Klasówka nr 2, 15.11.2018
Zadanie 1. Na ile sposobów można przedstawić liczbę 200 jako sumę trzech liczb naturalnych, przy czym
(a) kolejność liczb jest istotna;
(b) kolejność liczb nie jest istotna.
Zadanie 2. Na ile sposobów można przedstawić liczbę 199 jako sumę trzech liczb naturalnych, przy czym
(a) kolejność liczb jest istotna;
(b) kolejność liczb nie jest istotna.
Zadanie 3. Udowodnij, że n 0
!
+ n + 1 1
!
+ n + 2 2
!
+ . . . + n + k k
!
= n + k + 1 k
!
.
Zadanie 4. Udowodnij, że
m r
!
+ m + 1 r
!
+ . . . + n r
!
= n + 1 r + 1
!
− m
r
!
dla r ¬ m ¬ n.
Zadanie 5. Które z poniższych zdań jest tautologią? Odpowiedź dokładnie uzasadnij.
(a) (p ∨ (¬q ∧ ¬r)) ⊕ ((¬p ∧ r) ∨ (q ∧ ¬r)), (b) ((p → q) → r) → ((r → p) → (s → ¬p)).
Zadanie 6. Które z poniższych zdań jest tautologią? Odpowiedź dokładnie uzasadnij.
(a) (p ⊕ q ⊕ r) ∨ (p ∧ q) ∨ (q ∧ r) ∨ (r ∧ p), (b) ((p ∨ q) → r) ∧ (p ∧ q)) → r.
Zadanie 7. Obliczyć
(a) maksymalną wartość wyrażenia x5y7(13 − x − y) przy założeniu, że x, y są dodatnimi liczba rzeczywistymi,
(b) minimalną wartość wyrażenia x +4yx2 +zy2+2z przy założeniu, że x, y, z są dodatnimi liczba rzeczywistymi. Wskazówka: a + 1a 2 dla a > 0.
Zadanie 8. Obliczyć
(a) maksymalną wartość wyrażenia x3y4(8 − x − y) przy założeniu, że x, y są dodatnimi liczba rzeczywistymi,
(b) minimalną wartość wyrażenia x +4yx2 +zy2+3z przy założeniu, że x, y, z są dodatnimi liczba rzeczywistymi. Wskazówka: a + 1a 2 dla a > 0.
Zadanie 9. Znajdź współczynnik przy x9 w (1 − x2+ x3)8.
Zadanie 10. Znajdź współczynnik przy x8 w (1 + x2− x3)9. Zadanie 11. Znajdź zwarty wzór na
n
X
k=0
(−1)k k + 1
n k
!
.
Zadanie 12. Znajdź zwarty wzór na
n
X
k=0
n k
!
(a − 1)k+ (−1)k−1(a + 1)k.
Zadanie 13. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi nierówność (2n + 1)n (2n)n+ (2n − 1)n.
2
