Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W

(1)

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W

Aleksander Denisiuk

Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski

Olsztyn, ul. Słoneczna 54

denisjuk@matman.uwm.edu.pl

(2)

Geometria 3W

Przestrze ´n liniowaR³ Przestrze ´n

afinicznaR³ Przestrze ´n rzutowaRP³^*

2 / 66

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm

(3)

Przestrze ´n liniowa R ³

Przestrze ´n liniowaR³

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

Przekształcenia liniowe

•

^{K ˛}aty Eulera:

odchylenie, pochylenie, przechylenie

•

Macierze obrotów Eulera

•

Zmiana bazy a przekształcenia Przestrze ´n afinicznaR³ Przestrze ´n rzutowaRP³^*

(4)

Definicja wektora

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 4 / 66

• Wektorem nazywa si ˛e skierowany odcinek.

A

B

• Kierunek wektora pokazuje strzałka.

• Punkt A jest pocz ˛ atkiem wektora

• ^Punkt B jest ko ´ncem wektora

• Oznaczenie: a = −− →

AB

(5)

Równo ´s ´c wektorów

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Dwa wektory s ˛ a równe, je˙zeli jeden z nich mo˙ze zosta´c otrzymany z drugiego poprzez przesuni ˛ecie równoległe.

• Relcja równo´sci wektorów jest relacj ˛ a równowa˙zno´sci:

◦ a = a (symetryczna)

◦ a = b ⇒ b = a ^(zwrotna)

◦ a = b, b = c ⇒ a = c (przechodnia)

(6)

Wektory, cd

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 6 / 66

• Dwa wektory s ˛ a zgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛ a równoległe i maj ˛ a ten sam zwrot.

• Dwa wektory s ˛ a niezgodnie kolinearne, je˙zeli s ˛ a równoległe i maj ˛ a przeciwne zwroty.

• Długo´s´c odcinka AB , przedstawiaj ˛ acego wektor a , nazywa si ˛e jego długo´sci ˛ a |AB| = |a| = kak

• wektor nazywa si ˛e zerowym, je´sli jego pocz ˛ atek i koniec si ˛e pokrywaj ˛ a: −→

AA = 0

(7)

Dodawanie wektorów

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • ^{Sum ˛} ^{a wektorów} a i b nazywa si ˛e wektor a + b , otrymany z tych wektorów b ˛ ad´z równych im wektorów jak na poni˙zszym rysunku

a + b

a

b

(8)

Dodawanie wektorów przemienne i ł ˛ aczne

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 8 / 66

• a + b = b + a

b + a a + b

a b

a

b

• (a + b) + c = a + (b + c)

a b

c

a + b

b + c

(9)

Odejmowanie wektorów

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • ^Wektor a − b — jest wektorem, suma którego z b

a

a − b

b

(10)

Nierówno ´s ´c trójk ˛ ata

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 10 / 66

• |a + b| 6 |a| + |b|

• |a + b + · · · + c| 6 |a| + |b| + · · · + |c|

(11)

Mno˙zenie wektora przez liczb ˛e

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Iloczynem wektora a i liczby λ ∈ R jest wektor λa

◦ |λa| = |λ| · |a|

◦ λa ⁱ a s ˛ a zgodnie kolinearne, je˙zeli λ > 0 oraz niezgodnie kolinearne, gdy λ < 0

◦ 0 · a = 0

• λ(µa) = (λµ)a

• (λ + µ)a = λa + µa

• λ(a + b) = λa + λb

(12)

Kombinacje liniowe wektorów

•^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 12 / 66

• Niech dany b ˛edzie układ wektorów { a 1 , . . . , a _k } ^{oraz wagi}

(liczby rzeczywiste) α ₁ , . . . , α _k

• ^Wektor

a = α ₁ a ₁ + · · · + α _k a _k

nazywa si ˛e kombinacj ˛ a liniow ˛ a wektorów a ₁ , . . . , a _k ^.

(13)

Iloczyn skalarny wektorów

•

^Wektory

•Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • ^{K ˛} atem mi ˛edzy wektorami a i b nawyzamy k ˛ at mi ˛edzy wektorami

a i b , które maj ˛ a wspólny pocz ˛ atek

• Iloczynem skalarnym wektorów a i b jest liczba a · b ⁽ ab ):

◦ ab = |a||b| cos ϕ ⁽ ϕ ^{jest k ˛} atem mi ˛edy a i b )

• ab = ba

• a ² = aa = |a| ²

• (λa)b = λ(ab)

• je˙zeli |e| = 1 ^{, to} (λe)(λe) = λµ

• ab = 0 ⇐⇒ a ⊥ b albo jeden z wektorów jest zerowy

(14)

Projekcja wektora na prost ˛ a

•

^Wektory

•Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 14 / 66

• Rzut (projekcja) wektora a na prost ˛ a jest wektor ¯ a , którego

pocz ˛ atkiem jest rzut pocz ˛ atka wektora a na prost ˛ a, a ko ´ncem — rzut ko ´nca wektora a na t ˛e prost ˛ a.

• ab = ¯ ab , gdzie a ¯ jest rzutem a na prost ˛ a, zawieraj ˛ ac ˛ a b

• (a + b)c = ac + bc

• ^Je˙zeli a , b , c s ˛ a trzema niezerowymi wektorami, nie równoległymi jednocze´snie jednej płaszczy´znie, to

ar = 0, br = 0, cr = 0 ⇒ r = 0

(15)

Iloczyn wektorowy

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Iloczynem wektorowym wektorów a i b jest wektor a × b ^:

◦ 0 , je˙zeli jeden z wektorów jest zerowy lub wektory s ˛ a równoległe

◦ Wpozostałych przypadkach

• a × b jest prostopadły do płaszczyzny a , b

• długo´s´c wektora a × b jest równa polu powierzchni równoległoboku wyznaczonego przez wektory a , b

• układ wektorów a , b, a × b jest zorientowany dodatnio

• a × b = −b × a

• |a × b| = |a||b| sin θ ^{, gdzie} θ ^{jest k ˛} atem mi ˛edzy a i b

• (λa) × b = λ(a × b)

(16)

Projekcja wektora na płaszczyzn ˛e

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 16 / 66

• Rzutem (projekcj ˛ a) wektora a na płaszczyzn ˛e jest wektor a ^′ , którego pocz ˛ atek jest rzutem pocz ˛ atka a na płaszczyzn ˛e, a ko ´ncem — rzut ko ´nca a .

◦ Rzutu równych wektorów s ˛ a równe

◦ Rzut sumy wektorów jest sum ˛ a rzutów

• Je˙zeli wektor a ^′ jest rzutem a na płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛ a do b , to a × b = a ^′ × b

• (a + b) × c = a × c + b × c

1. c = 0

2. |c| = 1

◦ Niech a ^′ oraz b ^′ b ˛ed ˛ a rzutami odpowiednio a oraz b na płaszczyzn ˛e, prostopadł ˛ a do c . Wtedy mno˙zenie

wektorowe przez c b ˛edzie obrotem o ^π ₂

• (a × b) ² = |a| ² |b| ² − (|a||b| cos θ) ² ^{, gdzie} θ ^{jest k ˛} atem mi ˛edzy

wektorami

(17)

Współrz ˛edne wektora wzgl ˛edem bazy

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Niech dane b ˛ed ˛ a trzy niezerowe, niekomplanarne wektory e ₁ ,

e ₂ , e ₃ . Wtedy ka˙zdy wektor r mo˙ze zosta´c jednoznacznie przedstawiony jako suma r = r ₁ e ₁ + r ₂ e ₂ + r ₃ e ₃

◦ ^Niech r = r ₁ ^′ e ₁ + r ₂ ^′ e ₂ + r ₃ ^′ e ₃ b ˛edzie inn ˛ a reprezentacj ˛ a 1. r jest równoległy do jednego z wektorów e

2. r jest równoległy do płaszczyzny jednej z pary wektorów e

3. r nie jest równoległy do ˙zadnej z par wektorów e

• Wektory e ₁ , e ₂ , e ₃ nazywane s ˛ a baz ˛ a przestrzeni wektorów.

• ^Liczby r ₁ ^, r ₂ ^, r ₃ nazywane s ˛ a współrz ˛ednymi wektora r

w bazie e ₁ , e ₂ , e ₃ .

(18)

Działania liniowe na wektorach

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 18 / 66

• Niech dana b ˛edzie baza e ₁ , e ₂ , e ₃ .

◦ Niech dane b ˛ed ˛ a dwa wektory: r o współrz ˛ednych (r ₁ , r ₂ , r ₃ )

oraz r ^′ o współrz ˛ednych (r ₁ ^′ , r ₂ ^′ , r ₃ ^′ ) ^.

• Wtedy wektor r ± r ^′ b ˛edzie miał współrz ˛edne

(r ₁ ± r ₁ ^′ , r ₂ ± r ₂ ^′ , r ₃ ± r ₃ ^′ ) ^.

◦ Niech dane b ˛ed ˛ a wektor r o współrz ˛ednych (r ₁ , r ₂ , r ₃ ) ^oraz

liczba λ ∈ R ^.

• Wtedy wektor λr b ˛edzie miał współrz ˛edne

(λr ₁ , λr ₂ , λr ₃ ) ^.

(19)

Baza kartezja ´nska

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Niech dana b ˛edzie baza i , j , k — składaj ˛ aca si ˛e z wektorów jednosktowych, wzajemnie prostopadłych i zorientowanych dodatnio.

◦ ^Baza i , j, k nazywa si ˛e baz ˛ a kartezja ´nska

◦ a = x _a i + y _a j + z _a k = (ai)i + (aj)j + (ak)k

◦ ^Liczby cos α = _|a| âi ^, cos β = _|a| âj ^, cos γ = âk _|a| ^nazywane

s ˛ a cosinusy kierunkowe

(20)

Działania metryczne w bazie kartezja ´nskiej

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 20 / 66

• Niech dana b ˛edzie kartezja ´nska baza i , j , k . Wtedy

◦ ab = x a x _b + y a y _b + z a z _b

◦ a × b ma współrz ˛edne

y a z a

y _b z _b

, −

x a z a

x _b z _b

,

x a y a

x _b y _b

◦ a × b =

i j k

x _a y _a z _a x _b y a z _b

(21)

Zmiana bazy

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Niech dane b ˛ed ˛ a dwie bazy: E = { e 1 , e 2 , e 3 }

oraz F = { f 1 , f 2 , f 3 } ^{. Wtedy}

◦ ^Wektory (e 1 , e 2 , e 3 ) ^{maj ˛} a jednoznaczne rozło˙zenie po

bazie (f 1 , f 2 , f 3 ) ^:



 



 



e ₁ = a ₁₁ f ₁ + a ₂₁ f ₂ + a ₃₁ f ₃ , e ₂ = a ₁₂ f ₁ + a ₂₂ f ₂ + a ₃₂ f ₃ , e ₂ = a ₁₃ f ₁ + a ₂₃ f ₂ + a ₃₃ f ₃ .

◦

e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ A ^{, gdzie} A jest macierz ˛ a kolumn współrz ˛ednych wektorów E ^{w bazie} F

◦ ^wektor a w bazie F b ˛edzie miał współrz ˛edne A







x a

y _a z a





 ^{, gdzie}







x _a y a

z _a





 — jego współrz ˛edne w E ^.

◦ A nazywa si ˛e macierz ˛ a przej´scia od E ^do F (zmiany bazy)

(22)

Zmiana bazy. Uwagi

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 22 / 66

• e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ A ⇐⇒ f ₁ f ₂ f ₃ =

e ₁ e ₂ e ₃ A ⁻¹ ^{, gdzie} A ⁻¹ jest macierz ˛ a odwrotn ˛ a.

• Je˙zeli obie bazy s ˛ a kartezja ´nskie, to macierz przej´scia jest ortogonalna

◦ wektory-kolumny s ˛ a jednostkowe i wzajemnie prostopadłe

• to samo dotyczy wierszy

◦ dla macierzy ortogonalnych A ⁻¹ = A ^t

(23)

Przekształcenia liniowe

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•Przekształcenia liniowe

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • Niech dane b ˛ed ˛ a: układ wektorów E = { e 1 , e 2 , e 3 } ^oraz

baza F = { f 1 , f 2 , f 3 } ^, e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ A ^.

◦ przekształceniem liniowym nawyza si ˛e odwzorowanie

a =







x a

y _a z a





 7→ x _a e ₁ + y _a e ₂ + z _a e ₃

◦ współrz ˛edne wektora a po przekształceniu b ˛ed ˛ a równe

A







x _a y a

z a







◦ A nazywa si ˛e macierz ˛ a przekształcenia

◦ wynik przekształcenia zapisuje si ˛e Aa

(24)

Przekształcenia liniowe. Uwagi

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 24 / 66

• macierz A składa si ˛e z kolumn — współrz ˛ednych układu E

w bazie F

• ^macierz A składa si ˛e z kolumn — współrz ˛ednych wektorów bazy F po przekształceniu

• je˙zeli macierz A jest odrwacaln ˛ a, to E te˙z jest baz ˛ a oraz przekształcenie liniowe zgada si ˛e z zamian ˛ a bazy E → F

• przekształcenie φ : R ⁿ → R ⁿ jest liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy

1. dla dowolnych dwóch wektorów a , b ^spełniono φ(a + b) = φ(a) + φ(b)

2. dla dowolnego wektoru a oraz dowolnej liczby rzeczywistej λ

spełniono φ(λa) = λφ(a)

(25)

Przekształcenia sztywne

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• • przekształcenie nazywa si ˛e sztywnym, je˙zeli nie zmienia ono odległo´sci mi ˛edzy punktami

◦ a wi ˛ec i k ˛ atów mi ˛edzy liniami i, na ogół, kształtów obiektów

• macierz przekształcenia sztywnego jest ortogonalna

(26)

Obrót

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 26 / 66

0

h1;0i h0;1i

h0;0i

h os;sini h sin; osi

Figure II.5: Ee t of a rotation through angle . The origin 0 is heldxed by

the rotation.

R _θ = cos θ − sin θ sin θ cos θ

!

(27)

Skalowanie

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• S _λ

1

,λ

²

= λ ₁ 0 0 λ ₂

!

(28)

Mno˙zenie przekształce ´n

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 28 / 66

• Niech dane b ˛ed ˛ a dwa przekształcenia liniowe: A ^oraz B

• Iloczynem (superpozycj ˛ a) przekształce ´n A ◦ B ^jest

przekształcenie liniowe AB(a) = A(Ba)

◦ Macierz ˛ a A ◦ B jest macierz AB

• Dlatego zamiast A ◦ B b ˛edziemy pisa´c AB

• Macierz ˛ a przekształcenia odwrotnego do A jest macierz A ⁻¹

Twierdzenie 1. Ka˙zde przekształcenie liniowe mo˙zna rozło˙zy´c

w iloczyn obrotu oraz skalowania (o ró˙znych współczynnikach)

Twierdzenie 2. Ka˙zde przekształcenie liniowe sztywne, które nie

zmienia orientacji, jest obrotem

(29)

Obrót 3D

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

0 u

v v

1

v

2 v

3

R

;u (v )

Figure II.14: The ve tor v being rotated around u. The ve tor v

1 is v's

proje tiononto u.Theve torv

2

isthe omponentofv orthogonaltou. The

ve torv

3 is v

2

rotated 90 Æ

aroundu. Thedashedlinesegmentsinthegure

allmeetatrightangles.

(30)

Macierz obrotu 3D

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

• 30 / 66

• Obrót dookoła osi wychodz ˛ acej z pocz ˛ atku układu

współrz ˛ednych w kierunku u = (u ₁ , u ₂ , u ₃ ) ^{o k ˛} ^at θ ^stopni.







(1 − c)u ² ₁ + c (1 − c)u ₁ u ₂ − su ₃ (1 − c)u ₁ u ₃ + su ₂ (1 − c)u ₁ u ₂ + su ₃ (1 − c)u ² ₂ + c (1 − c)u ₂ u ₃ − su ₁ (1 − c)u ₁ u ₃ − su ₂ (1 − c)u ₂ u ₃ + su ₁ (1 − c)u ² ₃ + c





 ,

gdzie c = cos θ ^, s = sin θ ^.

(31)

K ˛ aty Eulera: odchylenie, pochylenie, przechylenie

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

•^{K ˛}aty Eulera:

•

Roll

z Pit h x

Yaw

y

Figure XII.1: Yaw, pit h, and roll represent rotations around the y-axis, the

x-axis and the z-axis. If the axes move with the obje t, then the rotations

are performed in the order yaw, then pit h, and nally roll. If the axes are

taken as xed, then the rotations are performed in the opposite order: roll,

then pit h, then yaw. Rotation dire tions are determined by the righthand

rule. The reader is warned that the rotation dire tions for pit h and yaw that

are shown in the gure are opposite to ustomary usage in aviation. For us, a

positive pit h means the nose dips down and a positive yaw steers to the left.

However, aviation onventions are that a positive pit h means the nose moves

up, and a positive yaw means turning to the right. It is ustomary for positive

• R = R _θ _y _,j R _θ _p _,i R _θ _r _,k

(32)

Macierze obrotów Eulera

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•Macierze obrotów Eulera

• 32 / 66

• R _θ _p _,i

• R _θ _y _,j

• R θ _r ,k

(33)

Skalowanie 3D

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•Macierze obrotów Eulera

• S _λ

1

,λ

²

,λ

³

=







λ ₁ 0 0 0 λ ₂ 0 0 0 λ ₃







(34)

Przekształcenia liniowe. Zmiana bazy

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

•

•Zmiana bazy a przekształcenia Przestrze ´n afinicznaR³ Przestrze ´n rzutowaRP³^*

34 / 66

• Niech dane b ˛ed ˛ a dwie bazy: E = { e 1 , e 2 , e 3 }

oraz F = { f 1 , f 2 , f 3 } ^, e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ T

• Niech przekształcenie liniowe b ˛edzie dane w bazie E ^{macierz ˛} ^a A

• Wtedy w bazie F to przekształcenie dane b ˛edzie macierz ˛ a

T AT ⁻¹

(35)

Przykład. Skalowanie wzdłu˙z przek ˛ atnej

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

• • Macierz skalowania na płaszczy´znie ze współczynnikiem 2

wzdłu˙z przek ˛ atnej

(36)

Przykład. Skalowanie wzdłu˙z przek ˛ atnej

•

^Wektory

•

Iloczyn skalarny

•

Iloczyn wektorowy

•

^Baza

•

^{K ˛}aty Eulera:

• 35 / 66

• Macierz skalowania na płaszczy´znie ze współczynnikiem 2 wzdłu˙z przek ˛ atnej

• 3 2 1 1 2 2

3 2

!

(37)

Przestrze ´n afiniczna R ³

afinicznaR³

•

Działania na punktach

•

Układ współrz ˛ednych

•

Przekształcenia afiniczne

•

Współrz ˛edne jednorodne

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

Macierz zmiany układu współrz ˛ednych

•

Teoria transponowana Przestrze ´n

rzutowaRP³^*

(38)

Odejmowanie punktów

afinicznaR³

•Działania na punktach

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

37 / 66

• Ró˙znic ˛ a punktów B ⁱ A jest wektor −− → AB ^.

A

B

• B − A = −−→

AB

• A = B ⇐⇒ B − A = 0

• (B − A) + (C − B) = (C − A) = −→

AC

(39)

Dodanie do punktu wektora

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Sum ˛ a punktu A oraz wektora a jest punkt B , który zgadza si ˛e z ko ´ncem wektora a , je˙zeli pocz ˛ atek tego wektora umie´sci´c w A ^.

A

B a

• B = A + −−→

AB

• (A + a 1 ) + a 2 = A + (a 1 + a 2 )

• Dodanie wektora nazywa si ˛e przesuni ˛eciem róznoległym

(40)

Kombinacja afiniczna punktów

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

39 / 66

• Niech dany b ˛edzie układ punktów { A ₁ , . . . , A _k } ^{oraz wagi}

(liczby rzeczywiste) α ₁ , . . . , α _k , takie ˙ze α ₁ + · · · + α _k = 1

• Ustalmy dowolny punkt O

• Kombinacj ˛ a afiniczn ˛ a punkitów α ₁ A ₁ + · · · + α _k A _k ^{jest punkt} O + α ₁ −−→

OA ₁ + · · · + α _k −−→

OA _k

Twierdzenie 3. Kombinacja afiniczna punktów nie zale˙zy od wyboru

punktu O

(41)

Układ współrz ˛ednych

afinicznaR³

•

•Układ współrz ˛ednych

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Wybierzmy dowolny punkt O ^{, pocz ˛} atek układu

• Przez ten punkt poprowad´zmy trzy niekomplanarne proste: Ox ^, Oy ^, Oz , osie współrz ˛ednych

• Płaszczyzny współrz ˛ednych Oxy ^, Oxz ^, Oyz

• Na osiach wyznaczymy niezerowe wektory: odpowiednio e ₁ , e ₂ ,

e ₃ —baz ˛e.

• Dla ka˙zdego punktu A ^wektor −→

OA ma jednoznaczne przedstawienie −−→

OX = xe 1 + ye 2 + ze 3

◦ liczby x ^, y ^, z — współrz ˛edne punktu A

• układ jest prawym (dodatnim), je˙zeli { e 1 , e 2 , e 3 } ^jest

zorientoany dodatnio

• układ jest lewym (ujemnym), je˙zeli { e 1 , e 2 , e 3 } ^jest

zorientowany ujemnie

• kierunki na osiach, zorientowane zgodnie z wektorami bazy,

nazywaj ˛ a si ˛e dodatnimi. Kierunki przeciwne — ujemnymi

(42)

Układ współrz ˛ednych kartezja ´nskich

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

41 / 66

• Układ współrz ˛ednych nazywa si ˛e kartezja ´nskim, je˙zeli

◦ ^{osie s ˛} a wzajemnie prostopadłe

◦ wektory e ₁ , e ₂ , e ₃ s ˛ a jednostkowe (maj ˛ a jednostkow ˛ a długo´s´c).

• Dalej w prezentacji prawie zawsze układ b ˛edzie prawym kartezja ´nskim układem

• Dla wektorów bazy układu kartezja ´nskiego czasami stosuje si ˛e

oznaczenia i , j , k

(43)

Działania na punktach w układzie współrz ˛ednych

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Odejmowanie punktów:

◦ A ₂ − A ₁ = −−−→

A ₁ A ₂ =







x ₂ − x ₁ y ₂ − y ₁ z ₂ − z ₁







• Dodanie wektora:

◦ A ₁ + a =







x ₁ + x _a y ₁ + y _a z ₁ + z a







• Kombinacja afiniczna:

◦ α ₁ A ₁ + · · · + α _k A _k =







α ₁ x ₁ + · · · + α _k x _k α ₁ y ₁ + · · · + α _k y _k α ₁ z ₁ + · · · + α k z k







• ^{wzory s ˛} a prawidłowe w ka˙zdym układzie

(44)

Podział odcinka w danym stosunku

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

43 / 66

• Dane s ˛ a dwa punkty A ₁ (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) ^oraz A ₂ (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

• Znale´z´c punkt A(x, y, z) , który dzieli odcinek A ₁ A ₂

w stosunku λ ₁ : λ ₂

◦ λ ₂ −−→

A ₁ A − λ ₁ −−→

AA ₂ = 0

◦ −→

OA = ^λ

²

^−−→ ^OA _λ

¹₁

^+λ _+λ

¹₂

^−−→ ^OA

²

◦ x = ^λ

²

_λ ^x

¹₁

_+λ ^+λ

¹₂

^x

²

^, y = ^λ

²

_λ ^y

₁¹

^+λ _+λ

₂¹

^y

²

^, z = ^λ

²

_λ ^z

¹₁

_+λ ^+λ

¹₂

^z

²

^.

• wzory s ˛ a prawidłowe w ka˙zdym układzie

(45)

Odległo ´s ´c mi ˛edzy punktami

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Dane s ˛ a dwa punkty A ₁ (x ₁ , y ₁ , z ₁ ) ^oraz A ₂ (x ₂ , y ₂ , z ₂ )

◦ |A ₁ A ₂ | ² = −−−→

A ₁ A ₂ ² = (x ₁ − x ₂ ) ² + (y ₁ − y ₂ ) ² + (z ₁ − z ₂ ) ²

• ^{wzory s ˛} a prawidłowe tylko w układzie kartezja ´nskim

(46)

Zmiana układu współrz ˛ednych

afinicznaR³

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

45 / 66

• Niech dane b ˛ed ˛ a dwa ogólne układy współrz ˛ednych:

(O, e 1 , e 2 , e 3 ) ^oraz (O ^′ , f 1 , f 2 , f 3 )

• Punkt P ma współrz ˛edne (x, y, z) wzgl ˛edem jednego układu oraz (z ^′ , y ^′ , z ^′ ) wzgl ˛edem drugiego.

• Wektory (e 1 , e 2 , e 3 ) ^{maj ˛} a jednoznaczne rozło˙zenie po

bazie (f 1 , f 2 , f 3 ) ^:



 



 



e ₁ = a ₁₁ f ₁ + a ₂₁ f ₂ + a ₃₁ f ₃ , e ₂ = a ₁₂ f ₁ + a ₂₂ f ₂ + a ₃₂ f ₃ , e ₂ = a ₁₃ f ₁ + a ₂₃ f ₂ + a ₃₃ f ₃ .

◦

e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ A

• Punkt O w nowym układzie ma współrz ˛edne (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) ^.

• ^Wówczas



 



 



x ^′ = a ₁₁ x + a ₁₂ y + a ₁₃ z + x ₀ , y ^′ = a ₂₁ x + a ₂₂ y + a ₂₃ z + y ₀ , z ^′ = a ₃₁ x + a ₃₂ y + a ₃₃ z + z ₀ .

• 





x ^′ y ^′ z ^′





 = A







x y z





 +







x ₀ y ₀ z ₀





 ^.

(47)

Przekształcenia afiniczne

afinicznaR³

•

•Przekształcenia afiniczne

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Niech dany b ˛edzie układ współrz ˛ednych O, f 1 , f 2 , f 3 oraz punkt

O ^′ i układ wektorów e ₁ , e 2 , e 3

◦ przekwształceniem afinicznym nawyza si ˛e odwzorowanie

P =







x y z





 7→ O ^′ + xe 1 + ye 2 + ze 3

◦ współrz ˛edne punktu A po przekształceniu b ˛ed ˛ a równe

A







x y z





 +







x ₀ y ₀ z ₀





 ^{, gdzie}

• e ₁ e ₂ e ₃ = f ₁ f ₂ f ₃ A

• (x ₀ , y ₀ , z ₀ ) — współrz ˛edne wektora −−→

OO ^′

(48)

Uwagi

afinicznaR³

•

•Przekształcenia afiniczne

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

47 / 66

• Je˙zeli układ wektorów e ₁ , e 2 , e 3 jest baz ˛ a, to przekształcenie afiniczne zgadza si ˛e z zamian ˛ a układu współrz ˛ednych

• Przekwształcenie afiniczne B składa si ˛e z przekształcenia linowego A i przesuni ˛ecia równoległego T u , B = T u ◦ A

◦ Wówczas przesuni ˛ecie T _u oraz przekształcenie liniowe A

okre´slone s ˛ a jednoznacznie.

Twierdzenie 4. Ka˙zde przekształcenie afiniczne mo˙zna rozło˙zy´c w iloczyn obrotu, skalowania (o ró˙znych współczynnikach) oraz przesuni ˛ecia równoległego

Twierdzenie 5. Ka˙zde przekształcenie afiniczne sztywne, które nie zmienia orientacji, jest obrotem (afnicznym) lub przesuni ˛eciem

równoległym

(49)

Współrz ˛edne jednorodne w R ²

afinicznaR³

•

•Współrz ˛edne jednorodne

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

• Trójka liczb x, y, w ∈ R ⁽ w 6= 0 ) reprezentuje punkt o współrz ˛ednych (x/w, y/w) ∈ R ² ^.

• (2, 1) ∼ (2 : 1 : 1) ∼ (6 : 3 : 3) ∼ (−2 : −1 : −1)

(50)

Współrz ˛edne jednorodne w R ³

afinicznaR³

•

•Współrz ˛edne jednorodne

•

^Obrót

•

^Skalowanie

•

rzutowaRP³^*

49 / 66

• Czwórka liczb x, y, z, w ∈ R ⁽ w 6= 0 ) reprezentuje punkt o współrz ˛ednych (x/w, y/w, z/w) ∈ R ³ ^.

• (2, 1, 1) ∼ (2 : 1 : 1 : 1) ∼ (6 : 3 : 3 : 3) ∼ (−2 : −1 : −1 :

−1)

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Geometria 3W