Równania Lagrange’a I rodzaju Wykład 9 Karol Kołodziej

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

Rozważmy układ N punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni z więzami różniczkowymi danymi równaniami

3N

X

j=1

a_ijdq_j + a_itdt= 0, i = 1, 2, ..., k,

gdzie współczynniki aij i ait mogą zależeć od współrzędnych uogólnionych i czasu, ale nie zależą od prędkości

aij = aij q1, q2, ..., q3N

| {z }

q

, t
≡ aij(q, t),

a_it = ait q1, q2, ..., q3N

| {z }

q

, t
≡ a_it(q, t).

Rozważmy układ N punktów materialnych w trójwymiarowej przestrzeni z więzami różniczkowymi danymi równaniami

3N

X

j=1

a_ijdq_j + a_itdt= 0, i = 1, 2, ..., k,

gdzie współczynniki aij i ait mogą zależeć od współrzędnych uogólnionych i czasu, ale nie zależą od prędkości

aij = aij q1, q2, ..., q3N

| {z }

q

, t
≡ aij(q, t),

a_it = ait q1, q2, ..., q3N

| {z }

q

, t
≡ a_it(q, t).

Nie zakładamy całkowalności rozpatrywanego układu równań różniczkowych.Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktówa n = 3N współrzędnymi uogólnionymi,

Nie zakładamy całkowalności rozpatrywanego układu równań różniczkowych.Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktówa n = 3N współrzędnymi uogólnionymi, które traktujemy jako niezależne,

Nie zakładamy całkowalności rozpatrywanego układu równań różniczkowych.Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktówa n = 3N współrzędnymi uogólnionymi, które traktujemy jako niezależne,dane są równaniami

~r_i = ~ri(q1, q2, ..., q3N, t) , i = 1, 2, ..., N.

Nie zakładamy całkowalności rozpatrywanego układu równań różniczkowych.Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktówa n = 3N współrzędnymi uogólnionymi, które traktujemy jako niezależne,dane są równaniami

~r_i = ~ri(q1, q2, ..., q3N, t) , i = 1, 2, ..., N.

Odpowiednie przesunięcia wirtualne dane są wzorem δ~r_i =

3N

X

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j, i = 1, 2, ..., N.

Nie zakładamy całkowalności rozpatrywanego układu równań różniczkowych.Dlatego związki pomiędzy wektorami położenia poszczególnych punktówa n = 3N współrzędnymi uogólnionymi, które traktujemy jako niezależne,dane są równaniami

~r_i = ~ri(q1, q2, ..., q3N, t) , i = 1, 2, ..., N.

Odpowiednie przesunięcia wirtualne dane są wzorem

δ~r_i =

3N

X

j=1

∂~r_i

∂qj

δq_j, i = 1, 2, ..., N.

Równania więzów różniczkowych wyrażone przez przesunięcia wirtualne, które są natychmiastowe, przyjmują postać

3N

X

j=1

aijdqj + aitdt = 0 ⇒

3N

X

j=1

aijδqj = 0, i = 1, 2, ..., k.

Równania te wprowadzają zależności pomiędzy przesunięciami wirtualnymi δqj, które przy braku całkowalności nie pozwalają jednak wyeliminować zależnych współrzędnych uogólnionych qj.

Równania więzów różniczkowych wyrażone przez przesunięcia wirtualne, które są natychmiastowe, przyjmują postać

3N

X

j=1

aijdqj + aitdt = 0 ⇒

3N

X

j=1

aijδqj = 0, i = 1, 2, ..., k.

Równania te wprowadzają zależności pomiędzy przesunięciami wirtualnymi δqj, które przy braku całkowalności nie pozwalają jednak wyeliminować zależnych współrzędnych uogólnionych qj. Powtórzymy teraz kilka kolejnych kroków, które zrobiliśmy przy wyprowadzeniu równań Lagrange’a II rodzaju z równania d’Alemberta, ale nie skorzystamy z założenia o niezależności wszystkich współrzędnych uogólnionych qj.

Równania więzów różniczkowych wyrażone przez przesunięcia wirtualne, które są natychmiastowe, przyjmują postać

3N

X

j=1

aijdqj + aitdt = 0 ⇒

3N

X

j=1

aijδqj = 0, i = 1, 2, ..., k.

Równania te wprowadzają zależności pomiędzy przesunięciami wirtualnymi δqj, które przy braku całkowalności nie pozwalają jednak wyeliminować zależnych współrzędnych uogólnionych qj. Powtórzymy teraz kilka kolejnych kroków, które zrobiliśmy przy wyprowadzeniu równań Lagrange’a II rodzaju z równania d’Alemberta, ale nie skorzystamy z założenia o niezależności wszystkich współrzędnych uogólnionych qj.

Rozpatrywany układ N punktów materialnych jest opisywany równaniem d’Alemberta

XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri = 0.

Drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych, zapiszemy w formie

XN

i =1

~F_i·δ~r_i = XN

i =1

~F_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂q_jδq_j

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

" _N X

i =1

~F_i · ∂~r_i

∂q_j

#

| {z }

Qj

δq_j

=

3N

X

j=1

Q_jδq_j,

Rozpatrywany układ N punktów materialnych jest opisywany równaniem d’Alemberta

XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri = 0.

Drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych, zapiszemy w formie

XN

i =1

~F_i·δ~r_i = XN

i =1

~F_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂q_jδq_j

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

" _N X

i =1

~F_i · ∂~r_i

∂q_j

#

| {z }

Qj

δq_j

=

3N

X

j=1

Q_jδq_j,

Rozpatrywany układ N punktów materialnych jest opisywany równaniem d’Alemberta

XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri = 0.

Drugi wyraz w tym równaniu, który opisuje sumę prac wirtualnych wszystkich sił aktywnych, zapiszemy w formie

XN

i =1

~F_i·δ~r_i = XN

i =1

~F_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂q_jδq_j

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

" _N X

i =1

~F_i · ∂~r_i

∂q_j

#

| {z }

Qj

δq_j

=

3N

X

j=1

Q_jδq_j,

zamieniliśmy kolejność sumowaniai wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj

Q_j = XN

i =1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j.

zamieniliśmy kolejność sumowania i wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj

Q_j = XN

i =1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j.

Pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta możemy przekształcić tak jak poprzednio

XN

i =1

mi~r¨_i·δ~ri = XN

i =1

mi~r¨_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂qj

δqj

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δqj,

zamieniliśmy kolejność sumowania i wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj

Q_j = XN

i =1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j.

Pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta możemy przekształcić tak jak poprzednio

XN

i =1

mi~r¨_i·δ~ri = XN

i =1

mi~r¨_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂qj

δqj

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δqj,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~ri i zamieniliśmy kolejność

zamieniliśmy kolejność sumowania i wprowadziliśmy symbolsiły uogólnionej Qj

Q_j = XN

i =1

F~_i · ∂~r_i

∂q_j.

Pierwszy wyraz w równaniu d’Alemberta możemy przekształcić tak jak poprzednio

XN

i =1

mi~r¨_i·δ~ri = XN

i =1

mi~r¨_i ·

3N

X

j=1

∂~r_i

∂qj

δqj

| {z }

δ~ri

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi~r¨_i· ∂~r_i

∂qj

δqj,

gdzie znowu wstawiliśmy wyrażenie na δ~ri i zamieniliśmy kolejność

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu

~r¨_i · ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂q_j

!

− ˙~r_i · d dt

∂~r_i

∂q_j

i wstawmy doń udowodnione wcześniej (patrz Wykład 4) wzory

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

, ∂

∂ql

d dt = d

dt

∂

∂ql

.

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu

~r¨_i · ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂q_j

!

− ˙~r_i · d dt

∂~r_i

∂q_j

i wstawmy doń udowodnione wcześniej (patrz Wykład 4) wzory

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

, ∂

∂ql

d dt = d

dt

∂

∂ql

.

Wówczas otrzymamy

~r¨_i · ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂q_j .

Skorzystajmy z wzoru na pochodną iloczynu

~r¨_i · ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i · ∂~r_i

∂q_j

!

− ˙~r_i · d dt

∂~r_i

∂q_j

i wstawmy doń udowodnione wcześniej (patrz Wykład 4) wzory

∂ ˙~r_i

∂˙ql

= ∂~r_i

∂ql

, ∂

∂ql

d dt = d

dt

∂

∂ql

.

Wówczas otrzymamy

~r¨_i · ∂~r_i

∂q_j = d

dt ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂q_j .

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂

∂˙q_j XN

i =1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂q_j XN

i =1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂

∂˙q_j XN

i =1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂q_j XN

i =1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

=

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂

∂˙q_j XN

i =1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂q_j XN

i =1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

=

3N

X"

d dt

∂T

∂˙q −∂T

∂q

# δq_j,

Wróćmy do pierwszego wyrazu w równaniu d’Alemberta.

XN

i =1

m_i~r¨_i ·δ~r_i =

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i~r¨_i · ∂~r_i

∂q_jδq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

m_i

"

d

dt ˙~r_i · ∂ ˙~r_i

∂˙qj

!

− ˙~r_i· ∂ ˙~r_i

∂qj

# δq_j

=

3N

X

j=1

XN

i =1

mi

"

d dt

1 2

∂ ˙~r_i²

∂˙qj

!

−1 2

∂ ˙~r_i²

∂qj

# δqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂

∂˙q_j XN

i =1

1 2 mi˙~r_i²

!

− ∂

∂q_j XN

i =1

1 2mi˙~r_i²

!#

δqj

=

3N

X"

d dt

∂T

∂˙q −∂T

∂q

# δq_j,

gdzie wprowadziliśmy wzór na energię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i =1

1 2 m_i˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri =

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

− ∂T

∂qj

# δqj −

3N

X

j=1

Qjδqj

gdzie wprowadziliśmy wzór na energię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i =1

1 2 m_i˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri =

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

− ∂T

∂qj

# δqj −

3N

X

j=1

Qjδqj

=

gdzie wprowadziliśmy wzór na energię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i =1

1 2 m_i˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri =

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

− ∂T

∂qj

# δqj −

3N

X

j=1

Qjδqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙q_j − ∂T

∂q_j −Qj

#

δqj = 0.

gdzie wprowadziliśmy wzór na energię kinetyczną układu N punktów materialnych

T = XN

i =1

1 2 m_i˙~r_i².

Wstawmy otrzymane wyniki do równania d’Alemberta XN

i =1



mi~r¨_i − ~Fi



·δ~ri =

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

− ∂T

∂qj

# δqj −

3N

X

j=1

Qjδqj

=

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙q_j − ∂T

∂q_j −Qj

#

δqj = 0.

Załóżmy, że istnieje potencjał uogólniony V (q, ˙q, t), który wiąże się z siłą uogólnioną Qj wzorem

Qj = d dt

∂V

∂˙qj

−∂V

∂qj

i wstawmy wyrażenie na Qj do naszego równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

− d dt

∂V

∂˙qj

+∂V

∂qj

# δqj =

Załóżmy, że istnieje potencjał uogólniony V (q, ˙q, t), który wiąże się z siłą uogólnioną Qj wzorem

Qj = d dt

∂V

∂˙qj

−∂V

∂qj

i wstawmy wyrażenie na Qj do naszego równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

− d dt

∂V

∂˙qj

+∂V

∂qj

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂(T − V )

∂˙q_j − ∂(T − V )

∂q_j

# δqj =

Załóżmy, że istnieje potencjał uogólniony V (q, ˙q, t), który wiąże się z siłą uogólnioną Qj wzorem

Qj = d dt

∂V

∂˙qj

−∂V

∂qj

i wstawmy wyrażenie na Qj do naszego równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

− d dt

∂V

∂˙qj

+∂V

∂qj

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂(T − V )

∂˙q_j − ∂(T − V )

∂q_j

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j

#

δqj = 0,

Załóżmy, że istnieje potencjał uogólniony V (q, ˙q, t), który wiąże się z siłą uogólnioną Qj wzorem

Qj = d dt

∂V

∂˙qj

−∂V

∂qj

i wstawmy wyrażenie na Qj do naszego równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

− d dt

∂V

∂˙qj

+∂V

∂qj

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂(T − V )

∂˙q_j − ∂(T − V )

∂q_j

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j

#

δqj = 0,

gdzie wprowadziliśmy funkcję Lagrange’a L = T − V .

Załóżmy, że istnieje potencjał uogólniony V (q, ˙q, t), który wiąże się z siłą uogólnioną Qj wzorem

Qj = d dt

∂V

∂˙qj

−∂V

∂qj

i wstawmy wyrażenie na Qj do naszego równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂T

∂˙qj

−∂T

∂qj

− d dt

∂V

∂˙qj

+∂V

∂qj

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂(T − V )

∂˙q_j − ∂(T − V )

∂q_j

# δqj =

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j

#

δqj = 0,

gdzie wprowadziliśmy funkcję Lagrange’a L = T − V .

Tym razem nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj,

j = 1, 2, ..., 3N, są niezależne, gdyż istnieje pomiędzy nimi k zależności danych równaniami więzów różniczkowych

3N

X

j=1

aijδqj = 0, i = 1, 2, ..., k.

Dlatego nie wszystkie współczynniki znikającej kombinacji liniowej

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0 muszą się zerować.

Tym razem nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj,

j = 1, 2, ..., 3N, są niezależne, gdyż istnieje pomiędzy nimi k zależności danych równaniami więzów różniczkowych

3N

X

j=1

aijδqj = 0, i = 1, 2, ..., k.

Dlatego nie wszystkie współczynniki znikającej kombinacji liniowej

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

muszą się zerować.

Pomnóżmy każde z równań więzów

3N

X

j=1

a_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

przez dowolny, niezerowy współczynnik λi, czyli tzw. mnożnik Lagrange’a.Wówczas otrzymamy układ k równań postaci

λ_i

3N

X

j=1

a_ijδq_j =

3N

X

j=1

λ_ia_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

Pomnóżmy każde z równań więzów

3N

X

j=1

a_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

przez dowolny, niezerowy współczynnik λi, czyli tzw. mnożnik Lagrange’a.Wówczas otrzymamy układ k równań postaci

λ_i

3N

X

j=1

a_ijδq_j =

3N

X

j=1

λ_ia_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

Dodając stronami wszystkie k równań tego układu otrzymamy

Xk X^3N

λiaijδqj =

3N

XX^k

λiaijδqj = 0.

Pomnóżmy każde z równań więzów

3N

X

j=1

a_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

przez dowolny, niezerowy współczynnik λi, czyli tzw. mnożnik Lagrange’a.Wówczas otrzymamy układ k równań postaci

λ_i

3N

X

j=1

a_ijδq_j =

3N

X

j=1

λ_ia_ijδq_j = 0, i = 1, 2, ..., k.

Dodając stronami wszystkie k równań tego układu otrzymamy Xk X^3N

λiaijδqj =

3N

XX^k

λiaijδqj = 0.

Odejmijmy to równanie stronami od równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

Wówczas otrzymamy

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂qj

− Xk

i =1

λiaij

#

δqj = 0.

Odejmijmy to równanie stronami od równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

Wówczas otrzymamy

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂qj

− Xk

i =1

λiaij

#

δqj = 0.

Co prawda nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj są niezależne,

Odejmijmy to równanie stronami od równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

Wówczas otrzymamy

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂qj

− Xk

i =1

λiaij

#

δqj = 0.

Co prawda nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj są niezależne,a ściślej mówiąc k spośród nich jest zależnych,

Odejmijmy to równanie stronami od równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

Wówczas otrzymamy

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂qj

− Xk

i =1

λiaij

#

δqj = 0.

Co prawda nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj są niezależne, a ściślej mówiąc k spośród nich jest zależnych,ale teraz mamy do dyspozycji k dowolnych mnożników Lagrange’a λi,

Odejmijmy to równanie stronami od równania

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j

#

δq_j = 0

Wówczas otrzymamy

3N

X

j=1

"

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂qj

− Xk

i =1

λiaij

#

δqj = 0.

Co prawda nie wszystkie przesunięcia wirtualne δqj są niezależne, a ściślej mówiąc k spośród nich jest zależnych,ale teraz mamy do dyspozycji k dowolnych mnożników Lagrange’a λi,

które możemy dobrać w taki sposób, żeby wszystkie współczynniki otrzymanej kombinacji liniowej znikały.

Zatem otrzymujemy układ równań postaci

d dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j − Xk

i =1

λ_ia_ij = 0, j = 1, 2, ..., 3N,

które możemy dobrać w taki sposób, żeby wszystkie współczynniki otrzymanej kombinacji liniowej znikały.

Zatem otrzymujemy układ równań postaci d

dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j − Xk

i =1

λ_ia_ij = 0, j = 1, 2, ..., 3N,

który możemy zapisać ostatecznie w formierównań Lagrange’a I rodzaju

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j = Xk

i =1

λiaij, j = 1, 2, ..., 3N.

które możemy dobrać w taki sposób, żeby wszystkie współczynniki otrzymanej kombinacji liniowej znikały.

Zatem otrzymujemy układ równań postaci d

dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j − Xk

i =1

λ_ia_ij = 0, j = 1, 2, ..., 3N,

który możemy zapisać ostatecznie w formierównań Lagrange’a I rodzaju

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j = Xk

i =1

λiaij, j = 1, 2, ..., 3N.

Jest to układ 3N równań różniczkowych drugiego rzędu z 3N + k niewiadomymi,

które możemy dobrać w taki sposób, żeby wszystkie współczynniki otrzymanej kombinacji liniowej znikały.

Zatem otrzymujemy układ równań postaci d

dt

∂L

∂˙qj

− ∂L

∂q_j − Xk

i =1

λ_ia_ij = 0, j = 1, 2, ..., 3N,

który możemy zapisać ostatecznie w formierównań Lagrange’a I rodzaju

d dt

∂L

∂˙q_j − ∂L

∂q_j = Xk

i =1

λiaij, j = 1, 2, ..., 3N.

Jest to układ 3N równań różniczkowych drugiego rzędu z 3N + k niewiadomymi,na które składa się