Z E S Z Y T Y H A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ś L Ą S K I E J Sarla: E L E K T R Y K A z. 76
1981 N r kol. 689
G er ar d B A R T O D Z I E J
I n s t y t u t E l e k t r o e n e r g e t y k i 1 S t e r o w a n i a U k ł a d ó w
P o l i t e o h n i k i Śląs ki ej
M O D E L O W A N I E Z Ł Ą C Z Y S T Y K O W Y C H L I N E A R N Y C H
S t r e s z c z e n i e . W a r t y k u l e p r z e d s t a w i o n o m e ż l i w o ś ć m o d e l o w a n i a m a t e m a t y c z n e g o i f i z y o z n e g o l i n e a r n y o h złąozy s t y k o w y c h , R o z w a ż a n o m o- de l d e t e r m i n i s t y c z n y z ł ąo za s t y k o w e g o jednorodnego.
1 . W P R O W A D Z E N I E
O k r e ś l e n i e w s p ó ł z a l e ż n o ś c i p o d s t a w o w y c h p a r a m e t r ó w z łą oz y s t y k o w y c h m a d u ż e z n a c z e n i e d l a o k r e ś l e n i a z asad w y m i a r o w a n i a z ią oz y pr zy ich p r o j e k t o w a n i u o r a z d l a o oe ny w l a ś o i w n ś o i z ł ąo z y e ks pl o at ow an y ch ,
R ó ż n o r o d n o ś ć r o z w i ą z a ń konatrufcoyjnyoh zł ąozy s t y k o w y o h jest b a r d z o du
ża, s z e r ok i za kres s t o s o w a n i a z ł ą o z y s t y l o w y c h w a l e k t r o t e o h n i o e ,elek tr o- nioe, t e l e t e o h n i o e itp. s t w a r z a s z e r o k ą £\?*ę w a r u n k ó w p r a o y złąoz y i wym a g a n y c h w ł a ś o i w o ś o i . W i e l e z łąozy s t y k o w y o h s p e ł n i a w a r u n e k linearnośoi,tj.
m o ż l i w y jest p o d z i a ł z ł ą o z a n a d o w o l n ą ilośó j e d n a k o w y c h r ó w n o l e g l e połą- o z o n y o h eleme nt ó w, Złąo ze t ak i e m o ż e b y ć z a t e m s p r o w a d z o n e do m o d e l u p ł a s k i e g o i a n a l i z o w a n e - p o u p r o s z o z e n i a o b jako linearne.
2. U O G Ó L N I O N Y M O D E L F I Z Y C Z N Y Z Ł Ą C Z A S T Y K O W E G O L I N E A R N E G O D L A A N A L I Z Y P A R A M E T R Ó W E L E K T R Y C Z N Y C H
Z ł ą o z a s t yk o we s t o s o w a n e d o ł ą o z e n i a o l e k t r o e n e r g e t y o z n y o h t or ów prą- d o w y o b m o g ą b y ć - d l a w i e l u r o z w i ą z a ń k o n s t r u k c y j n y c h - s p r o w a d z o n e do u- k ł a d u 2 p r z e w o d n i k ó w o r e z ye ta no j i r o z ł o ż o n e j r 1 (x) i r2 ( x ) ,po m i ęd zy k t ó ry m i w y s t ę p u j e styczność, r e p r e z e n t o w a n a przez r o z ł o ż o n ą r e z y s t a n c j ę ze
s t y k o w ą r o ( x ) , t w o r z ą c y c h z ł ą c z e l i n e a r n e (rys. 1)
P r z y j ę c i a z a ł o ż e n i a o p c m i j a l n oś o i s k ł a d o w y c h p o p r z e c z n y o h spadków aa.- p i ę c i a w p r z e w o d n i k a o h t w o r z ą o y o h złąoze, wobec s p a d k u n a p i ę c i a n a r e z y s t a n c j i z e stykowej, p o z w a l a u z y s k a ć s t o s u n k o w o p r os t y m o d e l m a t e m a t y c z n y z ł ą o z a (s tr u k t u r a rys. Ib), w y n i k a j ą c y z m o d e l u f i z y o z n e g o (rys, la).
G. Bartod zi e j
b)
r10t)
rc00 d9,
reW
.d>J-
Rys. 1. Złącze stykowe l inearne
a - schemat poglądowy, b — i lu st ra c ja fwzy jęty ch ozn ao z oń
P rz y jm uj ąc e l em en t ar na zależ no śc i (rys. 2):
dRj = rj(x) dx d R 2 = r 2 (x) dx
r (x) d R =
o d x
(
1)
21
v ( x ) I+i(x)
le-dx-
21
Rys* 2 . Ilustracja rśwnań (2) do (5)
o r a z zaj.®żnośoi w y n i k a j ą c a z p r a w a Ohma:
di « " d*
X
d V = (x+l ) r. (x )d x - (l-i)r2 (x)dx
*
(
2)
(3)
M o d e l o w anie złąoz y s t y k o w y c h l i n e a r n y c h 155
m o ż n a u z y s k a ć r ó ż w n a n i e r ó ż n i c z k o w o o p i s u ją c e prąd i(x) pr zo p ł y w a J ą o y przez z ł ą c z e :
d 2 i(x) 1 di(x) d r c (x) ,, v r 1 (x) + r 2 (x)
. 2 + r (x) * dx * d x 1 ' r“T x 7 ~ ~
d x o c
r (x) - r 2 (x)
- 1 J - T T 7 1 = 0 (4)
W p r o w a d z e n i e w i e l k o ś c i p o m o c n i c z y c h o(x), ń(x) p r o w a d z i do p r o s t sz ej p o staci równania:
+ - i ( x ) ° 2 ( x ) - 1 ° 2 ( x ) = 0 { 5 )
d x p r z y ożyra:
2
r (x) + r-(x)
(*) = z - m —
c(6)
r«.(x) - r (x)
ó(x) = -t— i ¿i— r. (7)
r^Utj + r ^ T x J
M o ż l i w o ś ć u z y s k a n i a a n a l i t y c z n e j p o s t a ci f u n k c j i i(x) ist ni ej e jedy
n i e d l a p r o s t s z y c h post ac i f u n k c j i r^(x), r ^ ( x ) , r c (x) l u b o d p o w i e d n i o h f u n k o j i p o m o o n i o z y o h o(x), ó(x). W o g ó l n y m p r z y p a d k u m o ż l i w e Jest jednak u z y s k a n i e r o z w i ą z a n i a r ó w n a n i a w p o s t a c i n u m e r y c z n e j przy w y k o r z y s t a n i u EMC.
W y z n a o z e n i e i(x) p o z w a l a na u z y s k a n i e f u n k o j i o p i s u j ą o y o h p o z o s ta ło p a r a m e t r y e l e k t r y o z n e złąoza, s p a d k ó w napięć, strat mocy, r e z y s t a n o j i cał ko w i
tej złącza.
i) 3. M O D E L E A N A L O G O W E DIsA W Y Z N A C Z A N I A P A R A M E T R Ó W E L E K T R Y C Z N Y C H
Z ŁĄCZA L I N E A R N E G O
D u ż a p r a c o c h ł o n n o ś ć r o z w i ą z y w a n i a r ó w n a n i a (^) o p i s u j ą c e g o r o z kł a d prą
d u w z ł ą c z u s t y k o w y m l i n e a r n y m ( zarówno d l a u z y s k a n i a r o z w i ą z a n i a o p o s t a ci a n a l i t y o z n e j , jak r ó w n i e ż n u me ry cz n ej ) s k ł an i a do w y k o r z y s t a n i a model u a n a l o g o w e g o z ł ą o z a w p o st ac i r e z y s t a n o y j n e j l in ii ła ńc u c h o w e j do b e z p o ś r e d n i e g o p o m i a r o w e g o w y z n a c z e n i a r o z p ł y w u pr ąd u (i inny ch p a r a m e t r ó w z n i m z w i ą z a n y o h ) .
Rys» 3 i l u s t r u j e s p o s ó b re al i z a c j i m o d e l u a n a l o g o w e g o np. przy w y k o r z y s t a n i u a n a l i z a t o r a sieciowego. Ze w z g l ę d u n a mał e w a r t o ś c i r e z y s t a n o j i w y s t ę p u j ą c y c h w z ł ą o z u stykowym, m o d e l o w a n i e w i n n o b y ć pr ze p r o w a d z o n e przy o d p o w i e d n i o z w i ę k s z o n y c h r e z y s t a n o j a o h m o d e l u (ska la o d w z o r o w a n i a rezystan
cji 10**... 10^ d l a e l e k t r o e n e r g e t y c z n y c h zł ąozy s t y k o w y c h ) .
156 G. B ar to d zi ej
Do re a li z a c j i m o d e l u z ł ą c z a l i n e a r n e g o m o ż e b y ć w y k o r z y s t a n y pajier prze
w o d z ą c y lub f o l i a m e t a l o w a (np. na p ł y t c e l am in o w a n e j p r z e z n a c z o n e j dla ob
w o d ó w d r u k o w a n y c h (rys. 4)). Z a l e t ą teg o s p o s o b u jest ł a t w o ś ć o d w z o r o w a n i a d o w o l n e g o u k s z t a ł t o w a n i a obu e l e m e n t ó w (styków) t w o r z ą o y o h lin ea rn e z łą cz e s t yk ow e i ł a t w o ś ć u z y s k i w a n i a ż ą d a n e j re zy st a n c j i z e s t y k o w y o h przez z mi an g s z er ok oś c i i d ł u g o ś c i ś c i eż ek ł ą c z ą c y c h o ba elementy.
Rys. 4. M o d e l f i z y c z n y p ł a s k i z ł ą cz a st y ko we go l i n e a r n e g o
4. A N A L I Z A M O D E L U Z Ł ĄC ZA S T Y K O W E G O JE DN O R O D N E G O
4.1. Z a ł o ż e n i a i o k r eś le ni e
Złąoze s t yk ow e je d no r o d n e o e c h u j e sta ło ść w a r t o ś o i r e z y s t a n o j i jednost
k o w y c h w z d ł u ż złącza:
rt(x) = r,} r2 (x) = r2 j *0 (x) = r„.
M o d e l o w a n i e z ł ąozy s t y k o w y c h l i n e a r n y o h 122
M o d e l z ł ą c z a j e dn or o d n e g o m o ż e o d w z o r o w y w a ć :
- z ł ą c z a s t y k o w e d w ó c h e l e m e n t ó w toru p r ą d ow eg o ("na zakładkę") st os owane d l a p r z e w o d ó w s z y n o w y c h i p o ł ą c z e ń a p a r a t ó w e l e k t r y c z n y c h z przew od a mi s z y n o w y m i (rys. 5a),
- z ł ą o z a s t y k o w e p r z e w o d ó w w l i n i a c h e l e k t r o e n e r g e t y c z n y c h (napowietrznych i k a b l o w y c h ) w y k o n y w a n e z a p o m o c ą z a p r a s o w a n i a (rys. 5b).
2 1
11
r2 i
21
Rys. 5. S t r u k t u r a f i z y c z n a p o d s t a w o w y c h złączy s t y k o w y c h j e d no ro dn y oh (a) i (b) ora z i l us tr a o j a o z n a c z e ń w p.*ł
158 G. Bartodzie.i
R o z w a ż a się z a t e m z ł ą c z a s t yk ow e p os i ad a j ą c a n a s t ę p u j ą c e wl a śo iwości:
a - e l e m e nt y 1 1 2 (rys. 5), t wo rz ą c e złącze, p o s i a d a j ą stały przekrój, b - d ł u g o ś ć z ł ą c z a jest zna c zn ie w i ę k s z a od jego w y m i a r u p o p r z e o z n e g o pro
s t o p a d ł e g o do p o w i e r z c h n i z e t k n i ę c i a e l e m e nt ów 1 1 2 ,
o - złącze m o ż n a p o d z i e l i ć na d o w o l n ą ilość je dn a k o w y c h o z ęś oi przez prze- o ię ci e p ł a s z c z y z n a m i r ó w n o l e g ł y m i do osi s ymetrii z ł ąc za (oś x na r y sunku 5).
R e z y s t a n c j e w y s t ę p u j ą c e w z łączu m o g ą b y ć o p is a ne zależnościami:
1
R 1
= j
r.j(x)dx = r^l( 8)
0 1
R 2
= j
r 2 (x)dx = r 2l (9)k = i 5 7 3 7 d x = ho ( 1 0 )
u
P r z y j ę t o założenie, że r e z y s t a n c j a z e s t y ko w a R c w y n i k a z r ów no m i e r n e g o r o z ł o ż e n i a n a p o wi er z ch ni z e t k n i ę c i a b a r d z o dużej l iczby ze st y k ó w e l em en tarnych. V r o z w a ż a n y m m o d e l u m a t e m a t y c z n y m z lą oz a (rys . -5 0) re zy st an e ja R^
m o ż e p r z e w o d z i ć pr ą d e le kt r yc zn y jed y ni e w k i e ru nk u p r o s t o p a d ł y m do osi modelu.
O k r e ś l a się ś r ed n ią r e z y s t a n c j ę e l e m e n t ó w t i 2;
R. + R,
R = -- - (11)
o ra z o h a r a k t e r y z u j e s i ę r ó ż ni oe r e z y s t a n o j i e l e m en tó w 1 i 2 za p o m o o ą p a r a m e t r u b e z w y m i a r o w e g o A :
R,-R„ ,
1 2 1 1 2 f.ot
A _ . g = g - g -
(12;W y n i k a j ą stąd załeżnośoi:
R 1 = (1 + A ) R
R 2 = ( 1 - A )R (13)
R e z y s t a n c j ę zest yk u R Q m o ż n a o k r e ś li ć p a r a m e t r e m b e z w y m i a r o w y m C z d e f i n i o w a n y m z a l e ż n o ś c i ą
M o d e l o w a n i e złączy s t y k o w y c h linearnych*. 15 9
k .Z . R o z p ł y w prądu i r o zk ła d n a p i ę ć w złączu
Oo w y z n a c z e n i a r o z p ł y w u p rą d ów i r o z k ł a d u n a p ię ć w z łączu w y k or zy st a no u og ól n io ne r ó w n a n i e r ó ż n i o z k o w e (5), k tó re dla z łącza j ed no r o d n e g o ( r y s . 5) p r z y j m u j e postać:
d 2 i(x) C 2 ,, •y , C 2 y . - ■=— i(x) - 1 4 r dx
R o z w i ą z a n i e takiego r ó w n a n i a poda! J. H u s [2] w postaci:
s h ( ™ ) ó o h ( ~ ) i(x) = I
p r z y j m u j ą o w a r u n k i b rz egowe:
dl a x = ~ i = T
sh(£) oh(|)
d l a x i = - 1
W y c h o d z ą c z z a l e ż n o ś c i (3) uz ys ku j e się równanie:
o n ' C x ' V(x) = X R C
oh(j^) 6sh(-?~)
sh(|) oh(#)
S padek n a p i ę c i a p o d ł u ż n y E(x) m o ż n a o p i s a ć r ó w n a n i e m całkowym:
1 1
2 J
E(x) = j [i— i (x )] d R 2 = j (l-i(x)] R d x
(15)
(1 6)
( 17)
(18)
(19)
W y k o r z y s t u j ą c z a l e ż n o ś ć (1 6) u z y sk uj e się
E(x) = X R 0 C - |^C(1 + A ) ( ~ - j) +
oh(|) - oh(^j— ) sh(^)
Bh(— ) - sh(S^)
-ń- '2'
cH(§)
(2 0)
S p a d e k n a p i ę c i a p o m i ę d z y p u n k t e m o w s p ó ł r z ę d n e j x n a o le menoie 1 i punk
t e m B (rys. 6) wyno s i:
o( x ) = V(x) + E(x) (2 1)
160 G. Barto d zi ej
U(x) = I R C O
1 + A _ch(fi) Ash( ji)
2 sh(£)
ch(|)
J
+ 1 [c(t+ a ) (j - yp) + oth(^) - A 2 th(j)] ( 2 2 )
dx
Rys. 6. I l u s t r a c j a r ó w n a ń (16) do (2 5)
Ca ł ko wi ty s pa d ek n a p i ę c i a n a złącz u o k r e ś l a r ó w n a n i e (2 3) dla
U = I R o C [c — - + A2 th(§) + oth(|)]
(23)
(
21. )
“A B ” ~ " c “ L 2 ~ ~ T “ ““ '2' 2
R a z y st an o ja c a ł k o w i t a z ł ą c z a m o ż e b y ć w y z n a c z o n a w o p ar ci u o z a l e ż n o ś ć (2*.)
r ab = 3 T 5 = “ S” [c ^ 2
^~ +A 2 t h ( f ) + o t h ( | ) ] (25)
Ił.3. A n a l i z a n u m e r y o z n a r o z k ł a d u p r ą d ó w i s p a d k ó w n a p i ę ć w z ł ąo zu sty
k o w y m j ed no r o d n y m
D l a oceny ilości ow ej r o z k ł a d u p r ą d ó w s p a d kó w n a p i ę ć i strat mocy w złą
o zu o gr an i o z o n o się do r o zw a ż a n i a m o d e l u z ł ąc za jednorodnego, p rz y jm uj ąc u kład w i e l k o ś c i w z gl ę d n y c h . W z g l ę d n y s padek n a p i ę c i a n a j e d n o r o d n y m z łą
o zu l i n e a r n y m opisuje w z ó r w y n i k a j ą o y z za le ż no śc i (2 3) i (24):
U(x) = = [ § ( 1 - A2 ) + A 2 th (§ ) + o th (§ )] .
1+Aoh(2i) Ash(j^)
sh(jy) oh(^)
+ 1 ^a[c(i+a ) (i - f) + cth(|) + A 2th(§)
}
5' J
(2 6)
\
M o d e l o w a n i a zł ączy s t y k o w y o h l i n e a r n y c h . , 161
W y k r e s y z a l e ż n o ś c i (2 6) p r z e d s t a w i o n o n a rys. 7. U d z i a ł s p a d k u napięcia na r e z y s t a n c j i z e s t y k o w e j w c a ł k o w i t y m s p a d k u n a p i ę c i a n a zł ąozu j e dn o ro dn ym m o ż n a w y z n a c z y ć z z a l e ż n o ś o l (18) i (24):
V m a x _ oth(f) + ń t h ( f ) ^
U AB “ c h = p . + &2t h ( § ) + oth(§)
Rys. 7. R o z k ł a d s p a d k ó w n a p i ę c i a n a z ł ą c z a c h s t y k o w y o h j e d n o r o d n y c h
U a rys. 8 p o d a n o w y k r e s y z a l e ż n o ś c i (2 7), w s k a z u j ą c e n a o e l o w o ś ć s toso
w a n i a z ł ą oz y syaietrycznyoh ( ń = 0) jako z a p e w n i a j ą c y c h n a j m n i e j s z y spadek n a p i ę c i a n a r e z y s t a n c j i z e s t y k o w e j (przy z a d a n y m o a ł k o w i t y m s pa d ku n a p i ę c i a n a złąozu). W a r t o ś ć s p a d k u n a p i ę c i a n a r e z y s t a n c j i z e s t y k o w e j d e c y d u je, m.in. o z a c h o w a n i u się z e s t y k ó w e l e m e n t a r n y c h w z ł ą o z u i m a p o d s t a w o w e z n a c z e n i e d l a p r a c y złącza, z w ł a s z c z a pr zy p r z e p ł y w i e p r ą d ó w z w a r c i o wych. R o z k ł a d p r ^ d u w z d ł u ż e l e m e n t u 1 z ł ą c z a w y r a ż o n y w je d no s t k a c h nie - m i a n o w a n y c h m o ż n a o p i s a ć w y k o r z y s t u j ą c z a l e ż n o ś ć (1 6):
fCi\
I + i 1 z T ~ ~ "2
ń o h ( ^ ~ ) sh(
o n f C
v \
W y k r e s y p o d a n o n a rys. 9.
R o z k ł a d g ę s t o ś c i w z g l ę d n e j p r ąd u p op rz e o zneg o p r z e p ł y w a j ą c e g o p r z e z r e z y s t a n c j ę Rq z d e f i n i o w a n o w zorami:
j(x ) = á i M . -i, (2 9)
g d z i e w y r a ż a ś r e d n i ą g ę s t o ś ć l i n i o w ą p r ąd u p oprzecznego.
162
d. B a rt o dz ie jRya. 8. U d z i a ł n a jw ię ks z eg o s p a d ku n a p i ę o i a na r e z ys ta nc j i zestykowej w c a ł k o w i t y m spadku n a p i ę c i a n a z ł ąc z u s t y k ow ym jedn or od ny m
M o d e l o w a n i e z l ą oz y s t y k o w y o h l i n e a r n y o h . . 163
l
10.Rozkład gęstościprądupoprzecznegow złączach stykowychjednorodnych
G. Dartodzioj
B ior ą c pod u wa gę z a l e żn oś ć (1 6) n o ż n a napisać:
IC Aoh( o h ( f i ) '
1 C A s h C ^ ) ch(~i)
1 oh(|)
' sh(l )
2 1 “ 2
ch(j) sh(^)
(3 0)
W yn ik i o b l i o z e ń r o z k ł a d u j(x) p r z e d s t a w i o n o n a w y k r e s a c h rys. 10.
5. P O D S U M O W A N I E
W a r t yk u le p r z e d s t a w i o n o o g ó ln e r ó w n a n i a r óż n io zk ow e o pi su ją c e rozpływ p rą du w z łą cz u s t y k ow y m linearnym. P odano r oz wi ąz a ni e s z c ze gó ln e d la z ł ą c za s ty ko w eg o je orodnego, o p i s uj ąc a r o z p ł y w pr ąd u i rozkład s p ad kó w n a p i ę c i a w złąozu.
L I T E R A T U R A
[1] B ar to d z i e j G . : Étude d ’un m o d e l e m a t h é m a t i q u e ap pl i o a b l e a un racoord de co n du o t e u r nu de ligne aerienne. EdF. DER Doc. do trav ai l I1M0 (b g)mC. 25 Mai' 1978.
[2] Hu- J . : The conta ct r é s i s t a n c e of lap joints. Proc. VII Conf.El. C o n tact Phys. Paris 197**, p. 369... 37**.
W p ł y n ę ł o do R e d a k cj i dni a 2 0 . V T . 1980 r.
R ec enzent :
Prof, dr hab. inż. Jerzy M a k s y m i u k
MOJjjüJiHPOtiÀKHE JM Ü SA P H Ù Î vOHTAKTHUX COEJÎHHEHHÜ
P e 3 10 M e
ii cTaTfee paccMOTpeHU b o 3 M Ó xh o cth M aT e u a T n q e cK o ro h (i)H3HąecKoro u O A e jM p o - BaHHM KOHTaKTHbix coe,AHHennii. 06cyx,ąeH a ^eTepMHHHCTHąecKaa n o je jn . roM oreH H O - ro coejiHHeHHH.
T HE MODELLING OF THE LINEAR LAP JOINTS
S u m a r y
T h e paper pr esents the p o s s i b i l i t y of m a t h e m a t i c a l and p h y s i c a l m o d e l li n g of the l i n e a r l a p joints, J b g d e t e r m i n i s t i c m o d e l of the ho mo g e n e o u s
joints is analysed. /
