1 Przestrzenie unormowane, odwzorowania i formy li- niowe.

1 Przestrzenie unormowane, odwzorowania i formy li- niowe.

1. Sprawdzić, że funkcje

określone w nastepuj
acy sposób:
(i)
f
_∞= max_atb|f(t)| dla f ∈ C ([a, b]),

(ii)
f
₁ =
_a^b|f(t)| dt dla f ∈ C ([a, b]),

(iii)
x
_∞ = sup_n∈N|xn| dla x = (xn)^∞_n=1 bed
acego ci
agiem ograniczonym o wyrazach rzeczywi-
stych,

(iv)
A
=^m_i=1^n_j=1|aij| dla macierzy A = [aij] z przestrzeni M (m×n,^R) (przestrzeń macierzy o m wierszach i n kolumnach o wyrazach rzeczywistych),

(v)
A
=^m_i=1^n_j=1|aij|^212 dla macierzy A określonej w poprzednim podpunkcie, (vi)
A
= max1im, 1jn|aij| dla macierzy A określonej j.w.

spełniaja aksjomaty normy.

2. Czy normy określone w trzech ostatnich podpunktach poprzedniego zadania sa równoważne?
3. Sprawdzić, że funkcja
: X × X →R₊ określona wzorem

(x, y) =
x − y

dla x, y∈ X, gdzie X jest przestrzenia unormowan
a, spełnia aksjomaty metryki.
4. Wykazać, że w przestrzeni unormowanej działania algebraiczne sa ci
agłe.

5. Niech (X,

_X) i (Y,

_Y bed
a dwiema przestrzeniami unormowanymi. Wykazać, że każdy
ze wzorów

x, y
=
x
_X +
y
_Y ,

x, y
=^
x
²_X +
y
²_Y,

x, y
= max {
x
_X,
y
_Y} , również określa norme w pzestrzeni X × Y .

6. Rozważmy przestrzeń Cⁿ([a, b]) funkcji zmiennej rzeczywistej t ∈ [a, b] ciagłych wraz ze
swoimi pochodnymi do rzedu n wł
acznie. Określamy działania w sposób naturalny oraz funkcje:

x
= |x(a)| + |x^(a)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(a)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x
= |x(b)| + |x^(b)| + . . . + |x⁽ⁿ⁻¹⁾(b)| + sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|,

x
= max



sup

atb|x(t)|, sup

atb|x^(t)|, . . . , sup

atb|x⁽ⁿ⁾(t)|



. (i) Wykazać, że funkcje

określaja normy.

(ii) Udowodnić, że ciag (x
k)^∞_k=1 zbiega do x w przestrzeni Cⁿ([a, b]) wtedy i tylko wtedy, gdy x_k(t)→ x(t), x^_k(t)→ x^(t), . . . , x⁽ⁿ⁾_k (t)→ x⁽ⁿ⁾(t) jednostajnie dla a t  b.

7. Rozważmy przestrzeń C ([0, 1]) z norma supremum. Niech g(t) = 2 − t
². Znaleźć (narysować) domkniet
a kul
e ¯
B(g, 1/2) o środku g i promieniu 1/2. Co można powiedzieć o tej kuli, jeśli

Arkusz 1

przestrzeć ta wyposażona jest w norme
x

₁ =
₀¹|x(t)| dt?

8. Niech Ω = ∅, oznaczmy przez B(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych na Ω o wartościach w K, a przez BC(Ω) przestrzeń wszystkich funkcji ograniczonych i ciagłych, z
norma

f
= sup

t∈Ω |f(t)|.

Pokazać, że sa to przestrzenie Banacha.
9. Wykazać, że przestrzeń C ([a, b]) z norma

f
₁ =

 _b

a |f(t)| dt nie jest przestrzenia Banacha.

10. Niech f : (a, b) → ^Rl. Wtedy Df (x) : R →R^l określona jest przez Df (x)h = hf^(x), gdzie f^(x) = lim_h→0f(x+h)−f(x)

h . Wykazać, że ||Df(x)|| = ||f^(x)||.

11. Oszacować norm¸e odwzorowania liniowego T :^R2 →R² oraz T :R² →R³danego równaniem:

(i)

T



 x y



=



 1 2 3 4







 x y



, (ii)

T



 x y



=







1 2

−3 −4 2 ¹₂









 x y



.

12. Wykazać, że dla odwzorowania liniowego T :^Rk →R^l nast¸epuj¸ace liczby s¸a równe:

(i)||T || = sup_h=0^{||T ·h||}_||h|| , (ii) sup_||h||1||T · h||, (iii) sup_||h||=1||T · h||,

(iv) inf{M > 0 : ||T · h||  M||h|| dla wszystkich h}.

13. Wykazać, że dla operatora liniowego T : X → Y norma wyraża sie wzorami:

||T || = sup

||x||1||T x|| = sup

||x||<1||T x|| = sup

||x||=1||T x|| = sup

x=0

||T x||

||x|| .

14. (Przykład operatora różniczkowania). Niech X ⊂ C ([0, 1]) bedzie podprzestrzeni
a złożon
a
ze wszystkich wielomianów. Wykazać, że wzór

(i) T u(t) = u^(t) dla u∈ X, t ∈ [0, 1] określa operator liniowy nieograniczony T : X → X, (ii) f (u) = u^(0) dla u ∈ X określa funkcjonał liniowy nieograniczony na przestrzeni X.

15. (Przykład operatora rzutowania). Niech T : Rⁿ → R bedzie określony T (x) = x
i dla x = (x₁, . . . , x_n) ∈ Rⁿ. Wykazać, że T jest liniowy i ograniczony, ale nie jest odwracalny.

Obliczyć jego norme.

16. Niech T : ^Rn → ^Rn bedzie określony T (x) = T (x
1, . . . , x_n) = P (x₁, . . . , x_n), gdzie P jest permutacja elementów x
1, . . . , x_n. Wykazać, że T jest liniowy, ograniczony i odwracalny.

Arkusz 2