Seria nr 9. Termin oddania — brak.

Seria nr 9. Termin oddania — brak.

W rozwiązaniach można i należy korzystać ze wszystkich faktów i twierdzeń podanych na zajęciach.

Na kartkach w tym tygodniu nie oddają Państwo żadnych zadań, choć bardzo polecam zrobienie zadania 2 i obejrzenie 4. Zadania można - jak co tydzień - odddać (ładnie spisane) na kartkach.

(jest szansa na zdobycie jakiś plusów, np. za dobrze zrobione zadanie 4)

1. Wykaż, że jeśli przestrzeń X, na której mamy miarę jest skończona, to wystarczy badać skoń- czoną addytywność. (czyli że wystarczy wykazać własność miary dla sum skończonych)

2. Rozpatrzmy zbiór X = {1, 2, 3, 4, 5}. Sprawdź, które z poniższych funkcji µ : P(X) → R + są miarami. (ułatwieniem jest skorzystanie z poprzedniego zadania) Które miary są probabili- styczne?

a) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = suma elementów zbioru A b) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = iloczyn elementów zb. A

c) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = ilość parzystych elementów zb. A

d) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = różnica największego elementu i najmniejszego zb. A e) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = suma nieparzystych elementów zb. A

f) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = największy element zb. A

g) Dla A ⊂ X definiujemy µ(A) = suma pierwiastków elementów zb. A

3. Czy istnieje miara ν w zbiorze liczb naturalnych (bez 0), taka że ν({k}) = ₂ ¹

dla każdego k ∈ N \ {0}. Czy taka miara jest probabilistyczna?

4. Wprowadźmy oznaczenie:

A + x = {a + x : a ∈ A}. (Czyli np. [0, 1] + ¹ ₂ = [ ¹ ₂ ; ³ ₂ ]).

Zauważmy, że miara Lebesgue’a (jednowymiarowa) ma tę przyjemną własność, że l ₁ (A + x) = l ₁ (A). (nazywamy taką własność przesuwalnością)

Część 1. Zdefiniujmy relację ∼ w następujący sposób: x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Q. Pokaż, że ta relacja jest relacją równoważności, czyli że jest zwrotna, przechodnia i symetryczna.

Skoro jest relacją równoważności, to dzieli odcinek [0, 1] na klasy abstrakcji. Wybierzmy po jednym elemencie z każdej klasy abstrakcji i niech U będzie zbiorem tych elementów.

Część 2. Pokaż, że jeśli v, w ∈ Q oraz v 6= w, to (U + v) ∩ (U + w) = ∅.

Część 3. Niech ciąg (w _i ) ^∞ _i=1 zawiera wszystkie liczby wymierne z odcinka [−1, 1]. Udowodnić,

że _∞

[

i=1

(U + w _i ) ⊃ [0, 1].

Część 4. Wywnioskować, że zbiór U jest niemierzalny, tzn. że jeśli przypiszemy mu jakąkolwiek miarę, to otrzymamy sprzeczność.

Uwagi do tego zadania: Część 1 jest bardziej zadaniem z logiki (łatwym). Części 2 i 3 wyma-

gają tylko i wyłącznie zrozumienia definicji zbioru U . (nie — wyobrażenia sobie jak ten zbiór

wygląda, co jest prawdopodobnie niemożliwe) W Części 4 trzeba skorzystać z przesuwalności

miary Lebesgue’a oraz z tego, że l ₁ ([0, 1]) = 1. Ogólnie wszystkie zadania wymagają wyłącznie

operowania zbiorami i elementami zbiorów.