Matematyka IV Wielomiany
1. Wykonaj dzielenie wielomianów a) (x − 8x + 15x − 8) ∶ (x − 1) b) (6x + 31x + 8x − 45) ∶ (3x + 5)
c) (x − x − 34x + 57x − 21): ( x − 6x + 3)
2. Wykaż, że liczba -1 jest podwójnym pierwiastkiem każdego z następujących wielomianów
a) x + 7x + 11x + 5
b) 4x + 8x − 7x − 22x − 11 3. Rozwiąż równania
a) x − x − x + 1 = 0 b) x − 5x − x + 5 = 0 c) x + 2x − 4x − 8 = 0 d) x − 3x − 2 = 0 e) x − 7x + 6 = 0 f) x − 2x − 5x + 6 = 0 g) x − 6x + 11x − 6 = 0
4. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez (x − 1)(x − 2) Wiedząc, że W(1) = 2, W(2) = 0
5. Reszta z dzielenia wielomianu W przez (x+2) jest równa 6, a przez (x-1) jest równa 3.
Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W przez x + x − 2.
6. Wielomian W(x) przy dzieleniu przez (x − 1), (x + 2), (x − 3) daje resztę odpowiednio równą 5, 2, 27. Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian (x − 1)(x + 2)(x − 3).
7. Dla jakich wartości parametru a, b wielomian W(x) jest podzielny przez wielomian P(x), jeśli
W(x) = x − 2x + ax − 3x + b, P(x) = x − 3x + 2
8. Dla jakich wartości parametrów a, b liczba r jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x), jeśli
a) W(x) = x − 2x + 6x + ax + b, r = 1 b) W(x) = x − ax + bx + 12, r = 2
9. Dla jakich wartości parametru a, liczba r jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu W(x) = x − 2x + ax + b, r = 1
10. Dla jakich wartości parametru m równanie
x − 2(m + 1)x + (2m + 3m + 1)x = 0 ma trzy pierwiastki, z których dwa są dodatnie.
11. Rozwiąż nierówności
a) (x − 1)(x − 2)(x − 3) > 0 b) (x + 1) (x − 5) (x + 5) < 0 c) x (8 − x) (x + 6) (x − 15) ≥ 0
12. Zapisz wielomian W(x) = x + 2x + 5x + 4x + 3 jako iloczyn dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych.
13. Podaj wzór wielomianu 3 i 5 stopnia na podstawie wykresu
14. Na podstawie wykresu funkcji W(x), a W(x) jest wielomianem czwartego stopnia oblicz f(10)
15. Dany jest wielomian W(x) = x + 4x + p, gdzie p jest liczbą pierwszą. Znajdź p wiedząc, że W(x) ma pierwiastek całkowity
16. Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej x, wartość wielomianu W(x) = x#− 5x + 4x jest liczbą podzielną przez 120.
17. Uzasadnij, że jeżeli W(x) = x + px + g ma 3 różne pierwiastki, to p jest liczbą ujemną.
18. Dla jakich liczb rzeczywistych c wielomian W(x) = (x − 2)(x + 2x + c) ma trzy różne pierwiastki?
19. Znajdź te wartości współczynnika b, dla których wielomian W(x) = x + bx + x ma trzy różne pierwiastki nieujemne?
20. Wielomian W(x) = x − ax + bx − 24x + 9 jest kwadratem wielomianu P(x) = x + cx + d. Oblicz a i b.
21. Wykaż, że nie istniej wielomian W(x) stopnia trzeciego o współczynnikach całkowitych, który spełnia warunki W(2) = 3, W(−2) = 2
22. Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W(x) = x + ax + bx + 1.
Wiedząc, że W(2)=7 oraz, że reszta z dzielenia W(x) przez (x-3) jest równa 10.
23. Wiadomo, że pierwiastkami wielomianu W(x) = x + ax + bx + 6 są liczby -1 i 2.
Rozwiąż nierówność W(x)>0
24. Reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez(x − 1), (x + 1), (x + 2) są odpowiednio równe 1, -1, 3. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian
)(*) = (* − 1)(* + 1)(* + 2)
25. Dany jest wielomian +(*) = 2* + ,* + -* + 8. Wyznacz liczby m i n, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x+2) jest równa 4 i jednym z pierwiastków jest liczba -1. Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.
26. Wielomian +(*) = * + .* + /* = 24* + 9 jest kwadratem wielomianu )(*) = * + 0* + 1. Oblicz a oraz b.
27. Wielomian +(*) = * − 2* − 3* + 4* − 1 przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że
współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.
28. Przy dzieleniu wielomianu +(*) przez dwumian (x-1) otrzymujemy iloraz
2(*) = 8* + 4* − 14 oraz resztę 3(*) = −5. Oblicz pierwiastki wielomianu W(x).
29. Wielomian f, którego fragment wykresu przedstawiono na poniższym rysunku spełnia warunek 4(0) = 90. Wielomian g dany jest wzorem 5(*) = * − 14* + 63* − 90.
Wykaż, że 5(*) = −4(−*) dla * ∊ 3.
