Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Ła ´ncuchy kinematyczne

(1)

1 / 31

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Ła ´ncuchy kinematyczne

Aleksander Denisiuk

Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski

Olsztyn, ul. Słoneczna 54

denisjuk@matman.uwm.edu.pl

(2)

Ła ´ncuchy kinematyczne

Wprowadzenie Kinematyka prosta Kinematyka odwortna

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod adresem

http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm

(3)

Wprowadzenie

•^Kinematyka Kinematyka prosta Kinematyka odwortna

3 / 31

(4)

Kinematyka

Wprowadzenie

•^Kinematyka

Kinematyka prosta Kinematyka odwortna

• Ruch jednego obiektu wzgl ˛edem drugiego, hierarchia ruchu

◦ układ planetarny, manipulatory, postacie ludzkie

• Kinematyka:

◦ _prosta

◦ _odwrotna

(5)

Kinematyka prosta

Wprowadzenie Kinematyka prosta

•Modelowanie hierarchiczne

•Pary kinematyczne

•^Struktury

Kinematyka odwortna

5 / 31

(6)

Modelowanie hierarchiczne

•^Struktury

Kinematyka odwortna

• Wieloczłonowe ł ˛ a ´ncuchy

◦ człony poł ˛ aczone ko ´ncami

◦ efektory ko ´ncowe

◦ posta´c artykulowana, artykulacja

• _Robotyka

(7)

Pary kinematyczne o jednym stopniu swobody

•^Struktury

Kinematyka odwortna

7 / 31

• _przegub

• para przesuwana

(8)

Pary kinematyczne o dwóch stopniach swobody

•^Struktury

Kinematyka odwortna

• Sprowadza si ˛e do par o jednym stopniu swobody

Ball-and-socket joint

Planar joint

zero-length linkage θ₁

θ₃

θ₂

T₁

T₂

(9)

Struktury danych

•^Struktury

Kinematyka odwortna

9 / 31

• _Drzewo

root node

link joint

root arc root

Articulated figure Abstract hierarchical Tree structure

representation

(10)

Kraw ˛ed´z i wierzszchołek

•^Struktury

Kinematyka odwortna

• Dwa przekształcenia

◦ przekształcenie do poło˙zenia „zerowego” wzgl ˛edem elementu rodzicielskiego

◦ przekształcenia artykulacji — wzgl ˛edem poło˙zenia

„zerowego”

Arc

_i

Node

_i

Node

_i

contains

• a transformation to be applied to object data to position it so its point of rotation is at the origin (optional)

• object data

Arc

_i

contains

• constant transformation of Link

_i

to its neutral position relative to Link

_i–1

• variable transformation responsible

for articulating Link

_i

(11)

Przykład

•^Struktury

Kinematyka odwortna

11 / 31

• Trzy człony

Original definition of Link 1

Original definition of Link 1.1

T₀

T₁

T_1.1 Original definition of root object

(Link 0)

Root object (Link 0) transformed (translated and scaled) by T₀ to some known location in global space

Link 1 transformed by T₁ to its position relative to untransformed Link 0

Link 1.1 transformed by T_1.1 to its position relative to untransformed Link 1

(12)

Przekształcenia członów

•^Struktury

Kinematyka odwortna

• V ₀ ^′ = T ⁰ V 0

• V ₁ ^′ = T ⁰ T ¹ V ¹

• V ₁ ^′ _.1 = T ⁰ T 1 T 1 .1 V 1 .1

data for Link 0 (the root) T

₀

data for Link 1 T

₁

data for Link 1.1 T

_1.1

(global position and orientation)

(transformation of Link 1 relative to Link 0)

(transformation of Link 1.1 relative to Link 1)

(13)

Hierarchia obrotów

•^Struktury

Kinematyka odwortna

13 / 31

• V ₀ ^′ = T ⁰ V 0

• V ₁ ^′ = T ⁰ T ¹ R ¹ (θ ¹ )V ¹

• V ₁ ^′ _.1 = T ⁰ T 1 R 1 (θ ¹ )T ¹ _.1 R 1 .1 (θ ¹ _.1 )V ¹ _.1

T₀

Link 1

Link 1.1

θ₁ θ_1.1

(14)

Druga ko ´nczyna

•^Struktury

Kinematyka odwortna

T₀

Link 1

Link 1.1

θ₁ θ_1.1

θ2

θ_2.1

(15)

Drzewo

•^Struktury

Kinematyka odwortna

15 / 31

data for Link 0 (the root) T ₀

data for Link 1 T ₁

data for Link 1.1 T _1.1 R ₁ (θ ₁ )

R _1.1 (θ _1.1 ) T ₂

R ₂ (θ ₂ )

T _2.1 R _2.1 (θ _2.1 )

data for Link 2

data for Link 2.1

(16)

Kinematyka prosta

•^Struktury

Kinematyka odwortna

• Od korzenia do efektorów

• Wykorzystanie stosu

• Animacji poprzez działania na parametrach przekształce ´n par

kinematycznych (k ˛ atach obrotów)

(17)

Kinematyka odwortna

•Analitycznie

•^Jakobian

•^{Rozwi ˛}^azanie numeryczne

17 / 31

(18)

Kinematyka odwrotna

•Analitycznie

•^Jakobian

• Ła ´ncuch przesztywniony

• Ła ´ncuch niedosztywniony

• Przestrze ´n osi ˛ agalna

• Metoda analityczna

• Metoda iteracyjna

(19)

Prosty przykład

•Analitycznie

•^Jakobian

19 / 31

L1

L2 θ1

θ2

L1 – L2

L1 L2

L1 + L2

(20)

Rozwi ˛ azanie analityczne

•Analitycznie

•^Jakobian

L 1

L2

X

²

+ Y

²

(X, Y )

(0, 0)

180 – θ

₂

Y

X

θ

1

θ

T

• Dwa rozwi ˛ azania

(21)

Jakobian

•Analitycznie

•^Jakobian

21 / 31

• y = f (x) ^{, gdzie}

◦ y ∈ R ^m ^, x ∈ R ⁿ

J = ∂y

∂x =







∂y

₁

∂x

₁

∂y

₁

∂x

₂

. . . _∂x ^∂y

¹

n

∂y

₂

∂x

₁

∂y

₂

∂x

₂

. . . _∂x ^∂y

²

n

. . . .

∂y

^m

∂x

₁

∂y

^m

∂x

₂

. . . ^∂y _∂x

^m

n







(22)

Pr ˛edko ´s ´c k ˛ atowa i liniowa

•Analitycznie

•^Jakobian

• W ła ´ncuchu kinematycznym za zmienne wybiera si ˛e parametry par kinematycznych

• Za funkcj ˛e — współrz ˛edne efektora

Y ˙ = J(θ) ˙θ

• Poszukiwane jest rozwi ˛ azanie przybli˙zone

ω

_i

ω

_i

E E

J

_i

J

_i

Z

_i

Z

_i

Z

_i

E – J

_i

Z

_i

× (E – J

_i

)

(23)

Prosty przykład

•Analitycznie

•^Jakobian

23 / 31

• Trzy płaskie przeguby

L 1

L 2 θ 1

θ 2

θ 3

L 3 P 1

P 2

E G

(0, 0)

(24)

Pr ˛edko ´sci

•Analitycznie

•^Jakobian

L1

L 2 θ 1

θ 2

θ 3

L 3 P 1

P 2

E G

(0, 0)

• V = C − E

• V = J ˙ Θ

(25)

Obracanie Jakobianu

•Analitycznie

•^Jakobian

25 / 31

• V = J ˙ Θ

• Θ = J ˙ ⁻¹ V

• Nie zawsze mo˙zliwe

L1

L 2 θ ₁

θ ₂

θ 3

L 3 P 1

P 2

E G

(0, 0)

(26)

Pseudoodwrotno ´s ´c

•Analitycznie

•^Jakobian

• J ^† = J ^T (JJ ^T ) ⁻¹

• Θ = J ˙ ^† V

• Macierz wierszowo regularna

(27)

Regularyzacja

•Analitycznie

•^Jakobian

27 / 31

• Θ = J ˙ ^T (JJ ^T + λ ² I ) ⁻¹ V

(28)

Zwi ˛ekszanie stopnia kontroli

•Analitycznie

•^Jakobian

• Θ 7→ ˙ ˙ Θ + (J ^† J − I )z

• z — parametr steruj ˛ acy

◦ z _i = α _i (θ _i − θ _ci ) ²

• α _i — parametr sztywno´sci przegubu

◦ 0,1, 0,5, 0,1 ^oraz 0,1, 0,1, 0,5

(29)

Przesuwanie punktu docelowego

•Analitycznie

•^Jakobian

29 / 31

(30)

U˙zycie J ^T

•Analitycznie

•^Jakobian

• Θ = αJ ˙ ^T V

• α — parametr steruj ˛ acy

(31)

Cykliczne modyfikowanie współrz ˛ednych

•Analitycznie

•^Jakobian

Modelowanie i Wizualizowanie 3W grafiki. Ła ´ncuchy kinematyczne

1 / 31