Zadania domowe 16-20
(termin: 12 czerwca 2017)
Zadanie 16
Znajd´ z wsp´ o lczynniki a
0, a
1, a
2wielomianu trygonometrycznego g(t) = a
0+ a
1cos t + a
2sin t,
kt´ ory najlepiej aproksymuje funkcj e x 7→ | sin(t/2)| w normie C([−π, π]).
,Zadanie 17
Rozpatrzmy kwadratury postaci
Q
n,s(f ) =
n
X
i=0 s
X
j=0
a
i,jf
(j)(x
i),
gdzie 0 ≤ x
0< x
1< · · · < x
n≤ 1, dla aproksymacji ca lki I(f ) = R
10
f (x) dx. Jaki jest maksymalny rz ad takich kwadratur w zale˙zno´sci od n i s?
,Zadanie 18
Niech ˆ T
n(f ) b edzie z lo˙zon
,a kwadratur
,a trapez´
,ow dla aproksymacji ca lki S(f ) = R
ba
f (x) dx, opart a na r´
,ownomiernym podziale odcinka [a, b] na n pododcink´ ow. Niech
Q ˆ
n(f ) = ˆ T
n(f ) − (b − a)
212n
2f
0(b) − f
0(a).
Wyka˙z, ˙ze je´sli f ∈ C
4([a, b]) to b l ad kwadratury |S(f ) − ˆ
,Q
n(f )| zbiega do zera co najmniej tak szybko jak n
−4gdy n → ∞.
Zadanie 19
Niech Q(a, b; f ) b edzie prost
,a trzypunktow
,a kwadratur
,a Simpsona na przedziale [a, b]. Niech
,S(a, b; f ) = R
ba
f (x) dx. Znajd´ z j adro Peano, czyli funkcj
,e ψ = ψ(a, b; ·) tak
,a, ˙ze dla ka˙zdej
,f ∈ C
4([a, b]) mamy
S(a, b; f ) − Q(a, b; f ) = Z
ba
ψ(a, b; t)f
(4)(t) dt.
Zadanie 20
Je´sli f
0istnieje, jest ci ag la i dodatnia w [a, b] oraz f (a)f (b) < 0 to istnieje dok ladnie jedno
,zero w (a, b). Wyka˙z, ˙ze to zero mo˙zna otrzyma´ c w granicy stosuj ac metod
,e iteracji prostych
,x
n+1= F (x
n) do funkcji F (x) = x + λf (x), dla pewnej warto´sci parametru λ.
Zadanie dodatkowe
Niech F b edzie klas
,a funkcji f : [0, 1] → [0, 1] takich, ˙ze f (0) = f (1) oraz f jest lipschitzowska
,ze sta l a 1. Ca lk
,e
,S(f ) = Z
10
f (x) dx, f ∈ F,
2
aproksymujemy algorytmem u˙zywa acym jedynie warto´sci f w n punktach, tzn. przy pomocy
,formu ly
A
n(f ) = Φ f (x
1), f (x
2), . . . , f (x
n),
gdzie 0 ≤ x
1≤ x
2≤ · · · ≤ x
n≤ 1, a Φ : R
n→ R jest dowolnym przekszta lceniem. Jak dobra´ c punkty x
ioraz przekszta lcenie Φ aby zminimalizowa´ c b l ad
,E
n(Φ, x
1, . . . , x
n) = sup
f ∈F
