Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Wykład 6 - Modelowanie napędów złączy
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2019
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Modelowanie napędu złączy - silniki DC
Silniki elektryczne prądu stałego są bardzo często stosowanymi elementami wykonawczymi w układach regulacji.
Zalety:
duży moment obrotowy,
wysoka sprawność w porównaniu z innymi konstrukcjami, małe wymiary.
Wady:
iskrzenie (zakłócenia przemysłowe), zużywanie się szczotek komutatora.
W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat wprowadzono na rynek szereg silni- ków prądu stałego o specjalnej konstrukcji, charakteryzujących się bardzo dobrymi właściwościami dynamicznymi.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Moment obrotowy w silnikach elektrycznych powstaje na skutek oddziały- wania między zewnętrznym polem magnetycznym, a polem magnetycznym powstającym wokół przewodnika, przez który płynie prąd.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
‘
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym W silnikach prądu stałego małej mocy zewnętrzne pole magnetyczne wy- twarzane jest zazwyczaj przez magnesy trwałe, umieszczone w nierucho- mej obudowie silnika zwanej stojanem.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Znajdujący się w polu magnetycznym stojana wirnik zawiera uzwojenia składające się z wielu ramek przewodów połączonych z komutatorem.
Zazwyczaj uzwojenia te nawinięte są na rdzeniu z materiału ferromagne- tycznego. W wyniku współdziałania strumienia stojana i prądu przepływa- jącego w uzwojeniach wirnika powstaje moment obrotowy.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Aby moment obrotowy działający na wirnik był maksymalny, wektory stru- mienia magnetycznego stojana i wirnika powinny być względem siebie pro- stopadłe. Zapewnia to komutator, który przełącza kolejne ramki uzwojenia wirnika, powodując odpowiednie zmiany kierunku przepływającego prądu.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schematyczna budowa silnika prądu stałego z magnesem trwałym Napięcie zasilające komutator doprowadzane jest przez szczotki, wykonane ze specjalnie spreparowanego węgla. W silnikach tego typu obwodem ste- rowania jest zawsze obwód wirnika. Zmiany napięcia zasilającego ob- wód sterowania wywołują zmiany momentu obrotowego a tym samym, przy określonym momencie obciążenia wirnika, zmianę prędkości kątowej wirnika.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry elektryczne
Uz – napięcie zasilające wirnik, iw – prąd płynący w uzwojeniach wirnika, Rw – rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika, Lw – indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika, E – siła elektromotoryczna indukcji, ωs– prędkość kątowa wirnika.
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Rysunek:Schemat zastępczy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
parametry mechaniczne
Ms– moment obrotowy wirnika, ωs – prędkość kątową wirnika, B – współ- czynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika, J – moment bez- władności zredukowany do wału wirnika, Mobc – stały moment obciążenia silnika.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Tworząc model silnika należy zwrócić uwagę na znalezienie zależności po- między napięciem zasilającym silnik (Uz) a prędkością kątową silnika (ωs).
Rozważając osobno elektryczne i mechaniczne parametry obwodu wirnika można napisać dwa równania modelujące jego działanie.
Na podstawie schematu zastępczego oraz II-go prawa Kirchhoffa można napisać równanie elektryczne silnika
Uz= URw + ULw + E (1)
Moment obrotowy wirnika, wykorzystywany do pokonania
momentów przeciwstawiających się jego ruchowi można zapisać jako
Ms = Ma+ Mv+ Mobc (2)
Budowa i działanie silnika DC - zależności elektryczne
Napięcie na rezystancji uzwojeń wirnika jest proporcjonalne do prądu przez niego płynącego
URw = Rwiw (3)
Napięcie odniesione do indukcyjności wirnika jest proporcjonalne do zmian prądu przez niego płynącego (straty w obwodzie magnetycznym zostały tutaj pominięte)
ULw = Lwdiw
dt (4)
Gdy wirnik wykonuje ruch obrotowy, w jego uzwojeniach indukowana jest siła elektromotoryczna indukcji (SEM), której wartość jest proporcjo- nalna do prędkości kątowej wirnika
E = keωs (5)
gdzie: ke– stała elektryczna, zależna m.in. od strumienia magnetycznego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Podstawiając kolejne składowe napięcia Uz do równania, otrzymamy Uz = Rwiw+ Lw
diw
dt + keωs (6)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Budowa i działanie silnika DC - zależności mechaniczne
Zakładając, że strumień magnetyczny stojana ma wartość stałą, moment obrotowy wirnika, proporcjonalny do prądu płynącego przez wirnik ma postać
Ms = kmiw (7)
gdzie km– stała mechaniczna, zależna m.in. od strumienia magnetycz- nego stojana oraz liczby zwojów w uzwojeniach wirnika.
Moment związany z przyspieszeniem kątowym wirnika ma postać
Ma= Jd ωs
dt (8)
Moment związany z oporami ruchu wirnika
Mv = Bωs (9)
Podstawiając kolejne składowe momentu Ms do równania kmiw= Jd ωs
+ Bωs+ Mobc (10)
Równanie dynamiki silnika DC
Układ równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz = Rwiw+ Lwdiw
dt + keωs kmiw = Jd ωs
dt + Bωs+ Mobc
(11)
stosując przekształcenie Laplace’a
Uz(s) = Rwiw(s) + Lwsiw(s) + keωs(s) kmiw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
(12) a następnie określając zmienną wiążącą jako iw(s)
iw(s) = Uz(s) − keωs(s) Rw+ Lws
iw(s) = Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
km
(13)
czyli
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws =Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc
km (14)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równanie dynamiki silnika DC
Przyjmując
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc
km
(15) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość ką- tową wirnika
kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jsωs(s) + Bωs(s) + Mobc) (16)
Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu
Równanie dynamiki silnika DC
Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z ma- gnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:
Mobc= 0 (17)
co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (18) Tak więc otrzymujemy uproszczony opis silnika w postaci układu liniowego, stacjonarnego, o charakterze układu oscylacyjnego.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Opis w postaci transmitancji
Transmitancja operatorowa silnka DC (przy założeniu Mobc= 0) G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (19) stosując następujące podstawienia
kω20= km
LwJ, 2ξω0= RwJ + LwB
LwJ , ω20=kmke+ RwB
LwJ (20)
można ją zapisać w postaci transmitancji układu oscylacyjnego G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (21) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań nietłumio- nych.
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja operatorowa G (s) = Y (s)
U(s) = kω02
s2+ 2ξω0s + ω02 (22) Odpowiedź na wymuszenie skokowe
y (t) = L−1
ust1
s
kω20 s2+ 2ξω0s + ω0
= kust
"
1 − 1
p1 − ξ2e−ξω0tsin ω0
p1 − ξ2t + φ
# (23)
φ = arctg
p1 − ξ2
ξ (24)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Człon oscylacyjny - właściwości
Rysunek:Odpowiedź skokowa członu oscylacyjnego - wpływ współczynnika tłumienia ξ
Człon oscylacyjny - właściwości
Transmitancja widmowa
G (j ω) = kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (25)
Rysunek:Charakterystyka amplitudowo-fazowa - zależność od współczynnika tłumienia ξ
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Człon oscylacyjny
Transmitancja widmowa
G (j ω) =kω20[(ω20− ω2) − j 2ξω0ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (26)
P(j ω) = kω20[(ω02− ω2)]
(ω02− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (27) Q(j ω) = − k[2ξω30ω]
(ω20− ω2)2+ (2ξω0ω)2 (28) gdzie: 0 < ξ < 1 - współczynnik tłumienia, ω0- pulsacja drgań nietłumionych.
Rysunek:Logarytmiczne
charakterystyki amplitudowa i fazowa
Budowa i działanie silnika elektrycznego DC
Do przeprowadzenia numerycznej symulacji działania silnika należy zdefi- niować jego parametry (współczynniki i stałe).
Przykładowo:
Rezystancja zastępcza uzwojeń wirnika: Rw= 2 Ω, Indukcyjność zastępcza uzwojeń wirnika: Lw= 0.1 H, Stała elektryczna: ke= 0.1 V · s
rad ,
Moment bezwładności zredukowany do wału wirnika:
J = 0.1 kg · m2 s2 ,
Współczynnik tarcia lepkiego zredukowany do wału wirnika:
B = 0.5 Nm · s rad ,
Stała mechaniczna: km= 0.1 Nm A .
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Realizacje układów sterowania zwykłego silnika DC
Realizacje układów sterowania zwykłego układy jednoobwodowe,
układy kaskadowe,
układy wieloobwodowe ze sprzężeniem od zmiennych stanu:
fizykalnych lub fazowych.
Układy jednoobwodowe
Układy jednoobwodowe
Są to proste układy regulacji, z wykorzystaniem regulatorów z konwencjo- nalnym działaniem typu P, PD, PI, PID, lub z odpowiednio zmodyfiko- wanymi działaniami. W wersji dyskretnej wyróżnia się dwie realizacje tego rodzaju układu regulacji
pozycyjną, przyrostową.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Układy jednoobwodowe
Wersja pozycyjna (rzadko stosowana) - PID
u(k) = αPkPes(k) + αI
1 TI
k−1
X
i =1
[es(i )Tp] + αDTD
es(k) − es(k − 1) Tp
(29) Ze względu na całkowanie wersja ta wymaga pamiętania informacji o odchyłce es(k) od początku sterowania, aż do chwili bieżącej i = k.
Układy jednoobwodowe
Wersja przyrostowa
u(k)−u(k−1) = kP
es(k) − es(k − 1) +Tp
TIes(k − 1) + TDes(k) − 2es(k − 1) + es(k − 2) Tp
(30)
w wersji rekursywnej
u(k) = u(k − 1) + q0es(k) + q1es(k − 1) + q2es(k − 2) (31) gdzie:
q0= kp
1 + TD
Tp
, q1= −kp
1 − Tp
TI
+2TD Tp
, q2= kpTD Tp
(32) Transmitancję dyskretną działania regulacyjnego opisuje zależność
GPID(z) = u(z)
es(z) = q0+ q1z−1+ q2z−2
1 − z−1 (33)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Układy jednoobwodowe
UWAGI
w wersji dyskretnej – inaczej niż w ciągłej – można wprowadzić różniczkowanie quasi-idealne przez zastąpienie go operatorem różnicy, którego wartości są skończone nawet w przypadku skokowej zmiany wartości zadanej s0(k)
dla doboru nastaw można stosować różne podejścia, w praktyce np.
wymuszanie przy pomocy sterowania proporcjonalnego kP drgań niegasnących układu napędowego o okresie Tkr (kP = kkr) i dobór nastaw na podstawie oferowanych tablic (np. Ziegler, Nichols, 1942) lub innych zależności.
Dobór okresu próbkowania
Przy projektowaniu cyfrowych układów regulacji, bardzo ważnym zagadnieniem jest wła- ściwy dobór okresu próbkowania wartości sygnałów analogowych. Zgodnie z twierdze- niem o próbkowaniu Shannon’a, znanym również jako twierdzenie Whittaker-Nyquist- Kotelnikov-Shannon, częstotliwość próbkowania musi być większa od dwukrotności naj- wyższej składowej częstotliwości, charakteryzującej mierzony sygnał:
fP> 2 · fs (34)
Okres próbkowania, stanowiący odwrotność częstotliwości próbkowania, określony jest zatem zależnością:
Tp< 1 2 · fS
(35) gdzie: fP – częstotliwość próbkowania wartości sygnału analogowego, fs – najwyższa składowa częstotliwości sygnału analogowego, Tp– okres próbkowania wartości sygnału analogowego.
Jest to warunek wystarczający dla wiernego odtworzenia sygnału ciągłego na podsta- wie znanego sygnału dyskretnego. Przykładowo, sygnał analogowy charakteryzujący się przebiegiem sinusoidalnym powinien być co najmniej 3-krotnie próbkowany w ciągu okresu, aby można go było jednoznacznie odtworzyć na podstawie próbek.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Dobór okresu próbkowania - uwagi praktyczne
im krótszy jest okres próbkowania, tym więcej algorytmów regulacji jest przetwarzanych w pojedynczym cyklu,
przy zastosowaniu ograniczenia liczby algorytmów regulacji obsługiwanych w jednym cyklu, przyjęcie zbyt krótkich okresów próbkowania może doprowadzić do sytuacji, w której niektóre obwody regulacji nigdy nie zostaną obsłużone, zbyt krótki okres próbkowania wywołuje przeregulowanie, prowadzi do pogorszenia jakości regulacji a nawet do utraty stabilności,
zbyt długi okres próbkowania sprawia, że reakcja regulatora na zakłócenia jest zbyt spowolniona, co prowadzi do pogorszenia jakości regulacji,
okres próbkowania powinien być tak duży jak to tylko praktycznie możliwe.
okres próbkowania zależy również od rodzaju użytego aktuatora; np. czasy przestawienia serwomotoru są rzędu ms, zaworu pneumatycznego - rzędu setek ms, natomiast zaworu z siłownikiem elektrycznym - rzędu s.
Równanie dynamiki silnika DC
mając
Uz(s) − keωs(s)
Rw+ Lws = Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc km
(36) można zapisać zależność wiążącą napięcie zasilające silnik i prędkość kątową wirnika
kmUz(s) − kmkeωs(s) = (Rw+ Lws)(Jωs(s)s + Bωs(s) + Mobc) (37)
Rysunek:Schemat blokowy silnika prądu stałego, sprowadzonego do obwodu wirnika
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równanie dynamiki silnika DC
Do wyznaczenia transmitancji silnika elektrycznego prądu stałego z magnesem trwałym, należy przyjąć zerowe obciążenie, czyli:
Mobc= 0 (38)
co daje transmitancję operatorową postaci G (s) = ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (39) Tak więc otrzymujemy układ liniowy, stacjonarny, mający charakter układu oscylacyjnego.
Transmitancje układu regulacji
Transmitancja - wejściem jest napięcie zasilania Uz(s) ωs
Us(s)= km
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (40) Transmitancja zakłóceniowa - wejściem jest moment obciążający
ωs
Mobc(s)= − sLw+ Rw
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) (41)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Sterowanie feedforward silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy sterowania feedforward Równanie regulatora
GR(s) = LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB) km
(42) UWAGA: Równanie regulatora zawiera parametry silnika, które mogą być wyznaczone niedokładnie. Ponieważ w układzie nie ma sprzężenia zwrotnego, sygnał wyjściowy może się znacznie różnić od sygnału referencyjnego.
Układ jednoobwodowy - sterowanie prędkością silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy jednoobwodowego układu regulacji prędkości silnika DC
Regulator P
GR(s) = kωp (43)
Regulator PI
GR(s) = kωp
1 + 1
Tωis
(44)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Jakość układu regulacji
Zadaniem układu regulacji jest minimalizacja odchyłki regulacji.
e(t) = ez(t) + ew(t), (45) gdzie
ez(t) - odchyłka wywołana zakłóceniem,
ew(t) - odchyłka wywołana wymuszeniem. (zmianą wartości zadanej) Przy ocenie jakości układu regulacji analizuje się oddzielnie obydwa składniki odchyłki regulacji, przy założeniu że układ jest liniowy i spełnia zasadę superpozycji.
Odchyłka zakłóceniowa
Transmitancja odchyłkowa układu względem zakłócenia Gz(s) = ∆ym(s)
z(s) =ez(s)
z(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s) (46) ez(s) = ∆ym(s) = ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (47) Odchyłka statyczna względem zakłócenia:
ezst.= lim
t→∞ez(t) = lim
s→0s · ez(s) (48) ezst.= lim
s→0s · ±Gz(s)Gob(s)
1 + Gob(s)Gr(s)z(s) (49)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Odchyłka nadążania
Transmitancja odchyłkowa układu względem wartości zadanej Gew(s) = ew(s)
∆w (s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s) (50) ew(s) = −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (51) Odchyłka statyczna względem wartości zadanej
ewst.= lim
t→∞ew(t) = lim
s→0s · ew(s) (52) ewst.= lim
s→0s · −1
1 + Gob(s)Gr(s)∆w (s) (53)
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC
Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator P, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1
1 + kmkωp
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)
ωst (54)
ewst.= 1
1 + kmkωp
(kmke+ RwB)
ωst (55)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością silnika DC
Odchyłka statyczna względem wartości zadanej - regulator PI, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1
1 +
kmkωp
1 + 1
Tωis
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB)
ωst (56)
ewst.= 0 (57)
Układ kaskadowy - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC
Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości i położenia silnika DC
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Odchyłka nadążania - sterowanie prędkością i położeniem silnika DC
Odchyłka statyczna położenia względem wartości zadanej - regulator P położenia, regulator P prędkości, wymuszenie skokowe
ewst.= lim
s→0
1 1 +kθP
s Gω(s)
θst (58)
gdzie
Gω(s) = kmkωp
LwJs2+ (RwJ + LwB)s + (kmke+ RwB + kmkωp) (59) tak więc odchyłka statyczna położenia w stanie ustalonym ma wartość:
ewst.= 0 (60)
Układ kaskadowy - sterowanie prędkością, położeniem i prądem
Rysunek:Schemat blokowy kaskadowego układu regulacji prędkości, położenia i prądu silnika DC
UWAGA: W wiekszości komercyjnie dostępnych silników DC pętla sprzężenia od prądu wykorzystywana jest do kompensacji wpływu momentu obciążenia silnika i regulacji przepływu prądu przez silnik.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Układy kaskadowe
Przyczyny powszechności zastosowań układów kaskadowych dobór nastaw regulatorów i optymalizacja są bardzo proste - od wewnątrz na zewnątrz kaskady,
ograniczona liczba nastaw – podstawowym parametrem jest współczynnik wzmocnienia prędkościowego kv, obliczany z warunku żądanego stosunku prędkości (rzeczywistej) do odchyłki położenia w ruchu ustalonym (odchyłki nadążania, śledzenia)
dla ruchu postępowego
kv = v
∆s|ruch ustalony (61)
dla ruchu obrotowego
kv = ω
∆$|ruch ustalony (62)
prosta i tania realizacja sprzętowa i/lub programowa.
Jakość układu regulacji
Oprócz wymogu stabilności asymptotycznej, układom regulacji stawiane są dodatkowe wymagania związane z zachowaniem się układu w stanach przejściowych (dynamicznych) i w stanach ustalonych, określane ogólnie jako wymagania dotyczące jakości układu regulacji.
Wymagania odnoszące się do przebiegu procesów przejściowych w ukła- dach regulacji określane są za pomocą szeregu wskaźników, nazywanych ogólnie kryteriami (wskaźnikami) jakości dynamicznej układu regulacji.
Wymagania dotyczące stanów ustalonych formułuje się przez określenie tzw. dokładności statycznej układu regulacji – dopuszczalnych wartości odchyłek regulacji w stanach ustalonych.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Wpływ akcji regulatora na odchyłki statyczne
W układzie z obiektem statycznym i regulatorem o algorytmie P lub PD występują niezerowe odchyłki statyczne zarówno zakłóceniowe jak i nadążania proporcjonalne odpowiednio do wartości zakłócenia lub zmiany wartości zadanej.
Zwiększenie wzmocnienia proporcjonalnego regulatora P lub PD zmniejsza wartość odchyłek statycznych. Zmniejszenie odchyłki statycznej przez zwiększenie wzmocnienia jest zwykle ograniczone ze względu na warunki stabilności układu. Układ z regulatorem PD osiąga granicę stabilności przy większym wzmocnieniu regulatora niż w przypadku układu z regulatorem P.
Akcja całkująca występująca w regulatorze zapewnia zerowe odchyłki statyczne przy stałych wartościach zakłócenia lub stałych zmianach wartości zadanej.
Jakość dynamiczna
W praktyce wykorzystuje się różne wskaźniki jakości dynamicznej:
wskaźniki przebiegu przejściowego - wskaźniki dotyczące parametrów odpowiedzi skokowych,
wskaźniki dotyczące charakterystyk częstotliwościowych układu regulacji - zapasy modułu i fazy,
całkowe wskaźniki jakości.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Wskaźniki przebiegu przejściowego
Do oceny przebiegów przejściowych wykorzystywane są wskaźniki:
statyczna odchyłka zakłóceniowa: ezst.
statyczna odchyłka nadążania: ewst.
maksymalna odchyłka dynamiczna: em- maksymalna wartość odchyłki regulacji po wprowadzeniu zakłócenia skokowego lub skokowej zmiany wartości zadanej.
czas regulacji: tr - czas od chwili wprowadzenia skokowego zakłócenia lub wymuszenia do chwili, od której odchyłka regulacji nie wykracza poza przedział wartości ±∆e .
przeregulowanie: κ = e2
e1· 100% - wyrażony w procentach stosunek amplitudy drugiego odchylenia e2od wartości ustalonej do amplitudy pierwszego odchylenia e1.
Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji
minimalizacja ustalonej (statycznej) odchyłki procesu regulacji (esu):
Iesu= αes|s(ku) − so| , min (63) minimalizacja maksymalnej odchyłki przejściowej (dynamiczna: przeregulowania lub nadwyżki) espo kierunku przeciwnym do odchyłki początkowej, określanej w procedurze o schemacie:
Iesp= αespmax
0, max
0<k<ku
[(s(k) − s0)sgn(s0− spocz)]
, min (64)
minimalizacja czasu zakończenia (traktowanego alternatywnie jako czas ustalania lub doregulowania) procesu – wyrażony przez czas dyskretny kkonc lub (w praktyce wygodniejsze) przez czas ciągły t = kkoncTp:
It= αtkkoncTp, min (65)
gdzie: αes, αespi αt są wagami oceny, s0- sygnał zadany ocenianego procesu, spocz – sygnałem początkowy ocenianego procesu.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Kryteria oceny jakości sterowania - zadanie regulacji
Ocena jakości w oparciu o wymienione wskaźniki, jest łatwa w praktycz- nej realizacji, jednak pojawiają się następujące problemy:
wzajemna sprzeczność kryteriów w odniesieniu do zadań sterowania - np. żądanie większej dokładności (zmniejszenie esdop) prowadzi do wydłużenia czasu ustalania (tu).
obecność przeregulowania w warunkach przemysłowych:
w części zadań pozycjonowania w zakresie ruchów roboczych wykluczone jest pojawienie się tej odchyłki i to bez względu na pogorszenie innych wskaźników,
w innych zadaniach takich jak np. ruchy dobiegowe, celowość skrócenia czasu ruchu pozwala na pewne przekroczenie wartości zadanej,
przeregulowanie, będące następstwem oscylacji słabo tłumionego układu napędowego, może być wykorzystane w trakcie
uruchomieniowego (startowego), iteracyjnego strojenia nastaw.
Standardowe kryteria oceny jakości sterowania
Zróżnicowane wymagania odnośnie pracy układu napędowego w urządzeniach automatyki i robotyki
żądania o charakterze ogólnym, na przykład:
określonej powtarzalności zachowań dokładnościowych i czasowych - w warunkach zmieniających się obciążeń masowych, siłowych itd.
likwidacji pełzania - stabilizacji położenia po (chwilowym) ustaniu ruchu
zadanej podatności obciążeniowej statycznej i dynamicznej – minimalizacji wpływu zmieniających się obciążeń na odchyłkę sterowania w warunkach postoju i ruchu
żądania o charakterze funkcjonalnym, związane ze specyfiką realizacji w konkretnej technice napędowej zadań pozycyjnych (przestawianie, nadążania), siłowych, momentowych,
przyspieszeniowych itp.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
W opisanej sytuacji różnorodności uniwersalnych kryteriów oceny jakości układu pozycyjnego, warto rozważyć zastosowanie kryteriów niestandardowych - uwzględniające specyfikę układu. Np. dla pneumatycznego dławieniowego układu pozycyjnego można stosować wskaźniki jakości pozycjonowania rozszerzone o liczbę przełączeń rozdzielacza proporcjonalnego.
Wskaźniki sumowe (całkowe)
W technice płynowej oparto się na minimalizacji dwóch konwencjonalnych kryteriów ITAE (ang. Integral of Time Multipled with Absolute Error )
IITAE=
koc
X
k=0
[k|es(k)|] , min (66)
ITSE (ang. Integral of Time with Square Error )
IITSE=
koc
X
k=0
[kes2(k)] , min (67)
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Cechy wspólne wskaźników ITAE i ITSE
pożądane uwzględnienie podstawowych parametrów procesu sterowania napędu, tzn. czasu i odchyłki
bardzo silne dowartościowanie początkowej fazy procesu, w której wartość odchyłki jest zbliżona do wartości zadanej
Druga własność prowadzi do oceny końcowej niekorzystnej w stosunku do najbardziej istotnej dla przebiegu procesu fazy zbliżania się do wartości zadanej.
W zakresie pracy liniowej układu regulacji znalezienie minimum ITAE i ITSE jest proste i odpowiada też spełnieniu innych kryteriów (odchyłki ustalonej, maksymalnej odchyłki przejściowej, czasu zakończenia) w przypadku pracy nieliniowej układu regulacji związek wartości wskaźników ITAE i ITSE z minimalizacją wartości parametrów czasowych i dokładnościowych sterowania przestaje być oczywisty.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod1- Roth
IITAE mod1=
koc mod
X
k=0
k|s(k)| +
koc
X
k=koc mod
k|es(k)| , min (68)
Czas podziału koc mod jest wyliczany ze wzmocnienia w torze głównym układu sterowania pozycyjnego: koc mod= 1/(ksCm) (ks= kx 1w przypadku sterowania ze sprzężeniem zwrotnym od zmiennych stanu)
Wskaźnik IITAE mod1sprawdza się tylko w przypadku obiektów o dużym czasie opóźnienia i silnie aperiodycznym zachowaniu.
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger
IITAE mod2=
koc
X
k=koc mod
(k − koc mod)2|es(k)| , min (69)
Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik IITAE mod2ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe modyfikowane zmodyfikowany wskaźnik IITAE mod2- Enger
IITAE mod2=
koc
X
k=koc mod
(k − koc mod)2|es(k)| , min (70)
Z całkowitym wycięciem fazy początkowej przebiegu i liczeniem wartości wskaźnika wg przyjętego funkcjonału dopiero po czasie koc mod(koc mod< koc) osiągnięcia przez odpowiedź skokową układu pozycyjnego maksymalnej wartości przemieszczenia (so+ esp max) Wskaźnik IITAE mod2ograniczony jest do przypadku słabo tłumionych zachowań układu napędowego i wyraźnym przeregulowaniu, będącym warunkiem rozpoczęcia liczenia (mija się z wymaganiami praktycznymi).
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Wskaźniki sumowe - nowe modyfikacje
wskaźnik jednokryterialny IIAED - w postaci różnicy wartości odpowiedzi układu regulowanego (zamkniętego) i układu nieregulowanego (otwartego) es(o−z)(k) - dla początkowej fazy przebiegu procesu sterowania, tzn. aż do czasu koc otw określonego osiągnięciem wartości zadanej (np. przemieszczenia so ) przez odpowiedź układu napędowego przy pełnym wysterowaniu
koc otw : |sotw− so| = 0 (71) i następnie - aż do czasu oceny koc- przez wskaźnik
IIAED=
koc otw
X
k=0
k|es(o−z)(k)| +
koc
X
k=koc otw
k|es(k)| , min (72)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Niestandardowe kryteria i wskaźniki oceny
Rysunek:Ilustracja oceny jakości układu pozycyjnego z wykorzystaniem wskaźnika IIAED (na przykładzie sterowania pozycyjnego pneumatycznego napędu dławieniowego) - a) odpowiedź z przeregulowaniem i oscylacjami, b) odpowiedź aperiodyczna.
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Do zaprojektowania zaawansowanego układu regulacji pozycji silnika DC, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem ciągłym
X (t) = A˙ mcX (t) + BmcU(t)
y (t) = CmcX (t) + DmcU(t) (73) gdzie: X (t) ∈ Rn - wektor stanu, U(t) ∈ Rm - wektor sygnałów sterują- cych, y (t) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjścio- wych, Amc ∈ Rn×n - macierz stanu Bmc ∈ Rn×m - macierz sterowania, Cmc ∈ Rp×m - macierz wyjścia.
Fizykalne zmienne stanu: minimalna liczba niezależnych zmiennych fizycznych.
Fazowe zmienne stanu: Zmienne stanu określone w ten sposób, że kolejna zmienna jest równa pochodnej poprzedniej. Wyznaczane przy założeniu jednowymiarowego, liniowego, stacjonarnego,
ciągłego układu dynamicznego.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Model fizykalnych zmiennych stanu, można wyznaczyć, na podstawie układu równań wiążących zależności elektryczne i mechaniczne silnika DC
Uz(t) = Rwiw(t) + Lw
diw(t)
dt + keωs(t) kmiw(t) = Jd ωs(t)
dt + Bωs(t) + Mobc(t)
(74)
po przekształceniu
diw(t)
dt = −ke
Lwωs(t) −Rw
Lwiw(t) + 1 LwUz(t) d ωs(t)
dt = −B
Jωs(t) +km
J iw(t) −1
JMobc(t)
(75)
można przyjąć następujący wektor stanu i sterowań Xfiz(t) =
iw(t) ωs(t)
, Ufiz=
Uz(t) Mobc(t)
(76)
Równania stanu silnika DC - zmienne fizykalne
Model fizykalnych zmiennych stanu jest następujący
X˙fiz(t) =
−Rw
Lw −ke
Lw km
J −B
J
Xfiz(t) +
1 Lw 0
0 −1 J
Ufiz(t) Y (t) =
0 1 Xfiz(t) +
0 0 Ufiz(t)
(77)
X˙fiz(t) = AfizXfiz(t) + BfizUfiz(t)
Y (t) = CfizXfiz(t) + DfizUfiz(t) (78)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe
Opis elementu oscylacyjnego w postaci transmitancji operatorowej G (s) = kω20
s2+ 2ξω0s + ω20 (79) Układ ten jest opisany równaniem 2-go rzędu, więc wymaga q = 2 zmien- nych stanu, definiujących stan układu w dowolnej chwili czasu.
Korzystając z metody bezpośredniej otrzymuje się następujące równania stanu
˙
x1(t) = x2(t)
˙
x2(t) = −ω20x1(t) − 2ξω0x2(t) + u(t) (80) równanie wyjścia
y (t) = kω0x1(t) (81)
Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe
Model zmiennych stanu z wykorzystaniem zmiennych fazowych:
Xfaz(t) =
x1(t) x2(t)
, Ufaz = Uz(t) (82) jest następujący
X˙faz(t) =
0 1
−ω02 −2ξω20
Xfaz(t) +
0 1
Ufaz(t) Y =
kω20 0 Xfaz(t) + [0] Ufaz(t)
(83)
X˙faz(t) = AfazXfaz(t) + BfazUfaz(t)
Y (t) = CfazXfaz(t) + DfazUfaz(t) (84)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - zmienne fazowe
Model z czasem ciągłym stanu procesu ruchu jako człon oscylacyjny zachowań prędkościowych
X (t) =˙
0 1 0
0 0 1
0 −ω02 −2ξω0
X (t) +
0 0 1
U(t) (85)
y (t) = [1 0 0] X (t) (86)
Fazowe zmienne stanu są następujące
x1(t) = s(t) x2(t) = v (t) x3(t) = a(t)
(87)
Równania stanu silnika DC- zmienne fazowe
Podany model obliczeniowy z czasem ciągłym procesu ruchu w układzie napędowym ma następujące 4 zalety:
1 pojęcia typu wzmocnienie prędkościowe, pulsacja drgań, tłumienie są dla inżynierów zrozumiałe, a wartości parametrów - intuicyjne i inżyniersko weryfikowalne,
2 jakościowo poprawnie modeluje zależność dynamiki napędu od położenia elementu ruchomego, obciążenia masowego i warunków pracy,
3 spełnia warunki sterowalności i obserwowalności układu w sensie Kalmana oraz istotny w przypadku układu napędowego warunek sterowalności wyjściowej,
4 przekłada się w implementacyjnie prosty sposób w algorytm wyboru macierzy sprzężeń zwrotnych, uwzględniając założone właściwości statyczne i dynamiczne układu pozycyjnego.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli
Chcąc zaprojektować układ regulacji w technice mikroprocesorowej, poszukiwany jest model dynamiki układu w postaci modelu w przestrzeni stanów z czasem dyskretnym
X (k + 1) = AmdX (k) + BmdU(k)
y (k) = CmdX (k) (88)
gdzie: X (k) ∈ Rn- wektor stanu, U(k) ∈ Rm - wektor sygnałów sterujących, y (k) ∈ Rp - sygnał wyjściowy wyjście / wektor sygnałów wyjściowych, Amd ∈ Rn×n - macierz stanu Bmd∈ Rn×m - macierz sterowania, Cmd∈ Rp×m - macierz wyjścia.
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli
Transformacja ciągłych równań różniczkowych do dyskretnych równań różnicowych.
Uwzględniając : czas dyskretny k,
okres próbkowania (dyskretyzacji) Tp
sterowanie sygnałami odcinkowo - stałymi zmienianymi wyłącznie w chwili próbkowania (sygnałami schodkowymi) , czyli:
U(t) = U(kTp) dla t ∈ hkTp, (k + 1)Tpi (89) oraz dla modelu fazowych zmiennych stanu oznaczając:
Amc = Afaz, Bmc = Bfaz, Cmc= Cfaz (90)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli
Równanie stanu modelu przekształca się, zgodnie z zasadami dyskretyzacji w postać:
X (k + 1) = exp(AmcTp)X (k) +
Tp
Z
0
exp (Amct)Bmcdt
U(k) (91)
gdzie
Amd= exp (AmcTp) = L−1[(sI − Amc)−1]; (92)
Bmd =
Tp
Z
0
exp (Amct)Bmcdt = A−1mc[exp (AmcTp) − I ]Bmc, det A 6= 0 (93)
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli
W przypadku modelu opisanego pulsacją drgań swobodnych ω0 i tłumieniem ξ – macierz Amd wyznaczana może być zgodnie z definicją
Amd= eAmcTp = L−1[(sI − Amc)−1] t=T
p (94)
Amd = L−1
1 s
2ξω02+ s s(2ξω20s + ω20+ s2)
1
s(2ξω02s + ω20+ s2) 0 (2ξω02+ s)
(2ξω02s + ω02+ s2)
1
(2ξω20s + ω02+ s2)
0 −ω02
(2ξω02s + ω02+ s2)
s
(2ξω20s + ω02+ s2)
t=Tp
(95) gdzie L−1 - odwrotne przekształcenie Laplace’a.
Bmd = A−1mc(Amd− I )Bmc, det Amc 6= 0 (96)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli
Ostatecznie otrzymuje się model z czasem dyskretnym:
X (k + 1) = AmdX (k) + BmdU(k)
y (k) = CmdX (k) (97)
UWAGA: W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur iden- tyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny.
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
szereg Taylora
Jeśli funkcja f : D → Y , gdzie D ⊆ R oraz Y jest przestrzenią unormowaną i ma w punkcie x0∈ D pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg
∞
X
n=0
1
n!f(n)(x0)(x − x0)n, (98) gdzie przyjęto f(0)(x0) = f (x0).
Jeżeli x0= 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg Maclaurina ma następującą postać
f (x ) = f (0) +
∞
X
n=1
f(n)(0)
n! xn (99)
Dla funkcji wykładniczej, szereg Maclaurina ma postać ex =
∞
X
n=1
xn
n! (100)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
W praktyce do realizacji w czasie rzeczywistym procedur identyfikacji i sterowania przy użyciu formalnie uzyskanych macierzy modelu dyskretnego zaleca się stosować przybliżony sposób transformacji opisu modelu ciągłego w dyskretny polegający na:
Krok 1: zastąpieniu funkcji exp (AmcTp) szeregiem funkcyjnym MacLaurina,
Krok 2: zapisie macierzy Amd i Bmd w postaci
Amd =
∞
X
i =0
Aimc
i ! Tpi; Bmd= Tp
∞
X
i =0
Aimc
(i + 1)!TpiBmc (101)
Krok 3: uwzględnieniu tylko kilku pierwszych (lub pierwszego) wyrazów tego rozwinięcia.
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
Postępowanie to odwołuje się do transformacji Tustina polegającej na ograniczeniu rozwinięcia potęgowego operatora s do jednego wyrazu przy wyznaczaniu transmitancji dyskretnej.
Transformacja Tustina polega na aproksymacji Pad´e funkcji eksponencjal- nej
z = esT (102)
Przekształcenie metodą Tustina polega na wykorzystaniu następujących podstawień przy transformacji z przestrzeni ’s’ Laplace’a (układ z czasem ciągłym) do przestrzeni ’z’ (układ z czasem dyskretnym):
s = 2 T
(z − 1)
(z + 1) (103)
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
Model z czasem ciągłym
X (t) =˙
0 1 0
0 0 1
0 −ω02 −2ξω0
X (t) +
0 0 1
U(t)
y (t) = [1 0 0] x1(t)
Doprowadzany jest przez usunięcie z zależności wyrazów z czynnikiem Tpwyższym niż kwadratowy, do postaci modelu z czasem dyskretnym
X (k + 1) =
1 Tp 0
0 1 − αTp βTp
0 −2αβ 1 − αTp− 2β(1 − β)
X (k) +
0 0 1
U(k) y (k) = [1 0 0] X (k)
gdzie
1
Równania stanu silnika DC - dyskretyzacja modeli (uproszczenia)
Prawidłowość doboru okresu próbkowania i przeprowadzenia powyższej aproksymacji wynika z twierdzenia Kotielnikowa- Shannona, określa- jącego pod jakim warunkiem z sygnału dyskretnego x (k) złożonego z pró- bek danego sygnału ciągłego x (t), można wiernie odtworzyć sygnał x (t).
Częstotliwość próbkowania musi być większa niż dwukrotność naj- wyższej składowej częstotliwości w mierzonym sygnale.
ωp= 2π Tp
; ωp 2ω0⇒ Tp¬ π ω0
(104) Taka aproksymacja znajduje swe uzasadnienie w stwierdzeniu skali róż- nic wartości pomiędzy pulsacją próbkowania ωp wynikająca z okresu Tp a pulsacją ω0.
Przy milisekundowym okresie próbkowania, np. Tp ∈< 0.8, 2 > ms, otrzy- muje się pulsację próbkowania ωp∈< 7850, 3140 > rd /s która jest o rzędy wielkości większa od pulsacji drgań swobodnych ω0∈< 10, 60 > rd /s za- chowań ruchowych (siłowych) napędu: takie częstotliwości charakteryzują nawet szybkie napędy pozycyjne.
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Sterowanie mechanizmów wieloczłonowych
Wykład 6 - Modelowanie napędów złączy
dr inż. Jakub Możaryn, mgr inż. Jan Klimaszewski
Instytut Automatyki i Robotyki
Warszawa, 2019