JeŜeli funkcja f spełnia warunki:

6. Twierdzenia o pochodnych

Twierdzenie 6.1 (Rolle’a)

JeŜeli funkcja f spełnia warunki:

1. jest ciągła na [ ] ^{a, b ,}

2. ma pochodną w ( b a , ) , 3. f ( a ) = f ( b ) ,

to istnieje punkt c ∈ ( b a , ) taki, Ŝe f ′ ( c ) = 0 . Przykład

Niech f ( x ) = ³ x ⁴ + 1 , x ∈ [− 1 , 1 ] . Łatwo sprawdzić, Ŝe funkcja f spełnia załoŜenia twierdzenia Rolle’a. Mamy ponadto f ( x ) x ^{4 3} 1 ′ = ₃ ⁴ x ^{1 3}

 

 



 +

′ = , skąd f ′ ( 0 ) = 0 , czyli c = 0 .

Twierdzenie 6.2 (Lagrange’a)

JeŜeli funkcja f spełnia warunki:

1. jest ciągła na [ ] ^{a, b ,}

2. ma pochodną w ( b a , ) ,

to istnieje punkt c ∈ ( b a , ) taki, Ŝe

a b

a f b c f

f −

= −

′ ( ) ( )

)

( .

Przykład Niech

x x

f = +

1 ) 1

( , x ∈ [ 0 , 3 ] . Łatwo sprawdzić, Ŝe funkcja f spełnia załoŜenia twierdzenia Lagrange’a. Mamy ponadto ₂

) 1 ( ) 1

( x x

f +

= −

′ oraz

4 1 3

1 0

3 ) 0 ( ) 3

( = ₄ ¹ − = −

−

− f

f ,

skąd f ′ ( 1 ) = − ₄ ¹ , czyli c = 1 . Twierdzenie 6.3

Niech ( a , b ) ⊂ R oraz f : ( a , b ) → R będzie róŜniczkowalna w tym przedziale. JeŜeli dla kaŜdego x ∈ ( b a , )

1. f ′ ( x ) = 0 , to f jest stała na ( b a , ) ,

2. f ′ ( x ) > 0 , to f jest rosnąca na ( b a , ) ,

3. f ′ ( x ) < 0 , to f jest malejąca na ( b a , ) ,

4. f ′ ( x ) ≥ 0 , to f jest niemalejąca na ( b a , ) ,

5. f ′ ( x ) ≤ 0 , to f jest nierosnąca na ( b a , ) . Przykład

Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f ( x ) = 3 x ⁵ − 5 x ³ . PoniewaŜ f ′ ( x ) = 15 x ⁴ − 15 x ² = 15 x ² ⋅ ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) , zatem f ′ ( x ) > 0 dla

) , 1 ( ) 1 ,

( −∞ − ∪ ∞

∈

x oraz f ′ ( x ) < 0 dla x ∈ ( − 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) . Na podstawie twierdzenia

moŜemy wnioskować, Ŝe funkcja jest rosnąca w przedziale ( −∞ , − 1 ) i w przedziale ( 1 , ∞ ) oraz funkcja jest malejąca w przedziale (− 1 , 0 ) i w przedziale ( 0 , 1 ) .

Twierdzenie 6.4 (Cauchy’ego)

JeŜeli funkcje f i g spełniają warunki 1. są ciągłe na [ b a , ] ,

2. maja pochodne w ( b a , ) ,

3. g ′ ( x ) ≠ 0 dla kaŜdego x ∈ ( b a , ) , to istnieje punkt c ∈ ( b a , ) taki, Ŝe

) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

a g b g

a f b f c g

c f

−

= −

′

′ .

Twierdzenie 6.5 (reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności [ ₀ ⁰ ] ) Niech

1. funkcje g

f i g

f

′

′ będą określone w sąsiedztwie S (a ) ,

2. lim ( ) = lim ( ) = 0

→

→ f x g x

a x a

x ,

3. istnieje granica

) (

) ( lim '

x g

x f

a

x ^→ ′ .

Wtedy

) (

) lim ( ) (

) lim (

x g

x f x

g x f

a x a

x ′

= ′

→

→ .

Uwaga

PowyŜsze twierdzenie jest prawdziwe takŜe dla granic jednostronnych w punkcie a oraz dla granic w − ∞ i w + ∞ ^.

Przykłady

1 1 lim cos lim sin

0

0 = =

→

→

x x

x

x H

x ,

1 1 1 lim lim

0

0 − = =

→

→

x

x x H

x

e x

e ,

1 4 lim 2 2

lim 4

2 2

2 = =

−

−

→

→

x x

x

x H

x .

Twierdzenie 6.5 (reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności [ _∞ ^∞ ] ) Niech

1. funkcje g

f i g

f

′

′ będą określone w sąsiedztwie S (a ) ,

2. = ±∞ = ±∞

→

→ ( ) , lim ( )

lim f x g x

a x a

x ,

3. istnieje granica

) (

) ( lim '

x g

x f

a

x ^→ ′ .

Wtedy

) (

) lim ( ) (

) lim (

x g

x f x

g x f

a x a

x ′

= ′

→

→ .

Uwaga

PowyŜsze twierdzenie jest prawdziwe takŜe dla granic jednostronnych w punkcie a oraz dla granic w − ∞ i w + ∞ ^.

Przykłady

4 1 24 lim 6 12

2 lim 3

2 4

1

lim 2 ₂

2

3 3

=

− = + =

+

−

∞

→

∞

→

∞

→ x

x x

x x

x x

x H

x H

x ,

1 1 cos 1

lim 1 lim sin

sin lim ln lim ln

0 sin 0

cos 1

0

0

₊

=

₊

=

₊

⋅

₊

= ⋅ =

→

→

→

→ x x

x x

x

x x x

x x x H

x .

Uwaga

Inne nieoznaczoności, a mianowicie: [ 0 ⋅ ∞ ] , [ ∞ − ∞ ] , [ 1 ^∞ ] , [ ∞ ⁰ ] , [ 0 ⁰ ] sprowadzamy do nieoznaczoności [ ₀ ⁰ ] lub [ _∞ ^∞ ] .

Przykłady ] 0

[ ⋅ ∞ ln lim lim 0

lim ln

lim

1 0 1

1 0 0

0

2

=

−

− =

=

=

_{+ + +}

+

→ → →

→ x x

x x

x x x x H

x x x

,

]

[ ∞ − ∞ 0

sin cos

2 lim sin cos

sin cos lim 1

sin lim sin 1

sin lim 1

0 0

0

0 =

= − +

= −

= −

 

 



 −

→

→

→

→ x x x

x x

x x

x x

x x x x

x ^x

H

x H

x

x ,

] 1

[ ^∞ x x _x e

x H x

x x x

x x

x = = = = =

− →

− →

→

−

→ lim exp[ ln ] exp[ lim ] exp[ lim ] exp[ 1 ]

lim ¹

1 1 ln 1 1

1 1 1 1

1 ,

]

[ ∞ ⁰ lim ¹ = lim exp[ ^ln ] = exp[ lim ^ln ] = exp[ lim ¹ ] = exp[ 0 ] = 1

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→ x x

H x

x x x

x x

x

x x ,

] 0

[ ⁰ lim exp[ lim ln ] exp[ 0 ] 1

0

0

₊

=

₊

= =

→

→ x x x

x x

x

.

Definicja 6.1

Niech a ∈ R oraz f : U ( a ) → R .

Mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie a minimum lokalne właściwe, co zapisujemy ) min

( a f

f = ^{, jeŜeli}

) ( ) (

)

( f x f a

a S

x ∀ >

∈ .

Mówimy, Ŝe funkcja f ma w punkcie a maksimum lokalne właściwe, co zapisujemy ) max

( a f

f = , jeŜeli

) ( ) (

)

( f x f a

a S

x ∀ <

∈ .

Uwagi

1. JeŜeli U ( a ) = D _f , to mówimy odpowiednio o minimum lub maksimum globalnym.

2. JeŜeli nierówności „ < ” lub „ > ” zastąpimy „ ≤ ” lub „ ≥ ”, to mówimy odpowiednio o minimum lub maksimum niewłaściwym.

3. Minimum i maksimum obejmujemy jedną nazwą ekstremum.

Przykłady

Funkcja f ( x ) = x ma minimum w punkcie a = 0 , gdyŜ f ( x ) = x > 0 = f ( 0 ) ^dla kaŜdego x ≠ 0 . Jest to nawet minimum globalne.

Funkcja f ( x ) = 2 − x ⁴ ma maksimum w punkcie a = 0 , gdyŜ )

0 ( 2 2

)

( x x ⁴ f

f = − < = dla kaŜdego x ≠ 0 . Jest to takŜe maksimum globalne.

Twierdzenie 6.6 (warunek konieczny ekstremum) JeŜeli

1. f ( a ) = f _ext ,

2. f ma pochodną f ′ (a ) , to f ′ ( a ) = 0 .

Przykłady

Funkcja f ( x ) = 2 − x ⁴ spełnia załoŜenia twierdzenia 6.6 w punkcie a = 0 . PoniewaŜ 4 3

)

( x x

f ′ = − , zatem spełniona jest takŜe teza tego twierdzenia f ′ ( 0 ) = 0 . Uwaga

Implikacja odwrotna jest fałszywa. Świadczy o tym przykład funkcji f ( x ) = x ³ , która spełnia w punkcie a = 0 warunek f ′ ( 0 ) = 0 , ale nie ma ekstremum w tym punkcie.

Twierdzenie 6.7 (warunek dostateczny istnienia ekstremum) JeŜeli

1. f ma pochodną w kaŜdym punkcie x ∈ U (a ) , 2. f ′ ( a ) = 0 ,

3. f ′ ( x ) > 0 dla x ∈ S ₋ (a ) ^oraz f ′ ⁽ x ⁾ < ⁰ dla x ∈ S ₊ (a ) ^, 4. f ′ ( x ) < 0 dla x ∈ S ₋ (a ) ^oraz f ′ ⁽ x ⁾ > ⁰ dla x ∈ S ₊ (a ) ^,

to f ( a ) = f _ext , przy czym f ( a ) = f _max , gdy spełniony jest warunek 3 albo f ( a ) = f _min ^{, gdy} spełniony jest warunek 4.

Przykład

Niech f ( x ) = x ³ − 3 x ² + 4 . PoniewaŜ f ′ ( x ) = 3 x ² − 6 x = 3 x ⋅ ( x − 2 ) , to f ′ ( x ) = 0 , gdy x = 0 lub x = 2 . Ponadto f ′ ( x ) > 0 , gdy x ∈ ( −∞ , 0 ) ∪ ( 2 , ∞ ) oraz f ′ ( 0 ) < 0 , gdy

) 2 , 0

∈ (

x . Zatem na mocy twierdzenia 6.7 stwierdzamy, Ŝe f ( 0 ) = f _max = 4 oraz 0

) 2

( = f _min =

f .