Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych Wykład 6 - Modelowanie napędów złączy - informacje dodatkowe dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

(1)

Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych

Wykład 6 - Modelowanie napędów złączy - informacje dodatkowe

dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski

Instytut Automatyki i Robotyki

Warszawa, 2019

(2)

Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji

minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu regulacji (esu):

Iesu= αes|s(ku) − so| , min (1) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) espo kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:

Iesp= αespmax

0, max

0<k<ku

[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]

, min (2)

minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania lub doregulowania) procesu – wyrażony przez czas dyskretny kkonc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = k_koncTp:

It= αtkkoncTp, min (3)

gdzie: αes, αespi αt są wagami oceny, s0- sygnał zadany ocenianego procesu, spocz – sygnałem początkowy ocenianego procesu.

(3)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.

Wskaźniki sumowe (całkowe)

W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )

I_ITAE=

k_oc

X

k=0

[k|es(k)|] , min (4)

ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )

IITSE=

koc

X

k=0

[ke_s²(k)] , min (5)

(4)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE

pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki

bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej

Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.

W zakresie pracy liniowej układu regulacji znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej układu regulacji związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.

(5)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth

IITAE mod1=

k_{oc mod}

X

k=0

k|s(k)| +

k_oc

X

k=koc mod

k|es(k)| , min (6)

Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: koc mod= 1/(ksCm) (k_s= k_{x 1}w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)

Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.

(6)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (7)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(7)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger

IITAE mod2=

k_oc

X

k=k_{oc mod}

(k − koc mod)²|es(k)| , min (8)

Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik I_{ITAE mod2}ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).

(8)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje

wskaźnik jednokryterialny I_IAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) e_s(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu k_{oc otw} określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia s_o ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu

koc otw : |sotw− so| = 0 (9) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik

IIAED=

k_{oc otw}

X

k=0

k|e_s(o−z)(k)| +

k_oc

X

k=koc otw

k|es(k)| , min (10)

(9)

Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny

Rysunek:Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.

(10)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Do zaprojektowania zaawansowanego układu regulacji pozycji silnika DC, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym

X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)

y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (11) gdzie: X (t) ∈ Rⁿ - wektor stanu, U(t) ∈ R^m - wektor sygnałów sterują- cych, y (t) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjścio- wych, Amc ∈ R^n×n - macierz stanu Bmc ∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmc ∈ R^p×m - macierz wyjścia.

Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.

Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,

ciągłego układu dynamicznego.

(11)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC







Uz(t) = Rwiw(t) + Lw

diw(t)

dt + keωs(t) k_mi_w(t) = Jd ωs(t)

dt + Bω_s(t) + M_obc(t)

(12)

po przekształceniu





 diw(t)

dt = −ke

L_wωs(t) −Rw

L_wiw(t) + 1 L_wUz(t) d ωs(t)

dt = −B

Jωs(t) +km

J iw(t) −1

JMobc(t)

(13)

można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz(t) =

iw(t) ωs(t)

, Ufiz=

Uz(t) Mobc(t)

(14)

(12)

Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne

Model fizykalnych zmiennych stanu jest następujący











X˙fiz(t) =







−Rw

L_w −ke

L_w km

J −B

J





Xfiz(t) +





 1 L_w 0

0 −1 J





Ufiz(t) Y (t) =

0 1 Xfiz(t) +

0 0 Ufiz(t)

(15)

X˙fiz(t) = AfizXfiz(t) + BfizUfiz(t)

Y (t) = CfizXfiz(t) + DfizUfiz(t) (16)

(13)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω²₀

s²+ 2ξω₀s + ω²₀ (17) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmiennych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.

Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu

˙

x₁(t) = x₂(t)

˙

x2(t) = −ω²₀x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (18) równanie wyjścia

y (t) = kω₀x₁(t) (19)

(14)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:

Xfaz(t) =

x₁(t) x₂(t)

, Ufaz = Uz(t) (20) jest następujący







X˙_faz(t) =

0 1

−ω₀² −2ξω²₀

X_faz(t) +

0 1

U_faz(t) Y =

kω²₀ 0 Xfaz(t) + [0] U_faz(t)

(21)

X˙faz(t) = AfazXfaz(t) + BfazUfaz(t)

Y (t) = CfazXfaz(t) + DfazUfaz(t) (22)

(15)

Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe

Model z czasem ciągłym stanu procesu ruchu jako człon oscylacyjny zachowań prędkościowych

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω₀² −2ξω0



X (t) +



 0 0 1



U(t) (23)

y (t) = [1 0 0] X (t) (24)

Fazowe zmienne stanu są następujące







x1(t) = s(t) x2(t) = v (t) x3(t) = a(t)

(25)

(16)

Równania stanu silnika DC- zmienne fazowe

Podany model obliczeniowy z czasem ciągłym procesu ruchu w układzie napędowym ma następujące 4 zalety:

1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, a wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne,

2 jakościowo poprawnie modeluje zależność dynamiki napędu od położenia elementu ruchomego, obciążenia masowego i warunków pracy,

3 spełnia warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej,

4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.

(17)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym

X (k + 1) = A_mdX (k) + B_mdU(k)

y (k) = CmdX (k) (26)

gdzie: X (k) ∈ Rⁿ- wektor stanu, U(k) ∈ R^m - wektor sygnałów sterujących, y (k) ∈ R^p - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amd ∈ R^n×n - macierz stanu Bmd∈ R^n×m - macierz sterowania, Cmd∈ R^p×m - macierz wyjścia.

(18)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.

Uwzględniając : czas dyskretny k,

okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp

sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:

U(t) = U(kT_p) dla t ∈ hkT_p, (k + 1)T_pi (27) oraz dla modelu fazowych zmiennych stanu oznaczając:

A_mc = A_faz, B_mc = B_faz, C_mc= C_faz (28)

(19)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać:

X (k + 1) = exp(AmcTp)X (k) +







Tp

Z

0

exp (Amct)Bmcdt





U(k) (29)

gdzie

Amd= exp (AmcTp) = L⁻¹[(sI − Amc)⁻¹]; (30)

B_md =

Tp

Z

0

exp (A_mct)B_mcdt = A⁻¹_mc[exp (A_mcT_p) − I ]B_mc, det A 6= 0 (31)

(20)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

W przypadku modelu opisanego pulsacją drgań swobodnych ω0 i tłumieniem ξ – macierz A_md wyznaczana może być zgodnie z definicją

A_md= e^A^mc^T^p = L⁻¹[(sI − A_mc)⁻¹] _t=T

p (32)

Amd = L⁻¹





 1 s

2ξω₀²+ s s(2ξω²₀s + ω²₀+ s²)

1

s(2ξω₀²s + ω²₀+ s²) 0 (2ξω₀²+ s)

(2ξω₀²s + ω₀²+ s²)

1

(2ξω²₀s + ω₀²+ s²)

0 −ω₀²

(2ξω₀²s + ω₀²+ s²)

s

(2ξω²₀s + ω₀²+ s²)





 t=T_p

(33) gdzie L⁻¹ - odwrotne przekształcenie Laplace’a.

Bmd = A⁻¹_mc(Amd− I )Bmc, det Amc 6= 0 (34)

(21)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli

Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym:

X (k + 1) = AmdX (k) + BmdU(k)

y (k) = CmdX (k) (35)

UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.

(22)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

szereg Taylora

Jeśli funkcja f : D → Y , gdzie D ⊆ R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x₀∈ D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg

∞

X

n=0

1

n!f⁽ⁿ⁾(x₀)(x − x₀)ⁿ, (36) gdzie przyjęto f⁽⁰⁾(x0) = f (x0).

Jeżeli x₀= 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać

f (x ) = f (0) +

∞

X

n=1

f⁽ⁿ⁾(0)

n! xⁿ (37)

Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać e^x =

∞

Xxⁿ

(38)

(23)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na:

Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (AmcTp) szeregiem funkcyjnym MacLaurina,

Krok 2: zapisie macierzy Amd i Bmd w postaci

Amd =

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

i ! T_pⁱ; Bmd= Tp

∞

X

i =0

Aⁱ_mc

(i + 1)!T_pⁱBmc (39)

Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.

(24)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej.

Transformacja Tustina polega na aproksymacji Pad´e funkcji eksponencjal- nej

z = e^sT (40)

Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni ’s’ Laplace’a (układ z czasem ciągłym) do przestrzeni ’z’ (układ z czasem dyskretnym):

s = 2 T

(z − 1)

(z + 1) (41)

(25)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Model z czasem ciągłym

X (t) =˙





0 1 0

0 0 1

0 −ω₀² −2ξω0



X (t) +



 0 0 1



U(t)

y (t) = [1 0 0] x1(t)

Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tpwyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym

X (k + 1) =





1 T_p 0

0 1 − αTp βTp

0 −2αβ 1 − αTp− 2β(1 − β)



X (k) +



 0 0 1



U(k) y (k) = [1 0 0] X (k)

gdzie

α = 1

2ω₀²Tp; β = 1 − 2ξω0Tp

(26)

Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)

Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określa- jącego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x (k) złożonego z pró- bek danego sygnału ciągłego x (t), można wiernie odtworzyć sygnał x (t).

Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność naj- wyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale.

ωp= 2π Tp

; ωp 2ω0⇒ Tp¬ π ω0

(42) Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali róż- nic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ωp wynikająca z okresu Tp a pulsacją ω0.

Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp ∈< 0.8, 2 > ms, otrzy- muje się pulsację próbkowania ωp∈< 7850, 3140 > rd /s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω0∈< 10, 60 > rd /s za- chowań ruchowych (siłowych) napędu: takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.

(27)

Metody samostrojenia

Samostrojenie (ang. autotuning ) określamy jako zdolność regulatora do samoczynnego dobrania jego nastaw w wyniku eksperymentu

inicjowanego przez operatora. Procedura polega na ekstrakcji cech obiektu w zadanym punkcie pracy i określeniu na ich podstawie nastaw.

Metody samostrojenia można podzielić ze względu na rodzaj eksperymentu:

Metody odpowiedzi skokowej

Metody odpowiedzi częstotliwościowej (znane również jako metody cyklu granicznego)

W cyfrowych implementacjach częściej stosowane są metody odpowiedzi częstotliwościowej ze względu na łatwą realizację samego algorytmu.

(28)

Metody samostrojenia - metoda odpowiedzi częstotliwościowej

W 1940 roku John G. Ziegler i Natthaniel Nichols zaproponowali metodę doboru nastaw regulatora PID, poprzez wyznaczenie punktu przecięcia charakterystyki amplitudowo-fazowej z osią rzeczywistą na płaszczyźnie zespo- lonej, oznaczony jako P. Punkt P można opisać poprzez wzmocnienie krytyczne k_kr (z ang. ultimate gain) i częstość krytyczną ω_kr (z ang. ultimate period ).

ωkr = 2π Tosc

(43)

(29)

Metody samostrojenia - Zieglera-Nicholsa, Z-N

Ziegler i Nichols zaproponowali eksperyment mający na celu wyznaczenie punktu P, polegający na doborze wzmocnienia w układzie zamkniętym z regulatorem proporcjonalnym tak, aby na wyjściu ustaliły się niegasnące oscylacje (granica stabilności) o okre- ślonej amplitudzie. Dobrana nastawa kpjest poszukiwanym wzmocnieniem krytycznym, a częstosć krytyczna jest wyznaczana poprzez pomiar okresu oscylacji Tosc przebiegu wyjściowego:

(30)

Metody samostrojenia - metoda Z-N

kkr= 1

k = 1

1 − ∆M (44)

ω_kr= 2π Tosc

(45)

(31)

Metody samostrojenia - Metoda ˚ Astr¨ oma-H¨ agglunda (A-H)

Zaproponowana przez Zieglera i Nicholsa metoda sprawia problemy w przypadku prób automatyzacji eksperymentu z regulatorem proporcjonalnym.

W roku 1984 Karl ˚Astr¨om i Tore Hagglund zaproponowali alternatywną metodą wyzna- czenia punktu krytycznego z wykorzystaniem regulatora dwustawnego. Dla większości obiektów regulacji, układ zamknięty z regulatorem przekaźnikowym ustala przebieg war- tości regulowanej zbliżony do sygnału sinusoidalnego (tzw. cykl graniczny).

(32)

Metody samostrojenia - Metoda A-H, przekaznik bez histerezy

W tym przypadku punkt krytyczny P, jest przecięciem charakterystyki amplitudowo- fazowej układu otwartego i wykresu krytycznego regulatora dwustawnego:

J(A) = − 1

N(A) (46)

gdzie N(A) - funkcja opisująca regulatora dwustawnego, A - amplituda wartości proce- sowej.

(33)

Metody samostrojenia - Metoda A-H, przekaźnik bez histerezy

Transmitanacja widmowa układu liniowego G (j ω) =Ay(ω)

Au

e^{j α(ω)} (47)

Wzmocnienie dynamiczne układu

k(ω) =Ay(ω) Au

(48) Wzmocnienie dynamiczne regulatora dwustawnego jest równe wartości jego funcji opi- sującej.

kkr = N(A) = 4d

πA (49)

gdzie: d - amplituda sygnału sterującego (przełączanie), A - amplituda wartości proce- sowej.

Częstość oscylacji sygnału wyjściowego jest równa częstości krytycznej, a wzmocnienie krytyczne jest w równe wzmocnieniu dynamicznemu, które z kolei odpowiada wartości funkcji opisującej.

kkr ≈ N(A) = 4d

πA (50)

(34)

Metody samostrojenia - Metoda A-H, przekaźnik bez histerezy

Strojenie regulatora odbywa się w taki sposób, że na krótki okres układ regulacji jest przełączany z regulatora PID na regulator dwustawny. Po wyznaczeniu parametrów drgań ustalonych następuje ponowne przełączenie na regulator PID, a nastawy regulatra wyznacane są na podstawie wzmocnienia i częstości krytycznj.

Stosowanie regulatora przekaźnikowego bez histerezy ma kilka wad. Najpoważniejszą z nich jest duża częstość przełączeń zmniejszająca żywotność elementów wykonawczych oraz wrażliwość na szumy pomiarowe, które mogą powodować dodatkowe niepożądane przełączenia.

(35)

Metody samostrojenia - Metoda A-H, przekaźnik z histerezą

W celu redukcji liczby przełaczeń, oraz uzyskania czyklu granicznego, w przypadku gdy nie wstępuje przy przekazniku bez histerezy można zastosować przekaźnik z histerezą,

Dla przekaźnika z histerezą, funkcja opisująca przybiera postać

N(A) = 4d πA

r

1 − h² A²− jh

A

!

(51)

(36)

Metody samostrojenia - Metoda A-H, przekaźnik z histerezą

Parametry cyklu granicznego amożna wyznaczyć w sposób analogiczny jak dla regulatora bez histerezy, badając charakterystykę widmową układu, oraz wyznaczając parametry krytyczne.

Tabela przedstawia nastawy proponowane przez ˚Astr¨oma i H¨agglunda. Zapewniają one zapas modułu rzędu 6dB oraz zapas fazy ok. 45^◦.

Algorytm regulatora kp Ti Td

P 0.5k_kr - -

PI 0.45kkr 0.83Tosc -

PID 0.59kkr 0.5Tosc 0.25Tosc

Tablica:Nastawy ˚Astr¨oma-H¨agglunda.

(37)

Metody samostrojenia - Metoda Kappa-Tau

Karl ˚Astr¨om i Tore H¨agglund, oprócz metody przekaźnikowej, opracowali również me- todę Kappa-Tau. Jest ona rozwinięciem metod Zieglera-Nicholsa i polega na wyznaczeniu nastaw poprzez trzy parametry. W przypadku cyklu granicznego sa to: wzmocnienie krytyczne kkr, okres oscylacji Tosc, parametr κ określany jako

κ = 1 kobkkr

(52) Nastawy dobierane są na podstawie następujących funkcji:

kp

k_kr = f (κ) = a₀^a¹^κ+a²^κ² (53) Ti

Tosc

= f (κ) = a^a₀¹^κ+a²^κ² (54) kp

kkr

= f (κ) = a₀^a¹^κ+a²^κ² (55) Współczynniki a0, a1i a2obecne w funkcji f (κ) są różne dla poszczególnych nastaw i określane wg tabeli.

(38)

Metody samostrojenia - Metoda Kappa-Tau

(39)

Metody samostrojenia - Metoda Kappa-Tau

Przy obliczaniu nastaw należy zadać układowi tzw. maksymalą wrażliwość (ang. Maxi- mum Sensitivity ) - Ms. Jest to parametr definiowany jako:

Ms= max

0¬ω¬∞

1 1 + Gl(i ω)

⁽⁵⁶⁾

Parametr ten gwarantuje że dystans charakterystyki amplitudowo-fazowej układu za- mkniętego od punktu krytycznego (-1,j0) jest zawsze większy od _M¹

s .

(40)