Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych

3. Estymatory — zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 3.1 (N., Przykład 2.1.3. str. 117) Liczba wypadków drogowych w ciągu tygodnia ma w przybliżeniu rozkład Poissona. Zakładamy, że obserwacji dokonujemy przez okres n tygodni, w których ogólne warunki nie zmieniają się. Podaj model przestrzeni statystycznej.

Zad. 3.2 (N., Przykład 2.1.4. str. 117) Producent bada partię n żarówek, przy czym inte- resuje go czas życia żarówki. Przy założeniu, że pojedyncze czasy życia mają rozkład wykładniczy, podaj opis przestrzeni statystycznej.

Zad. 3.3 (K. B. D. K. W., tom 2., Zad. 2.33 str. 71) Z partii kondensatorów wybrano losowo 12 sztuk i zmierzono ich pojemności otrzymując (w pF):

4, 45 4, 40 4, 42 4, 38 4, 44 4, 36 4, 40 4, 39 4, 45 4, 35 4, 40 4, 36.

a) Znaleźć oszacowanie nieznanej wartości przeciętnej pojemności kondensatora pochodzącego z danej partii.

b) Znaleźć nieobciążone oszacowanie wariancji pojemności tych kondensatorów.

Zad. 3.4 (K. B. D. K. W., tom 2., Zad. 2.25 str. 70) Zmienne losowe X₁, . . . , X_n mają rozkład o tej samej wartości oczekiwanej EX_i = a. Wykazać, że estymatory postaci

T =ˆ a1X1+ · · · + anXn

a₁+ · · · + a_n ,

n

X

i=1

a_i 6= 0, a_i ∈ R,

są nieobciążonymi estymatorami parametru a.

Zad. 3.5 Niech X₁, X₂, . . . , X_n będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości f (x) = _2a¹ sin^x_a^1_(0,aπ)(x).

Wykaż, że ˆa = _π² ·

Pn i=1Xi

n jest zgodnym i nieobciążonym estymatorem parametru a.

Zad. 3.6 Rozważmy estymator

θ = 1 −ˆ 1 n

n

X

i=1

1(0,1)(X_i)

parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ). Czy ˆθ jest nieobciążo- nym lub zgodnym estymatorem parametru θ?

Zad. 3.7 Niech ˆp : Rⁿ→ R,

ˆ p = 1

n

n

X

i=1

1^{1}(X_i).

Pokaż, że ˆp jest mocno zgodnym estymatorem parametru p rozkładu geometrycznego z parametrem p ∈ (0, 1). Czy jest to estymator nieobciążony?

Zad. 3.8 Niech X₁, . . . , X_nbędzie próbą losową prostą z rozkładu dwumianowego B(m, p), p ∈ (0, 1). Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru

(a) p, (b) θ = p².

Zad. 3.9 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu gamma G(2, λ) o gę- stości

f (x) = λ²

Γ(2) xe^−λx1(0,∞)(x), λ > 0.

Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru λ.

Zad. 3.10 Niech X₁, . . . , X_n będzie próbą losową prostą z rozkładu Laplace’a La(0,_λ¹) o gęstości

f (x) = λ

2e^−λ|x|, λ > 0.

Wyznaczyć estymator największej wiarogodności parametru λ.