Testowanie hipotez – teoria 1. X ∼ N (a, σ2)

Testowanie hipotez – teoria 1. X ∼ N (a, σ²).

(a) Parametr σ² znany.

Dla H₀ : a = a₀ statystyka z próbki jest równa T_n=√

nx¯_n− a₀ σ . Obszary krytyczne:

dla H₁ : a 6= a₀ (−∞, −t_1−α/2) ∪ (t_1−α/2, +∞) dla H₁ : a < a₀ (−∞, −t_1−α)

dla H₁ : a > a₀ (t_1−α, +∞)

gdzie t_1−α/2 = Φ⁻¹(1 −^α₂), a Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N (0, 1).

(b) Parametr σ² nieznany.

Dla H₀ : a = a₀ statystyka z próbki jest równa T_n=√

nx¯_n− a₀ s_n . Obszary krytyczne:

dla H₁ : a 6= a₀ (−∞, −z_1−α/2) ∪ (z_1−α/2, +∞) dla H₁ : a < a₀ (−∞, −z_1−α)

dla H₁ : a > a₀ (z_1−α, +∞)

gdzie z_1−α/2 = F_t⁻¹_n−1(1 − ^α₂), a F_tn−1 jest dystrybuantą rozkładu t-Studenta z n − 1 stopniami swobody.

Uwaga. Jeżeli n > 30, to Φ ≈ Ftn i w powyższym wzorach na na obszary kry- tyczne z_1−α/2 można zastąpić przez t_1−α/2.

2. X ma rozkład dowolny, V arX istnieje, n jest duże.

Dla H₀ : a = a₀ statystyka z próbki jest równa T_n=√

nx¯_n− a₀ sn

lub T_n =√

nx¯_n− a₀ ˆ sn

. Obszary krytyczne:

dla H₁ : a 6= a₀ (−∞, −t_1−α/2) ∪ (t_1−α/2, +∞) dla H₁ : a < a₀ (−∞, −t_1−α)

dla H₁ : a > a₀ (t_1−α, +∞)

gdzie t_1−α/2 = Φ⁻¹(1 − ^α₂), a Φ jest dystrybuantą rozkładu normalnego N (0, 1).

Oznaczenia: s_n= r

1 n−1

n

P

i=1

(x_i− ¯x)², n > 2,

ˆ s_n=

r

1 n

n

P

i=1

(x_i− ¯x)².