Zadanie 1 (4p + 4p). Udowodnij, że:

Dyskretna Matematyka dyskretna Semestr letni 2018/2019

Kraków 25 kwietnia 2019

Kolokwium 1

Zadanie 1 (4p + 4p). Udowodnij, że:

(i) w każdej n-elementowej klice, której każda krawędź pokolorowana jest na czerwono lub niebiesko, znajdziemy monochromatyczną ścieżkę długości b ⁿ ₂ c,

(ii) w każdym n-elementowym turnieju, w którym każda skierowana krawędź pokolo- rowana jest na czerwono lub niebiesko, znajdziemy wierzchołek v taki, że każdy inny wierzchołek x turnieju leży na pewnej monochromatycznej ścieżce skierowanej prowadzącącej od v do x.

Zadanie 2 (6p). Wykaż, że dla każdych r, l ­ 1 istnieje n takie, że dla każdego koloro- wania c : 2 ^[n] → [r] istnieje podzbiór T ⊂ [n] liczności l taki, że dla każdego i = 1, . . . , l wszystkie podzbiory T rozmiaru i mają ten sam kolor.

Zadanie 3 (5p). Znajdź wzór na n-ty wyraz ciągu u _n określonego zależnością rekuren- cyjną:

u ₀ = 0, u ₁ = 1, u _n+2 − u _n+1 − 6u _n = n dla n ­ 0.

Zadanie 4 (3p+3p+3p). Zakładając, że A(x) jest funkcją tworzącą ciągu a _n , podaj funkcję tworzącą dla ciągu:

(i) b _n = ^{P n} _i=0 (i + 1)a _i , (ii) c n = ^{P n} _i=0 (n + 1 − i)a i ,

(iii) d _n = ^{P n} _k=0 ^P {a _i

· . . . · a _i

: i ₁ + . . . + i _k = n, i _j ­ 1}.

Zadanie 5 (6p). Powiemy, że punkt A = (a ₁ , a ₂ ) ∈ R ² jest na prawo i do góry względem punktu B = (b ₁ , b ₂ ) ∈ R ² jeżeli b ₁ < a ₁ oraz b ₂ < a ₂ . Pojęcia A jest na prawo/lewo i do góry/dołu względem B są zdefiniowane analogicznie.

Niech P będzie zbiorem n punktów płaszczyzny, z których każde dwa mają różne współ- rzędne OX i OY , niech k = d √

ne. Wykaż, że w zbiorze P znajdziemy punkty A ₁ , . . . , A _k takie, że dla każdego i ∈ [k] punkty A ₁ . . . A _i−1 leżą na lewo i w dół od A _i a punkty A _i+1 , . . . , A _k leżą na prawo i w górę od A i lub punkty B 1 , . . . , B _k takie, że dla każdego i ∈ [k] punkty B ₁ . . . B _i−1 leżą na lewo i w górę od B _i a punkty B _i+1 , . . . , B _k leżą na prawo i w dół od B _i .

Zadanie 6 (4p+4p). Ile jest ciągów (x ₁ , . . . , x _k ) takich, że x _i ∈ [n] dla każdego i ∈ [k], spełniających warunek:

(i) Dla każdego i ∈ [k − 1] zachodzi |x _i − x _i+1 | ­ 2.

(ii) Dla każdego i ∈ [n] liczba wystąpień elementów ze zbioru {1, . . . , i} w (x ₁ , . . . , x _k ) jest istotnie mniejsza od i.

Powodzenia!

Strona 1/1