(1)Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa A Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´, c na osobnej kartce

(1)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa A

Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt,_, liczone bedzie 5 najlepszych rozwi_, aza´_, n. Prosze czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem i nazwiskiem_, (DRUKOWANYMI LITERAMI), numerem indeksu oraz litera grupy. Tablice rozk ladu normalnego_, sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

1. Dwie osoby zagra ly w Lotto: ka˙zda z nich wybra la 6 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 49}, a nastepnie_, por´ownano wybrane zestawy liczb.

a) Obliczy´c prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze dok ladnie jedna liczba sie powt´_, orzy la (zosta la wybrana przez obie osoby).

b) Wyznaczyć warto´sć oczekiwana liczby powtarzaj_, acych si_, e liczb (wybranych przez obie osoby)._, 2. Liczba wypadków na pewnym skrzy˙zowaniu w lutym jest zmienna losow_, a X o rozk ladzie_, zadanym przez P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 4) = ¹₆, P(X = 2) = ¹₃. Ka˙zdy wypadek, niezale˙znie od wcze´sniejszych wydarzeń, jest albo powa˙zny, albo lekki (co ma miejsce z prawdopodobieństwami ¹₅ i ⁴₅, odpowiednio). Niech Y oznacza liczbe powa˙znych wypadk´_, ow w lutym.

Obliczy´c P(X = 3|Y = 2) oraz E(Y |X).

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X + Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a −1 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X + Y + 1.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 72x_, ⁻⁴y²1{x≥2, 0≤y≤1}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (XY⁻¹+ 1).

5. Pan Nowak lokuje cze´s´_, c swoich oszczedno´sci w obcych walutach. Na pocz_, atku ka˙zdego miesi_, aca_, kupuje on sto lub dwie´scie koron (ka˙zda mo˙zliwo´s´c ma to samo prawdopodobie´nstwo).

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan_, Nowak kupi nie wiecej ni˙z 15200 koron._,

b) W po lowie ka˙zdego miesiaca, pan Nowak rzuca monet_, a, dla kt´_, orej prawdopodobie´nstwo wyrzu- cenia or la wynosi 1/3. W przypadku gdy wypadnie orze l, pan Nowak nie podejmuje ˙zadnych dzia la´n;

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po lowe koron wykupionych tego miesi_, aca na zakup z lotych_, monet. Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w przeciagu 150 kolejnych miesi_, ecy pan Nowak_, przeznaczy na zakup monet mniej ni˙z 8 tysiecy koron._,

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, 1.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₁, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₃?

b) Po ilu ´srednio dniach stado odwiedzi miasto M4 po raz pierwszy?

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, ₄.

(2)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa A (I termin) Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt,_, liczone bedzie 5 najlepszych rozwi_, aza´_, n. Prosze czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem i nazwiskiem_, (DRUKOWANYMI LITERAMI), numerem indeksu oraz litera grupy. Tablice rozk ladu normalnego_, sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X + Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a −1 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X + Y + 1.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 72x_, ⁻⁴y²1{x≥2, 0≤y≤1}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (XY⁻¹+ 1).

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po lowe koron wykupionych tego miesi_, aca na zakup z lotych_, monet. Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w przeciagu 150 kolejnych miesi_, ecy pan Nowak_, przeznaczy na zakup monet mniej ni˙z 8 tysiecy koron._,

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₁.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 1, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₃?

b) Po ilu ´srednio dniach stado odwiedzi miasto M₄ po raz pierwszy?

c) Obliczyć przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, 4. 7. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostk_, a._,

a) Korzystajac z nier´_, owno´sci Czebyszewa-Bienaymé, oszacować prawdopodobieństwo tego, ˙ze laczna_, liczba dwójek uzyskanych w stu pierwszych rzutach bedzie si_, e r´_, o˙znić o co najmniej 10 od lacznej liczby_, trójek uzyskanych w rzutach o numerach 101, 102, . . ., 200.

b) Dla n = 1, 2, . . ., niech X_n, Y_n oznaczaja odpowiednio liczby dw´_, ojek i tr´ojek uzyskanych w pierwszych n rzutach. Rozstrzygna´_,c, czy ciag_, XnYn

n²+ 1, n = 1, 2, . . ., jest zbie˙zny prawie na pewno.

W przypadku odpowiedzi pozytywnej, wyznaczy´c jego granice._,

8. Wydobycie niklu w 2020 roku (mierzone w milionach ton) mo˙ze by´c opisane zmienna losow_, a X_, o rozk ladzie wyk ladniczym z parametrem 2. W przypadku, gdy X = x, cena jednej tony niklu w dniu 1 stycznia 2021 roku (liczona w tysiacach koron) b_, edzie mia la rozk lad wyk ladniczy z parametrem x._,

a) Wyznaczy´c rozk lad ceny niklu w dniu 1 stycznia 2021 roku.

b) Przypu´s´cmy, ˙ze w dniu 1 stycznia cena przekracza 2 tysiace koron. Jakie jest prawdopodo-_, bie´nstwo, ˙ze wia˙ze si_, e to z wydobyciem niklu w 2020 roku na poziomie przekraczaj_, acym 3 miliony_,

(3)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa B

1. Dwie osoby zagra ly w Lotterie: ka˙zda z nich wybra la 5 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 49}, a nast_, epnie_, por´ownano wybrane zestawy liczb.

b) Wyznaczyć warto´sć oczekiwana liczby powtarzaj_, acych si_, e liczb (wybranych przez obie osoby)._, 2. Liczba wypadków na pewnym skrzy˙zowaniu w lutym jest zmienna losow_, a X o rozk ladzie_, zadanym przez P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 4) = ¹₇, P(X = 2) = ³₇. Ka˙zdy wypadek, niezale˙znie od wcze´sniejszych wydarzeń, jest albo powa˙zny, albo lekki (co ma miejsce z prawdopodobieństwami ¹₆ i ⁵₆, odpowiednio). Niech Y oznacza liczbe powa˙znych wypadk´_, ow w lutym.

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X + Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a 1 i wariancj_, e 3. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej X + 2Y − 1.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 72x_, ²y⁻⁴1{0≤x≤1, y≥2}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (X⁻¹Y + 2).

5. Pan Nowak lokuje cze´s´_, c swoich oszczedno´sci w obcych walutach. Na pocz_, atku ka˙zdego miesi_, aca_, kupuje on sto lub trzysta koron (ka˙zda mo˙zliwo´s´c ma to samo prawdopodobie´nstwo).

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po lowe koron wykupionych tego miesi_, aca na zakup z lotych_, monet. Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan Nowak_, przeznaczy na zakup monet mniej ni˙z 3 tysiace koron._,

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, 4.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₄, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₂?

b) Po ilu ´srednio dniach stado odwiedzi miasto M1 po raz pierwszy?

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, ₂.

(4)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa B (I termin) Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt,_, liczone bedzie 5 najlepszych rozwi_, aza´_, n. Prosze czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem i nazwiskiem_, (DRUKOWANYMI LITERAMI), numerem indeksu oraz litera grupy. Tablice rozk ladu normalnego_, sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X + Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a 1 i wariancj_, e 3. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej X + 2Y − 1.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) = 72x_, ²y⁻⁴1{0≤x≤1, y≥2}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (X⁻¹Y + 2).

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₄.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 4, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₂?

b) Po ilu ´srednio dniach stado odwiedzi miasto M₁ po raz pierwszy?

c) Obliczyć przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, 2. 7. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostk_, a._,

b) Dla n = 1, 2, . . ., niech X_n, Y_n oznaczaja odpowiednio liczby dw´_, ojek i tr´ojek uzyskanych w pierwszych n rzutach. Rozstrzygna´_,c, czy ciag_, XnYn

(5)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa C

1. Dwie osoby zagra ly w Lotterie: ka˙zda z nich wybra la 7 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 49}, a nast_, epnie_, por´ownano wybrane zestawy liczb.

b) Wyznaczyć warto´sć oczekiwana liczby powtarzaj_, acych si_, e liczb (wybranych przez obie osoby)._, 2. Liczba wypadków na pewnym skrzy˙zowaniu w lutym jest zmienna losow_, a X o rozk ladzie_, zadanym przez P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 4) = ¹₈, P(X = 2) = ¹₂. Ka˙zdy wypadek, niezale˙znie od wcze´sniejszych wydarzeń, jest albo powa˙zny, albo lekki (co ma miejsce z prawdopodobieństwami ¹₃ i ²₃, odpowiednio). Niech Y oznacza liczbe powa˙znych wypadk´_, ow w lutym.

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X − Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a −2 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 3X + Y − 1.

4. Dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozk lad z gesto´sci_, a g(x, y) =_, 9

8x⁻⁴y²1{x≥1, 0≤y≤2}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (2XY⁻¹− 3).

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan_, Nowak kupi wiecej ni˙z 19800 koron._,

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po lowe koron wykupionych tego miesi_, aca na zakup z lotych_, monet. Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w przeciagu 150 kolejnych miesi_, ecy pan Nowak_, przeznaczy na zakup monet wiecej ni˙z 12 tysi_, ecy koron._,

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₂.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 1, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₃?

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, 3.

(6)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa C (I termin) Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt,_, liczone bedzie 5 najlepszych rozwi_, aza´_, n. Prosze czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem i nazwiskiem_, (DRUKOWANYMI LITERAMI), numerem indeksu oraz litera grupy. Tablice rozk ladu normalnego_, sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X − Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a −2 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 3X + Y − 1.

8x⁻⁴y²1{x≥1, 0≤y≤2}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (2XY⁻¹− 3).

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan_, Nowak kupi wiecej ni˙z 19800 koron._,

je´sli za´s wypadnie reszka, to przeznacza po lowe koron wykupionych tego miesi_, aca na zakup z lotych_, monet. Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze w przeciagu 150 kolejnych miesi_, ecy pan Nowak_, przeznaczy na zakup monet wiecej ni˙z 12 tysi_, ecy koron._,

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, 1, M2, M3, M4, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₂.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₁, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 3?

c) Obliczyć przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, ₃. 7. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostk_, a._,

b) Dla n = 1, 2, . . ., niech X_n, Y_n oznaczaja odpowiednio liczby dw´_, ojek i tr´ojek uzyskanych w pierwszych n rzutach. Rozstrzygna´_,c, czy ciag_, X_nY_n

(7)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa D

1. Dwie osoby zagra ly w Lotterie: ka˙zda z nich wybra la 4 liczby ze zbioru {1, 2, . . . , 49}, a nast_, epnie_, por´ownano wybrane zestawy liczb.

b) Wyznaczyć warto´sć oczekiwana liczby powtarzaj_, acych si_, e liczb (wybranych przez obie osoby)._, 2. Liczba wypadków na pewnym skrzy˙zowaniu w lutym jest zmienna losow_, a X o rozk ladzie_, zadanym przez P(X = 0) = P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 4) = ¹₉, P(X = 2) = ⁵₉. Ka˙zdy wypadek, niezale˙znie od wcze´sniejszych wydarzeń, jest albo powa˙zny, albo lekki (co ma miejsce z prawdopodobieństwami ¹₄ i ³₄, odpowiednio). Niech Y oznacza liczbe powa˙znych wypadk´_, ow w lutym.

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X − Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a 2 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X − Y + 1.

8x²y⁻⁴1{0≤x≤2, y≥1}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (3X⁻¹Y − 1).

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan_, Nowak kupi mniej ni˙z 14800 koron.

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, ₁, M₂, M₃, M₄, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₃.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 2, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₄?

c) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, 1.

(8)

Egzamin z Rachunku Prawdopodobie´nstwa WNE - 7 marca 2018r., grupa D (I termin) Ka˙zde zadanie nale˙zy rozwiaza´_, c na osobnej kartce. Ka˙zde z zada´n bedzie punktowane w skali 0 – 10 pkt,_, liczone bedzie 5 najlepszych rozwi_, aza´_, n. Prosze czytelnie podpisa´_, c ka˙zda kartk_, e imieniem i nazwiskiem_, (DRUKOWANYMI LITERAMI), numerem indeksu oraz litera grupy. Tablice rozk ladu normalnego_, sa niepotrzebne, nale˙zy operowa´_, c jego dystrybuanta. Czas trwania egzaminu: 120 min._,

3. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozk lad normalny, przy czym wiadomo, ˙ze zmienne X − Y oraz Y sa niezale˙zne i maj_, a ´sredni_, a 2 i wariancj_, e 2. Obliczy´_, c EXY oraz wyznaczy´c rozk lad zmiennej 2X − Y + 1.

8x²y⁻⁴1{0≤x≤2, y≥1}. Obliczy´c P(XY > 1) oraz Var (3X⁻¹Y − 1).

a) Obliczy´c przybli˙zone prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze w przeciagu 100 kolejnych miesi_, ecy pan_, Nowak kupi mniej ni˙z 14800 koron.

6. Stado go lebi przemieszcza si_, e pomi_, edzy czterema miastami M_, 1, M2, M3, M4, le˙zacymi w tej_, w la´snie kolejno´sci wzd lu˙z Odry. Ka˙zdego dnia wieczorem stado decyduje sie albo pozosta´_, c w mie´scie, w którym sie aktualnie znajduje, albo uda´_, c do jednego z bezpo´srednio sasiaduj_, acych miast (ka˙zda_, opcja ma to samo prawdopodobieństwo, przelot miedzy r´_, o˙znymi miastami trwa jedna noc). Pierwszy_, dzień stado spedza w mie´scie M_, ₃.

a) Co jest bardziej prawdopodobne: to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, ₂, czy to, ˙ze rankiem trzeciego dnia stado bedzie w mie´scie M_, 4?

c) Obliczyć przybli˙zone prawdopodobieństwo, ˙ze po 100 dniach stado znajdzie sie rankiem w M_, ₁. 7. Rzucamy nieskończenie wiele razy prawid lowa kostk_, a._,

b) Dla n = 1, 2, . . ., niech X_n, Y_n oznaczaja odpowiednio liczby dw´_, ojek i tr´ojek uzyskanych w pierwszych n rzutach. Rozstrzygna´_,c, czy ciag_, X_nY_n