1 Wykład 7
Przykład 1.1 X
T= (5.1, 5.5, 4.9, 5.3) jest prób þ a prost þ a z rozkładu normalnego N (µ, 1). Na poziomie istotno´sci 0.05 testujemy hipotez þ e
H
0: µ = 5 przeciwko hipotezie
H
1: µ = 6 Test ilorazu wiarygodno´sci ma posta´c:
Z > k, gdzie
Z = X − 5
1/ √
4 = 5.2 − 5 1/2 = 0.4 1 − Φ(k) = 0.05 =⇒ k = 1.65
Nie ma wi þ ec powodu aby odrzuci´c hipotez þ e zerow þ a, úze ´srednia warto´s´c rozkładu wynosi µ = 5.
Gdyby´smy chcieli testowa´c hipotez þ e H
0: µ = 6 przeciwko hipotezie
H
1: µ = 5 Test ilorazu wiarygodno´sci ma posta´c:
Z < k, gdzie
Z = X − 6
1/ √
4 = 5.2 − 6
1/2 = −1.6 Φ(k) = 0.05 =⇒ −1.65
W tym przypadku równieúz nie ma powodu aby odrzuci´c hipotez þ e zerow þ a, úze ´sred- nia warto´s´c rozkładu wynosi µ = 6. ¥
Sprzeczno´s´c, któr þ a moúzna spostrzec w tym przykładzie jest jedynie pozorna.
W obu przypadkach hipoteza zerowa jest jedynie prawdopodobna - na podstawie zebranych obserwacji nie moúzemy jej jednak odrzuci´c, gdyúz prawdopodobie´nstwo popełnienia bł þedu I rodzaju
1przekroczyłoby dozwolony poziom 0.05.
W praktyce testowania hipotez moc argumentów, ´swiadcz þ acych przeciw hipotezie zerowej mierzy si þe przy pomocy wielko´sci, zwanej poziomem krytycznym. Poziom krytyczny okre´slany jest dla testu ilorazu wiarygodno´sci.
DeÞnicja 1.1 Poziomem krytycznym
2obserwacji X
0dla układu hipotez (H
0, H
1) nazywamy liczb þ e
p
∗= p
∗(X
0; H
0, H
1) = sup
θ∈Θ0
P (L
X(H
0, H
1) > L
X0(H
0, H
1))
1
odrzuci´c H
0gdy jest prawdziwa
2
w literaturze obco j þezycznej nazywany p-value
71
Test na poziomie istotno´sci α odrzuca H
0wtedy i tylko wtedy, gdy p
∗≤ α.
Ta nierówno´s´c oznacza, úze poziom krytyczny p
∗obserwacji X
0jest najmniejszym poziomem istotno´sci, na którym odrzuciliby´smy hipotez þe H
0na podstawie ob- serwacji X
0Im mniejszy poziom krytyczny tym mniej ryzykujemy odrzucaj þ ac hipotez þe zerow þ a. Moúzna powiedzie´c, úze poziom krytyczny mierzy wielko´s´c tego ryzyka.
W przykładzie 1.1 dla układu hipotez (µ = 5, µ = 6) p
∗= P (Z > 0.4 |µ = 5 ) = 1 − Φ (0.4) = 0.3446, natomiast dla hipotez (µ = 5, µ = 6)
p
∗= P (Z < −1.6 |µ = 6) = Φ (−1.6) = 0.0548.
Jak wida´c, ryzyko z odrzucenia hipotezy zerowej jest znacznie mniejsze w przy- padku hipotez (µ = 6, µ = 5), niúz dla (µ = 5, µ = 6) ale i tak przekracza przyj þety poziom 0.05. Informacja dostarczona przez poziom krytyczny jest znacznie bo- gatsza niúz ta, która wynika z wiedzy czy na danym poziomie istotno´sci odrzu- camy hipotez þe zerow þ a.
Istnieje interesuj þ aca dualno´s´c mi þedzy przedziałami ufno´sci a testowaniem hipotez.
DeÞnicja 1.2 Obszarem akceptacji dla układu hipotez (H
0, H
1) nazywamy dopełnie- nie obszaru krytycznego, czyli zbiór obserwacji, dla którego nie odrzucamy hipotezy zerowej.
Prawdziwe jest nast þepuj þ ace
Twierdzenie 1.1 (i) Przypu´s´cmy, úze skonstruowali´smy na poziomie istotno´sci α dla kaúzdego θ
0test H
0: θ = θ
0o obszarze akceptacji A (θ
0) przeciwko jakiej´s alternatywie. Wtedy
I (X) = {θ : X ∈ A (θ)}
jest zbiorem ufno´sci dla θ na poziomie ufno´sci 1 − α.
(ii) Niech I (X) b þ edzie zbiorem ufno´sci dla θ na poziomie 1−α. Wtedy zbiór ak- ceptacji testu na poziomie istotno´sci α dla hipotezy H
0: θ = θ
0przeciwko jakiej´s alternatywie ma posta´c
A (θ
0) = {X : θ
0∈ I (X)}
Dowód. Zauwaúzmy, úze
P (X ∈ A (θ
0) |θ = θ
0) = P (θ ∈ I (X) |θ = θ
0) (1) W przypadku (i) lewa strona równo´sci (1) ma warto´s´c 1 − α , natomiast w przypadku (ii) - prawa strona tej równo´sci ma warto´s´c 1 − α.
72
Rozkład χ
2Waúzn þ a rol þe w statystyce odgrywa rozkład χ
2.
DeÞnicja 1.3 Niech n b þ edzie liczb þ a naturaln þ a, X
1, X
2, . . . , X
nci þ agiem nieza- leúznych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie normalnym N (0, 1) . Rozkła- dem χ
2z n stopniami swobody nazywamy rozkład sumy
χ
2n= X
1+ X
2+ . . . + X
nRozwaúzaj þ ac róúzne testy b þedziemy od tej chwili rozwaúza´c hipotezy alternaty- wne, niekoniecznie rozł þ aczne z hipotez þ a zerow þ a. Zazwyczaj hipoteza zerowa nakłada ustalon þ a liczb þe p ogranicze´ n na k-wymiarowy parametr θ ∈ Θ ⊂ R
k, na przykład:
H
0: θ
i1= α
1, θ
i2= α
2, . . . , θ
ip= α
p, lub
H
0: Aθ = b, dla macierzy A rozmiaru p × k, b ∈ R
plub H
0: θ
i= θ
i¡
φ
1, φ
2, . . . , φ
k−p¢
dla znanych θ
i(·) , (i = 1, 2, . . . , k) i φ
1, φ
2, . . . , φ
k−pdo estymacji
Jako hipoteza alternatywna wyst þepuje Θ
1= Θ. Wtedy Θ
1ma k a Θ
0- k − p swobodnych parametrów
3. Zachodzi
Twierdzenie 1.2 (ogólny, asymptotyczny test ilorazu wariancji) Niech Θ
0⊂ Θ
1i |Θ
1| − |Θ
0| = p. Wtedy w pewnych warunkach, gdy n → ∞ gdy X
T= (x
1, x
2, . . . , x
n) jest próba prost þ a
2 lg L
x(H
0, H
1) ∼ χ
2pprzy załoúzeniu, úze H
0jest prawdziwa.
Gdy H
0nie jest prawdziwa 2 lg L
x(H
0, H
1) ma warto´sci duúze, gdy n →
∞. Test asymptotyczny na poziomie α oparty jest na zbiorze krytycznym C = {x : L
x(H
0, H
1) > c} gdzie α = P ¡
χ
2p> c ¢
W praktycznym stosowaniu b þedziemy korzysta´c z poniúzszego lematu:
Lemat 1.1 X
T= (x
1, x
2, . . . , x
n) jest próba prost þ a z rozkładu N (µ, σ).Oznaczmy przez l (x, µ, σ)
def= Q
ni=11
σ
φ ¡
xi−µσ
¢ funkcj þ e wiarygodno´sci tej próby. Wtedy:
max {l (x, µ, σ) : µ} = ¡
2πσ
2¢
−n/2exp Ã
− X
n i=1(x
i− x)
2/2σ
2! ,
max {l (x, µ, σ) : σ} = Ã
2π 1 n
X
n i=1(x
i− µ)
2!
−n/2exp (−n/2) ,
max {l (x, µ, σ) : µ, σ} = Ã
2π 1 n
X
n i=1(x
i− x)
2!
−n/2exp (−n/2)
3
oznaczmy ten fakt jako: |Θ
1| = k i |Θ
0| = k − p
73
Test warto´sci ´sredniej dla znanej wariancji
X
T= (x
1, x
2, . . . , x
n) jest próba prost þ a z rozkładu N (µ, σ), odchylenie standardowe σ jest znane. Testujemy hipotezy:
H
0: µ = µ
0, H
1: µ 6= µ
0Zgodnie z ogólnym testem ilorazu wariancji iloraz wariancji pozwoli skon- struowa´c zbiór krytyczny.
L
x(H
0, H
1) = sup {l (x, µ, σ) : µ}
l (x, µ
0, σ) =
¡ 2πσ
2¢
−n/2exp ³
− P
ni=1
(x
i− x)
2/2σ
2´ (2πσ
2)
−n/2exp ³
− P
ni=1
