matematyka, sp.: zas, mef, nam, mii Prowadzący: dr Agnieszka Goroncy WEKTORY LOSOWE Rozkład dyskretny wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez tablic¸e Y \X x1 x2 x3

Projekt pn. „ IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK ” realizowany w ramach Poddziałania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki

Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobieństwa I rok II st. matematyka, sp.: zas, mef, nam, mii

Prowadzący: dr Agnieszka Goroncy

WEKTORY LOSOWE

Rozkład dyskretny wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez tablic¸e

Y \X x₁ x₂ x₃ ...

y1 p(x1, y1) p(x2, y1) p(x3, y1) ...

y₂ p(x₁, y₂) p(x₂, y₂) p(x₃, y₂) ...

... ... ... ... ...

gdzie p(x_i, y_j) = P(X = xi, Y = y_j). Liczby p(x_i, y_j) spełniaj¸a nast¸epuj¸ace warunki:

p(x_i, y_j) ≥ 0 oraz

X

i,j

p(x_i, y_j) = 1.

Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y to zbiory liczb P(X = xi) oraz P(Y = yj) takie, że:

P(X = xⁱ) = X

j

p(x_i, y_j),

P(Y = yj) = X

i

p(x_i, y_j).

Rozkład ci¸agły wektora losowego (X, Y ) jest wyznaczony przez g¸estość prawdopo- dobieństwa f (x, y) ≥ 0, podan¸a warunkiem

Z

R

Z

R

f (x, y)dxdy = 1.

Dla A ∈ B(R²) prawdopodobieństwo dane jest wzorem P ((X, Y ) ∈ A) =

Z

A

f (x, y)dxdy.

Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) dana jest wzorem

F (x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) =

x

Z

−∞

y

Z

−∞

f (u, v)dvdu,

zatem

f (x, y) = ∂F (x, y)

∂x∂y .

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Rozkłady brzegowe zmiennych X oraz Y :

f_X(x) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dy,

f_Y(y) =

∞

Z

−∞

f (x, y)dx.

X, Y - niezależne ⇔ F_X,Y(x, y) = F_X(x)F_Y(y) ⇔ f_X,Y(x, y) = f_X(x)f_Y(y).

Wartość oczekiwana zmiennej losowej Z = g(X, Y ) dana jest wzorem EZ = E(g(X, Y )) =

Z

R

Z

R

g(x, y)f (x, y)dxdy.

Wartość oczekiwana wektora losowego ¯X = (X₁, . . . .X_n)^T jest wektorem E ¯X = (EX₁, . . . , EX_n)^T.

Współczynnik kowariancji zmiennych X i Y dany jest wzorem

Cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] = E(XY ) − EXEY.

St¸ad

Cov(X, X) = E(X − EX)² = V ar(X).

Zmienne losowe X i Y s¸a nieskorelowane, gdy Cov(X, Y ) = 0.

FAKT: Jeżeli zmienne losowe s¸a niezależne, to s¸a nieskorelowane.

Macierz¸a kowariancji wektora losowego ¯X = (X₁, . . . .X_n)^T nazywamy macierz o wymiarze n × n o współczynnikach σ_ij = Cov(X_i, X_j), i, j = 1, . . . , n (o ile taka istnieje):

V AR( ¯X) =





V ar(X1) . . . Cov(X1, Xn) . . . .

Cov(X_n, X₁) . . . V ar(X_n)



 Współczynnik korelacji zmiennych X, Y dany jest wzorem

corr(X, Y ) = Cov(X, Y ) pV ar(X)V ar(Y ),

jeżeli D²X > 0, D²Y > 0, oraz corr(X, Y ) = 0 w przeciwnym przypadku.

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego