Na zdrowy rozsądek

Na zdrowy rozsądek czyli jak działa

zasada szufladkowa Dirichleta

dr Anna Szpila

Instytut Matematyki UR

Zdrowy rozsądek a zasada szufladkowa Dirichleta

Zdrowy rozsądek w pojęciu matematyka to nic innego jak używanie metod rozumowania matematycznego związanych z naturalnym logicznym myśleniem.

Doskonałym narzędziem, które może stosować do prowadzenia takich rozumowań zarówno uczeń szkoły podstawowej jak i olimpijczyk czy student jest zasada szufladkowa Dirichleta.

O czym będzie, czyli plan prezentacji 1)

Dirichleta,

2)

3)

4)

5)

Johan Peter Gustaw Lejeune Dirichlet

Johan Peter Gustaw Lejeune Dirichlet był niemieckim matematykiem

francuskiego pochodzenia.

Urodził się 13 lutego 1805 r. w Düren, a zmarł 5 maja 1859 r.w Getyndze.

Był wykładowcą na uniwersytetach we Wrocławiu, Berlinie i Getyndze

Johan Peter Gustaw Lejeune Dirichlet

Prace Dirichleta dotyczą teorii liczb, szeregów liczbowych, analizy matematycznej, rachunku wariacyjnego i fizyki teoretycznej.

Udowodnił on zbieżność szeregu Fouriera (warunki Dirichleta), jest autorem zasady szufladkowej Dirichleta.

Jego nazwiskiem została nazwana funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych (funkcja Dirichleta), podawana jako standardowy przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna.

Na początek o szufladach i skarpetkach, choć mogłoby być o klatkach i królikach….

Anegdota mówi, że Dirichlet miał n+1

skarpetek, które przechowywał w komodzie, w n szufladach.

Pewnego razu zrobił pranie.

Rozkładając uprane i wysuszone skarpetki do szufladek zauważył ku swemu zdziwieniu, że jakby nie próbował, to zawsze w co

najmniej jednej szufladzie są co najmniej dwie skarpetki.

… a teraz dalej o szufladach ale bardziej formalnie

Dirichlet chwilę pomyślał i sformułował słynne twierdzenie, nazwane potem zasadą szufladkową Dirichleta 



Przy dowolnym rozmieszczeniu n przedmiotów w k szufladach, przy czym k < n, istnieje szuflada, w której będą co najmniej dwa przedmioty.

Jest zasada (twierdzenie) – musi być dowód, nawet gdy rzecz dotyczy szuflad…

Załóżmy, że nie istnieje szuflada, w której są co najmniej dwa przedmioty. Wówczas w każdej szufladzie mamy jeden przedmiot lub jest ona pusta. Ponieważ szuflad jest k, więc we wszystkich szufladach jest co najwyżej k przedmiotów.

Przeczy to założeniu, że przedmiotów jest więcej niż szuflad. Przypuszczenie jest fałszywe, więc twierdzenie jest prawdziwe. □

Ogólniej o szufladach

•

Przy dowolnym rozmieszczeniu n przedmiotów w k szufladach, przy czym k ^∙m < n, gdzie m jest pewną liczbą naturalną, istnieje szuflada, w której znajduje się co najmniej m+1 przedmiotów.

… i dowód uogólnienia

Przypuśćmy, że w żadnej szufladzie nie ma m+1 lub więcej przedmiotów. Wówczas w każdej z nich może być 0 lub 1 lub 2 lub itd. lub m przedmiotów.

Ponieważ szuflad jest k, więc we wszystkich szufladach jest co najwyżej k ^∙m przedmiotów.

Przeczy to założeniu, że jest więcej niż k ^∙m przedmiotów. Przypuszczenie jest fałszywe, więc twierdzenie jest prawdziwe. □

Zasada szufladkowa – bez szuflad, czyli jej różne sformułowania



Niech X będzie skończonym zbiorem mającym n elementów i X jest sumą k zbiorów X_i

takich, że X=X₁ ∪ X₂ ∪… ∪ X_k oraz n > k.

Wtedy w którymś ze zbiorów X_i znajdują się co najmniej dwa elementy.

Zasada szufladkowa – bez szuflad czyli jej różne sformułowania cd.



Jeżeli X i Y są zbiorami skończonymi mającymi odpowiednio po n i k elementów i n>k, to żadna funkcja odwzorowująca zbiór X w zbiór Y nie jest funkcją różnowartościową.

Zasada szufladkowa – bez szuflad, kolejne sformułowania



Niech zbiór X będzie rodziną podzbiorów A_i. Jeżeli suma miar zbiorów A_i jest większa niż miara X, to w zbiorze X istnieje punkt należący co najmniej do dwóch spośród zbiorów.

Ogólniej:

Jeśli suma miar zbiorów A_i jest większa niż n razy miara X, to istnieje punkt należący do przynajmniej n+1 zbiorów A_i .

… i jeszcze zasada szufladkowa dla malarzy

Jeśli mamy zamalować jakąś powierzchnię, a farby mamy za dużo, to jakiś punkt tej powierzchni pomalujemy przynajmniej dwukrotnie.

Pomyśl sobie jakieś liczby, a ja powiem Ci co o nich wiem, czyli zaczynamy stosować

zasadę

Zabawa

Proszę, aby każdy zapisał na czacie sześć dowolnych liczb całkowitych.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie…

Każdy z Państwa przedstawił taki zestaw liczb, że znajdują się wśród nich przynajmniej dwie, których różnica dzieli się przez 5.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie…

Uzasadnienie

Dla dowolnej liczby całkowitej reszta z dzielenia przez 5 jest jedną z liczb 0, 1, 2, 3, 4. Zatem przy dzieleniu przez 5 można otrzymać pięć różnych reszt. Możliwych reszt jest pięć, a zapisanych liczb sześć, więc zawsze jakaś reszta musi się powtórzyć.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie… uzasadnienie

Dla liczb dających przy dzieleniu przez 5 taką samą resztę prawdziwe jest twierdzenie.

Jeżeli dwie liczby przy dzieleniu przez 5 dają tę samą resztę, to ich różnica jest podzielna przez 5.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie… uzasadnienie

Dowód.

Niech m i n dają z dzielenia przez 5 tę samą resztę, wtedy m = 5k₁ + r i n = 5k₂ +r.

Różnica tych liczb wynosi

m - n=5k₁ + r - 5k₂ – r= 5k₁ - 5k₂ =5(k₁ – k₂), a więc jest podzielna przez 5.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie… uzasadnienie

Szuflady numerujemy według reszt.

Dla każdej z liczb obliczamy resztę z dzielenia przez 5 i wkładamy do odpowiedniej szuflady. Różnica dwóch liczb z szuflady jest

podzielna przez 5.

Teraz możemy już wykorzystać zasadę szufladkową Dirichleta.

Zasada szufladkowa Dirichleta prawdę Ci powie… uzasadnienie

Z zasady szufladkowej Dirichleta istnieje

szuflada, w której znajdują się dwie liczby,

a więc wśród sześciu liczb znajdują się

choć dwie, których różnica jest podzielna

przez 5.

Uogólnienie zamiast 6 liczb całkowitych – n+1

Problem wyboru 6 liczb całkowitych pośród których istnieją dwie, których różnica dzieli się przez 5 można uogólnić do następującego

twierdzenia.

Wśród n+1 liczb całkowitych zawsze można znaleźć dwie liczby, których różnica dzieli się przez n.

Zasada szufladkowa na co dzień – czyli rozwiązania „na zdrowy rozsadek”

Zadanie 1

Wykazać, że wśród 20 osób znajdują się co najmniej dwie osoby, które urodziły się w tym samym miesiącu

Zasada szufladkowa na co dzień – czyli rozwiązania „na zdrowy rozsadek”

Rozwiązanie

Weźmy 12 szufladek z nazwami miesięcy i wkładajmy do nich osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Ponieważ osób jest 20 a szufladek 12, zatem istnieje choć jedna taka szuflada, w której znajdują się co najmniej dwie osoby.

Oznacza to, że te dwie osoby obchodzą urodziny w jednym miesiącu.

Włosy na głowie i zdrowy rozsądek

Zadanie 2

Liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza 500 000. Wykazać, że wśród mieszkańców

Warszawy co najmniej dwie osoby mają tę samą liczbę włosów na głowie.

Włosy na głowie i zdrowy rozsądek

Rozwiązanie

Liczba mieszkańców Warszawy przekracza 1 000 000. Bierzemy więc 500 001 szufladek ponumerowanych kolejnymi liczbami

naturalnymi od 0 do 500 000 i wkładamy do szuflady o danym numerze osoby, które mają taką samą liczbę włosów na głowie, jaką

wskazuje numer szuflady.

Włosy na głowie i zdrowy rozsądek

Osób jest ponad 1000 000 a szuflad 500 001, więc z zasady Dirichleta wynika, że w co najmniej

jednej szufladzie muszą znaleźć się co najmniej dwie osoby.

Warszawa liczy ponad 1700 000 mieszkańców, więc można wywnioskować, że istnieje szuflada, w której są co najmniej cztery osoby –

uogólniona zasada Dirichleta.

Logicznie o jabłkach i skrzynkach

Zadanie 3

Do sklepu przywieziono 35 skrzynek z czterema różnymi gatunkami jabłek. W każdej skrzynce

znajdowały się jabłka tylko tego samego gatunku.

Czy wśród tej dostawy istnieje dziewięć skrzynek jabłek tego samego gatunku?

Logicznie o jabłkach i skrzynkach

Rozwiązanie

Szufladkami są gatunki jabłek - jest ich 4 a przedmiotami są skrzynki z jabłkami – jest ich 35.

Ponieważ 𝟑𝟓 > 𝟒 ∙ 𝟖, więc na mocy uogólnionej zasady Dirichleta wnioskujemy, że istnieje szuflada (gatunek jabłek), w której jest co najmniej 8+1=9 przedmiotów czyli skrzynek z jabłkami.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Zadanie 4

Udowodnić, że wśród dowolnych siedmiu

różnych liczb całkowitych muszą być takie dwie, których suma lub różnica dzieli się przez 10.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Rozwiązanie

Suma dwóch liczb dzieli się przez 10, jeżeli suma reszt z dzielenia każdej z nich przez 10 jest podzielna przez 10, tzn., że suma cyfr

jedności tych liczb jest równa 0 lub 10.

Różnica liczb naturalnych jest podzielna

przez 10, jeśli te liczby mają takie same cyfry

jedności.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Wybierane liczby umieszczamy w szufladach w taki sposób, aby ostatnia cyfra tej liczby

wskazywała, do której szuflady należy ją wrzucić:

 do szuflady 0 wkładamy liczby kończące się na 0,

 do szuflady 1 wkładamy liczby kończące się na 1 lub 9,

 do szuflady 2 wkładamy liczby kończące się

na 2 lub 8,

Zastosowania zasady w arytmetyce

 do szuflady 3 wkładamy liczby kończące się na 3 lub 7,

 do szuflady 4 wkładamy liczby kończące się na 4 lub 6,

 do szuflady 5 wkładamy liczby kończące

się na 5.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Mamy zatem 6 szuflad i 7 liczb, w jednej szufladzie muszą znaleźć się zatem dwie liczby.

 Jeśli suma ich jedności będzie taka sama, to różnica dzieli się przez 10.

 Jeśli suma ich jedności będzie różna –

suma dzieli się przez 10.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Zadanie 5

Ze zbioru 27 parami różnych liczb nieparzystych (dodatnich) mniejszych od 100 można wybrać dwie, które sumują się do 102.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Rozwiązanie

Zauważmy, że dokładnie 24 pary różnych nieparzystych liczb naturalnych sumują się do 102:

(𝟑, 𝟗𝟗), (𝟓, 𝟗𝟕), . . . , (𝟒𝟗, 𝟓𝟑).

Niech te pary stanowią nasze szufladki. Nie uwzględniają one jednak liczb 1 i 51. Wprawdzie 𝟏 + 𝟏𝟎𝟏 = 𝟓𝟏 + 𝟓𝟏 = 𝟏𝟎𝟐, ale 101 nie może być w zbiorze, a liczbę 51 możemy wylosować tylko raz.

Zastosowania zasady w arytmetyce

Teoretycznie jednak w zbiorze 27 liczb naturalnych nieparzystych mniejszych od 100 liczby 1 i 51 mogą występować. Dołóżmy więc jeszcze 2 szufladki,

jedną na liczbę 1 a drugą na liczbę 51. Szuflad jest 26 a wylosowanych liczb 27. Na mocy zasady

Dirichleta dwie z nich wpadną do tej samej

szufladki, a więc stworzą parę liczb, która sumuje się do 102.

Zadanie Ramseya

Zadanie 6

Uzasadnić, że gronie sześciu ludzi jest trzech takich, wśród których każdy zna każdego lub trzech takich wśród których żadni dwaj się nie znają.

Rozwiązanie można znaleźć w literaturze matematycznej

Uogólnienie zadania Ramseya

Zadanie 6

Na spotkanie absolwentów szkoły przyjechało 17 osób. Każdy rozmawiał z każdym na jeden z trzech różnych tematów. Każda para rozmawiała

dokładnie na jeden temat.

Udowodnij, że istnieje trójka absolwentów, którzy mówili między sobą na ten sam temat.

Uogólnienie zadania Ramseya

Rozwiązanie

Nazwijmy tematy 𝑻_𝟏, 𝑻_𝟐, 𝑻_𝟑. Wybierzmy

dowolnego absolwenta i oznaczmy go przez A.

Poza nim jest 16 absolwentów i trzy tematy do omówienia. Ponieważ 16 > 3∙ 𝟓, absolwent A musiał rozmawiać na określony temat z

przynajmniej sześcioma innymi studentami.

Nazwijmy ten temat 𝑻_𝟑.

Uogólnienie zadania Ramseya

Gdyby się okazało, że dwóch z tych sześciu też rozmawiało na temat 𝑻_𝟑, to koniec rozumowania.

Jeśli nie, to rozmawiali na jeden z tematów: 𝑻_𝟏, 𝑻_𝟐. Weźmy jednego z tych 6 absolwentów i nazwijmy go B. Zgodnie z zasadą szufladkową ma on do wyboru 2 tematy i 5 rozmówców. Ponieważ 5 > 2∙ 𝟐, absolwent B musiał rozmawiać na określony temat (nazwijmy go 𝑻_𝟐) z przynajmniej trzema innymi absolwentami.

Uogólnienie zadania Ramseya

Jeśli dwójka z tych trzech rozmawiała też na 𝑻_𝟐, to koniec rozumowania. Jeśli nie, to ta trójka musi koniecznie rozmawiać między sobą na temat 𝑻_𝟏, co kończy dowód.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Zadanie 7

W kwadracie o boku 2 wybieramy dowolnie 5

punktów. Uzasadnij, że wśród nich są takie dwa, że ich odległość jest mniejsza lub równa 𝟐.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Rozwiązanie

Kwadrat o długości boku równej 2 dzielimy na cztery kwadraty o długości boku równej 1.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Szufladkami są „małe” kwadraty, przedmiotami punkty. Kwadratów jest cztery a punktów pięć, zatem na podstawie zasady szufladkowej

Dirichleta istnieje kwadrat, w którym znajdą się przynajmniej dwa punkty.

W kwadracie o długości boku 1 odległość między dwoma punktami nie może być większa niż

długość przekątnej kwadratu czyli 𝟐.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Mamy zatem przynajmniej dwa punkty takie, że ich odległość jest mniejsza lub równa 𝟐.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Zadanie 8

W kwadracie o boku długości 2 wybrano w sposób dowolny dziewięć punktów. Udowodnić, że istnieje taka trójka punktów wśród nich, że pole trójkąta, którego wierzchołkami są te trzy punkty nie przekracza 1/2.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Uwaga.

Trójka punktów może być niewspółliniowa i wtedy tworzy zwykły trójkąt albo może być współliniowa i tworzy wówczas zdegenerowany trójkąt o polu

równym 0. Obydwie sytuacje ujęte są w słowie

„trójkąt”.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Rozwiązanie

Dzielimy kwadrat na cztery kwadraty o boku równym 1. Kwadraty te są szufladkami. Ponieważ 9 > 4∙ 𝟐, więc w pewnej szufladce są co najmniej trzy punkty spośród wybranych 9 .

Wiadomo, że pole trójkąta zawartego w równoległoboku nie przekracza połowy pola tego równoległoboku.

Zastosowania zasady w rozwiązywaniu problemów geometrycznych

Zatem trzy punkty leżące w jednym z kwadratów tworzą trójkąt, którego pole nie przekracza

𝟏

𝟐 ∙ 𝟏^𝟐 = 𝟏 𝟐.

Na zakończenie

•

•

•

Więcej zadań w…