi OX w dowolnej chwili t.
W chwili t = 0 struna pokrywa całkowicie odcinek [0, π] osi OX, zaś wszystkim punktom struny nadano prędkości początkowe równe sin x.
(b) W chwili początkowej struna stale zaczepiona w punkach x = 0 x = l, drgająca swobodnie, bez prędkości początkowej, ma kształt paraboli.
Wyznacz kształt struny w dowolnej chwili t.
(c) Jakie podstawienie należy wykonać, aby rozwiązanie równania z wa- runkiem brzegowym niejednorodnym:
∂u
∂t = ∂∂x2u2 + cosπx2l dla (x, t) ∈ [0, l] × [0, ∞]
u(x, 0) = 2x2 dla x ∈ [0, l]
u(0, t) = sin 2t, u(l, t) = h(t) dla t ∈ [0, ∞].
.
sprowadzić do rozwiązania równania z warunkiem brzegowym jedno- rodnym. Jak zmieni się warunek początkowy?
2
